М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч
.1.pdf2.37. lim-— |
~^-л . ( Ответ: |
— -i-Л |
|||||
|
|
] _ |
^Ъ —х |
' |
|
3 ' |
|
2.38. lim |
* ~ 8 . |
[Ответ: |
12.) |
||||
|
Ух -2 |
|
|
|
|
||
2.39. lim V* + 1^ - 2V* + 2 |
/ |
__ JL \ |
|||||
|
*-*-2 |
|
дг — 4 |
|
|
ч32/ |
|
2.40. lim ~^2дс + 7— 1. / Ответ: -^-Л |
|||||||
|
*-'э |
|
|
|
' |
|
5 > |
2.41. U m ^ + 2 E f l^ ± L ,( Ответ: — — Л |
|||||||
|
*-з |
|
х‘ — 9 |
|
V |
16 / |
|
2.42. |
lim^V~ -——. f Ответ: — Л |
||||||
|
jr—4 |
^ |
— 16 |
|
\ |
|
48 / |
2.43. |
lim |
л L— 1 |
|
(Ответ: —.) |
|||
|
лг-1 |
|
V |
|
8 / |
||
2.44. lim^~L— L |
( Ответ: —Л |
||||||
|
— |
|
, |
V |
|
2 ) |
|
2.45. lim |
|
. |
(Ответ: 3.) |
||||
|
|
Ух- I |
|
|
|
|
|
2.46. lim |
|
|
. ( Ответ: — Л |
||||
|
i -ю |
х2 — 10* |
\ |
|
80 / |
||
2.47. lim ^ L——. (Ответ: 3.) |
|
||||||
2-48*i"§ |
|
|
2 ■ |
( о т в е т : |
|
||
2.49. J , ^ |
|
' |
|
. (Ответ: |
- |
||
2 5 °- |
|
|
|
|
(^ в в г : - у . ) |
||
2-51- ^ . ( i ^ - i d r + r ) - (0мвГ; +
2.2. ПЕРВЫ Й И ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
При вычислениях часто используются следующие два предела:
1)lim Sln~—■= I (первый замечательный предел);
л—о х
2) Tim (1 -f- \/xf = е или lim (! 4-а)|/в = е (второй замечатель-
ный предел.)
Число е — иррациональное. Позднее будет указан метод его вы числения с любой степенью точности. Приведем его значение с пят надцатью верными знаками после запятой:
е « 2 , 718 281 828 459 045 ...
Логарифм числа х по основанию е называется натуральным лога
рифмом и обозначается In х. |
|
вида lim |
|
необходимо иметь |
|||||||
При нахождении |
пределов |
|
|||||||||
в виду, что если: |
|
|
|
|
X-+XQ |
|
|
|
|
||
|
конечные |
"пределы |
lim ((ы(*)) = а |
(а > 0) и |
|||||||
1) |
существуют |
||||||||||
lim v(x) = Ь, то lim((u(x))l’w = а*; |
|
|
|
|
|
||||||
Х-+Х$ |
X-^Xt) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
lim u(*) = а ;>1, |
lim а(х) = + °o , то lim u(jr)”w = |
+ |
оо; |
|||||||
3) |
Х-+Хъ |
|
|
X-+*C |
1). |
lim t>{*) = |
Х~*-Хй |
to |
lim (и(дг))"<х’ — 0; |
||
lim u(x) = a (0 < |
a < |
+ оо, |
|||||||||
4) |
lim U (JC) = й >■1, |
lim ч(дс) = — оо, то lim (u(jf))“<**= 0; |
|
||||||||
5) |
X-*-Xb |
a(0 < |
X X:, |
I), |
|
» — Л< |
|
lim(u(x))°<x) = |
|||
lim u(x) = |
a < |
limti(jc)=— оо, |
T O |
||||||||
|
X -Д, |
|
|
|
|
' — -b |
|
|
X - * X » |
|
|
= + oo; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
lim u(x}= |
I и |
lim v(x) = оо, то д л я |
вычисления пределов вида |
|||||||
|
ДГ^-Хо |
|
X-*Xt |
|
|
|
|
в виде |
lim(l-(- |
||
lim и(х)*'(,> используют второй замечательный предел |
|||||||||||
х~*х9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*-*■оо |
4- ]/хУ = е или lim(l + а)1''" = е. При этом функцию н(>•)"*'] преобра-
а-»-0
зуют так, чтобы можно было применить второй замечательный предел
lim « (^ w = lim (1 + (UW - 1 ) ) ^ T x-+xfy x-^xo
1
= lim ({1 + («(*)— l))“W-‘
X-*Xo
lim («{*) —I)y(x)
—ex~*u
Впоследнем случае можно также использовать метод введения новой переменной, при этом полагают у — и(х)— 1, где i/(x)-*-0 при х-+х0.
