Таблица 2.3

Влияние фактора кривизны Земли на превышения в зависимости от расстояний S между точками

Примечание: в формулах (2.4) и (2.7) не учтена средняя высота Н точек Т и С земной поверхности над поверхностью относимости – земного шара. Студенту рекомендуется самостоятельно оценить значимость фактора высоты Н, приняв радиус поверхности равным (R + Н), при Н = 0,2; 0,5 и 1,0 км.

2.4.Определение положения точек земной поверхности

2.4.1.Астрономические координаты

Астрономические координаты ‒ широту и долготу точек местности определя-

ют из астрономических наблюдений, потому они и называются астрономическими. Названные координаты проецируют на поверхность сферы (рис. 2.7). Параметры

сферы: точка O ‒ центр сферы, точка P ‒ северный полюс, точка P' ‒ южный по-

люс. Линия экватора QQ', получается от пересечения сферы плоскостью экватора, перпендикулярной оси РР' и проходящей через центр О сферы. Плоскость меридиана точки A, лежащей на поверхности сферы, проходит через отвесную линию

точки A и ось вращения Земли PP'. Меридиан точки A ‒ это линия пересечения по-

верхности сферы плоскостью меридиана точки A.

Рис.2.7.

Астрономическая широта точки A ‒ это угол φ, образованный отвесной лини-

ей в точке A и плоскостью экватора; этот угол лежит в плоскости астрономического меридиана точки.

Астрономическая широта отсчитывается в обе стороны от экватора (к северу ‒

северная широта, к югу ‒ южная) и изменяется от 0o до 90°.

Астрономическая долгота точки A ‒ это двугранный угол λ между плоскостью

начального астрономического меридиана и плоскостью астрономического мери-

диана точки A. Начальный астрономический меридиан проходит через центр главного зала Гринвичской обсерватории, расположенной вблизи Лондона. Долготы

изменяются от 0o д 180° к западу от Гринвича ‒ западные и к востоку ‒ восточные.

Все точки одного меридиана имеют одинаковую долготу.

Проведем через точку A плоскость, параллельную плоскости экватора; линия пересечения этой плоскости с поверхностью сферы называется астрономической параллелью точки; все точки параллели имеют одинаковую широту.

Проведем плоскость G, касательную к поверхности сферы в точке A; эта плоскость называется плоскостью горизонта точки A. Линия пересечения плоскости горизонта и плоскости астрономического меридиана точки называется полуденной

линией; направление полуденной линии ‒ с юга на север. Если провести полуден-

ные линии двух точек, лежащих на одной параллели, то они пересекутся в точке на продолжении оси вращения Земли PP' и образуют угол γ, который называется астрономическим сближением меридианов этих точек.

2.4.2. Геодезические и географические координаты

На поверхности эллипсоида вращения положение точки определяется геодези-

ческими координатами ‒ геодезической широтой B и геодезической долготой L

(рис. 2.8, а).

а

Рис. 2.8. Геодезические (а) и географические (б) координаты:

1 – поверхность земной коры; 2 ‒ основная уровенная поверхность; 3 – поверхность земного шара

Геодезическая широта точки ‒ это угол, образованный нормалью к поверх-

ности эллипсоида в этой точке и плоскостью экватора. Геодезическая долгота

точки ‒ это двугранный угол между плоскостью начального меридиана и плоско-

стью меридиана точки. Геодезической высотой H называют расстояние от данной точки физической поверхности Земли до поверхности эллипсоида по нормали к ней.

Плоскость геодезического меридиана проходит через точку A и малую полуось элипсоида; в этой плоскости лежит нормаль к поверхности эллипсоида в точке A.

Геодезическая параллель получается от пересечения поверхности эллипсоида плоскостью, проходящей через точку A параллельно экватору.

Различие геодезических и астрономических координат точки A зависит от угла между отвесной линией данной точки и нормалью к поверхности эллипсоида в этой же точке. Этот угол называется уклонением отвесной линии; он обычно не превышает 5". В некоторых районах Земли, называемых аномальными, уклонение отвесной линии достигает нескольких десятков секунд.

При геодезических работах относительно невысокой точности астрономические

и геодезические координаты не различают; их общее название ‒ географические

координаты ‒ используется довольно часто и они показаны на рис. 2.8, б. Модель

Земли принимается за шар. Географическая широта φ – это угол между нормалью к поверхности земного шара и плоскостью экватора. Широты, которые отсчиты-

ваются от экватора к северному полюсу, учитываются со знаком “ плюс”, а к югу – со знаком “ минус”. Широта экватора равна 0º, широта северного полюса равна +

90º.

Географическая долгота λ представляет собой двугранный угол между плоскостью географического меридиана точки N и плоскостью Гринвичского меридиана, принятого за начальный для отсчета долгот. Долготу отсчитывают на восток от 0 до 360º, или же на восток от 0 до 180º с указанием “ восточная долгота”, или на за-

пад от 0 до ‒180º с указанием “ западная долгота”.