Примеры
1. Найти предел:
a) |
б) |
в) |
х-гО х |
х-*о х |
л—О sin 5х |
201
I (x / 2 ) I 2
е) Применив формулу ctgx — ctg a = |
на |
|||||
ходим |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
= lim---sin(a-x)---= _ j__ x |
|||
x-*a |
x — a |
J —+Q sin x sin о •(«г — о) |
sin a |
|||
x |
lim |
sin( ° - * ) |
— I Hm sin(o — ж) — |
— |
||
|
x-*-o |
— (o— x )sin x |
Ix~~a |
a — x |
I |
|
|
|
_ |
1 |
I___ _ |
1 |
|
|
|
|
sin a |
sin a |
sin2 a |
|
ж) Так как в этом случае имеет место неопределен ность вида 0* оо, то, преобразовав данное выражение
к неопределенности вида ~ и применив первый замеча
тельный предел, получим
lim ((JL - |
х) tg х) = |
lim |
Сл/2 ~ *>si™ . = |
|
||||||
•4-*л/2\Л 2 |
/ |
|
/ |
1-*л/2 |
|
COS X |
|
|
||
= , lirn |
(2 / * г |
х№ пх- |
= |
l i m ________ ^ |
= |
|||||
л—л/2 |
sin (я/2 — х) |
j —л/2 |
sin (п/2 — |
дг) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(я/2 — х) |
|
|
||
= 1|im |
|
Jl/2 — X |
=s l| = -L = |
1. |
|
|||||
Jr-.ii/2 |
|
|
I |
1 |
|
|
|
|||
з) Произведем |
замену переменной |
х = л -J- у, у = |
||||||||
= л — х. Тогда имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim sinS* |
— lim sin3fr + y) = lim sin(3jt+ 3^ |
— |
||||||||
n sin 2x |
sr—о |
sin 2(л + у) |
y-o |
sin(2n + 2y) |
|
|||||
= lim ~ sinJy .= |
- lim — s^-3^ |
— |
= |
|
||||||
|
sin |
2y |
|
st-»o |
Sln |
*У |
. 2у |
|
|
|
= h im - ^ - = l, |
l i m ^ - = |
l[= - A. |
|
|||||||
1s—о |
3f/ |
|
|
u-»o |
2(/ |
|
t |
|
2 |
|
и) Умножая и числитель, и знаменатель исходного выражения на -\/2-f--\J\ +cosx, преобразуем его к виду
lim |
У * + cos-r |
_ lim (л/2 — V 1+CQS х) Ы 2 + л/l +cos х) |
дг—о |
sin2JC |
-Г—Оsin2 +j/T+ |
203
= lim----.2 —I —cos* |
_ |
= lim -- -- 1 ^ |
x |
|||||
|
ж"*° sfciM "\^ + V l +cosx) |
x- ° V 2 +Л/1+c°8 x |
|
|||||
|
|
= |
|
2 |
sinJ ~ |
|
|
|
|
x |
> |
l i m |
^ |
A = |
|
|
|
|
jt+O sin -с |
2 л/ 2 |
Sln |
x |
|
|
||
= „ i_ | im — |
|
|
—i- lim — !— |
= —! |
||||
|
2V2 ^°4sinJ y-cos5y |
|
4V2 ^°cos2| . |
4У2 |
||||
2. |
Вычислить предел: |
|
|
|
|
|
|
|
a) |
lim /^i-V; |
6) |
|
I / |
в) |
r-^oo V x -|- I |
/ |
|
|
jr—ОО\ 2x - I / |
*-юо \ Jf |
|
|||||
Решение, а) Разделив числитель и знаменатель
основания степени на лг, имеем
lim f^ ± iy = lim f + '{* )*.