Высота точки. Третья координата точки – это ее высота, которая определяется относительно уровня моря. В нашей стране, как и в России, счет высот ведется от уровенной поверхности, соответствующей среднему уровню Балтийского моря в районе г. Кронштадта; эта система высот называется Балтийской. На рис. 2.8, б для точки Т, расположенной над уровнем Балтийского моря, ее высота положительна

(+НТ), для точки Е, расположенной ниже ‒ высота отрицательна (‒НЕ).

2.4.3. Плоские прямоугольные и полярные координаты

Плоские прямоугольные координаты наиболее просты для отображения результатов решаемых геодезических задач методами аналитической геометрии на плоскости и существенно упрощают математическую обработку результатов измерений, выполненных на земной поверхности, не вносят искажения в размеры инженерных сооружений при их картографировании и др. Такие координаты применяются, например, на территориях городов и крупных промышленных предприятий и именуются местными.

В местной системе плоских прямоугольных координат (рис. 2.9, а) пренебре-

гают кривизной Земли. В геодезии принята левая система прямоугольных коорди-

нат, при этом ось абсцисс проходит в северном направлении, например, параллельно географическому меридиану или параллельно осям инженерных сооружений. Положительное направление оси Х – северное, оси Y – восточное. Координатные четверти нумеруют по часовой стрелке и обозначают по сторонам света: СВ, ЮВ, ЮЗ и СЗ.

На горизонтальной плоскости полярные координаты точек Е и С представлены расстояниями ОЕ = sЕ и ОС = sС и горизонтальными углами βЕ и βС, отсчитанными по ходу часовой стрелки от полярной оси ОК с полюсом в точке О (рис. 2.9, б).

Биполярные координаты отдельной точки N на плоскости (рис.2.9, в) определяются двумя расстояниями О1N = s1 и О2N = s2 и двумя горизонтальными углами β1 и β2, отсчитанными относительно полярной оси (базиса) длиной sо с двумя полюсами О1 и О2 .

Рис. 2.9. Частные координаты на горизонтальной плоскости: а – прямоугольные; б – полярные; в – биполярные

Полярные и биполярные координаты применяют как вспомогательные, а полярную ось, как правило, ориентируют по линиям и точкам, определенным прямоугольными координатами.

Переход от прямоугольных координат к полярным и обратно для случая, когда начала обеих систем находятся в одной точке, причем их оси ОК и OX совпадают (см. рис. 2.9, б), выполняется с использованием следующих формул связи между названными координатами (например для точки С):

Уменьшенное изображение на бумаге горизонтальной проекции небольшого участка местности называется планом. На плане местность изображается без заметных искажений, так как небольшой участок поверхности относимости можно принять за плоскость.

Если участок сферической поверхности, на которую сначала спроецированы контуры местности, имеет большие размеры, то затем при изображении его на плоскости неизбежны заметные искажения длин линий, углов, площадей. Просто развернуть на плоскость участок сферы или эллипсоида без разрывов и складок нельзя, поэтому проецировать изображение на плоскость приходится посредством математических расчетов.

Математически определенный способ изображения поверхности сферы или эллипсоида на плоскости называется картографической проекцией. Каждой точке Mo

с геодезическими координатами B, L на исходной поверхности соответствует одна точка M (x, y) на плоскости. Аналитически картографическая проекция задается уравнением:

где f ‒ функция непрерывная, однозначная и конечная..

Картографические проекции классифицируются по:

•характеру искажений (равноугольные, равновеликие и произвольные),

•виду сетки меридианов и параллелей (азимутальные, цилиндрические, псевдоцилиндрические, поликонические),

•положению полюса сферических координат (нормальные, поперечные, косые). Картой называется уменьшенное изображение на бумаге или в электронном

виде горизонтальной проекции участка земной поверхности в принятой картографической проекции, то есть, с учетом кривизны поверхности относимости. В нашей стране топографические карты составляются в поперечно-цилиндрической равноугольной проекции Гаусса-Крюгера.

Масштабом карты (плана) называется отношение длины отрезка на карте (плане) к горизонтальной проекции соответствующего отрезка на местности.

По своему назначению все географические карты делятся на общегеографические и тематические. На общегеографических картах показывают рельеф, гидрографию, растительный покров, населенные пункты, пути сообщения, различные границы и другие объекты природного, хозяйственного и культурного назначения.

На тематических картах изображают размещение, сочетание и связи различных природных и общественных явлений; известны геологические, климатические, ландшафтные, экологические карты, карты полезных ископаемых, карты размещения производительных сил, карты населения, исторические, учебные, туристические и др.

Крупномасштабные (масштаба 1 : 1 000 000 и крупнее) общегеографические карты называются топографическими. Они издаются в виде отдельных листов размером примерно 40 см x 40 см.

Аэрофотоснимок ‒ это фотографическое изображение участка земной поверх-

ности, представляющее его центральную проекцию.

На рис. 2.10 представлен простейший (идеальный) случай аэрофотосъемки, когда плоскости аэроснимка и земной поверхности горизонтальны. При отвесном положении главного оптического луча аэрофотоаппарата получается плановый сни-

мок (см. рис. 2.10), при наклонном более 3° ‒ перспективный снимок.

Масштабом идеального аэроснимка называется отношение длины отрезка bа на

с а

b снимок

f

О

Н

В

С

А участок местности

Рис.2.10. Центральная проекция планового Аэрофотоснимка