х-*-■» \ Их I /х—г оо \ 2 4~ !у v /
Так как при х-*<х> данная функция представляет собой степень, предел основания которой равен 1/2, а показатель стремится к бесконечности, то имеем
lim f 1+ 1/* У = 0,
б) |
|
*-»оо V 2 + 1/х / |
|||
Имеем |
|
|
|
||
|
|
*-*ооV * + I / |
х—» \ 1+ 1/JC / |
||
Так |
как |
lim 3 ~ |
|
= 3, а показатель степени стре- |
|
|
|
х-*ос J -f- I/х |
|
|
|
мится к бесконечности, то получаем |
|||||
|
|
W |
|
1 ^ |
1 ) = о о . |
|
|
х-*- 00\ 1+ 1/ДС) |
|||
в) Преобразуем исходное выражение: |
|||||
|
|
nm(ilz ± \ ~ 2x= lim r 5 - 3 A 4 ^ |
|||
|
г—со \ X + I |
/ |
|
Л—ОО\ 1 + 1/д: / |
|
Так |
как |
lim 5~ 3/х = 5, а показатель степени ст»е- |
|||
|
|
х—оо I -j- I /X |
|
|
|
мится к — оо, то имеем |
|
||||
|
|
цт |
/5 — 3Л ч - ^ = о |
||
|
|
х-»со\ I + |
1/х ) |
||
204
3. Применяя второй замечательный предел, вычислить:
д) iim-£-=l
Р ешеи и е. а) / способ. В данном случае предел осно
вания степени равен 1 {в этом легко убедиться, разделив числитель и знаменатель на дс), а показатель стремится к бесконечности; следовательно, имеем неопределенность
вида I®. Преобразуя функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел, получаем
// способ. Вычислим предел исходного выражения с помощью метода введения новой переменной. Положим
5/(дг— I) = 1/у. Тогда х = Ъу + 1 и при х-*-<х> у-+оо. Следовательно,
б) Делением числителя дроби на знаменатель выделим
целую часть в основании степени:
6л — 3
Так как при лг-*-оо исходное выражение представляет собой неопределенность вида 1*, то, используя второй замечательный предел, имеем
H m f4 ± ii± iV = limfl + - ^ - 3- У = |
||||
.Г—ао \ х2 — 2дс + 6 / Ж—<*Л |
|
— 2х + 6 / |
||
|
|
хг-2л + 6 л(6х-3) |
||
- М ( ‘ + - ? = 5 Т « ) |
|
Г ^ = |
||
|
*‘-2.г+6 |
|
6-ЗА |
|
= lim (Yl + |
, 6х~ 3 е ) |
6с3 |
/ |
'- гл+6/г'= Л |
« \V |
*■— 2х -f-6 / |
|
|
|
в) При х-»-оо данная функция представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а пока затель — к бесконечности. Тогда, используя второй заме чательный предел, получаем
lim (l+ tg 2V^)^ = lim (l+ tg2V ^ ) ^ |
2* = |
||
Ж-*0 |
Т ' jt— О |
' |
|
|
I |
tgV*IgVjr’ |
|
|
= ( lim(l + tgz-^/xT)te!V^ |
2VJ-/? |
= |
= I lim ~ 1j = ew2= л[ё.
г) Исходное выражение при x-»-0 представляет собой
неопределенность вида iL. Применяя второй замечатель
ный предел, имеем
lim |ое°(‘ +*) =г lim —loga(l -f jc)=lim log<(l + *)IA =
X |
x-*0 |
a —►O |
= log0(lim(l + x)l/j:)= |
I lim(l + x)x/t = e\ = \ogae. |
|
|
i-«n |
t-ro |
(Здесь MI^ воспользовались тем, что для логарифмической
функции в любой точке ее области определения имеет ме
сто равенство Шп logflx = logajco.)
Если а = е, то имеем
lim ln(|+ *> = 1.
x-*Q |
X |
|
д) При х->-0 имеем неопределенность вида |
По |
|
ложим а* — 1= у, откуда а“ = 1+ у, х= Iog4(I + у). Так как при х-»-0 у-*-0 то имеем
206
lim |
а‘ - I |
= lim - |
JL--- -- lim |
l |
||
*-*■0 |
х |
|
y-0 ]ogc(I + y) |
y~ 0 log„(l -f y) |
||
|
|
|
|
|
>1 |
У |
= jlim log0li-iii- = log0e |
— In a. |
|||||
|
l»-o |
|
У |
|
logo e |
|
Если a = e, то lim ^ |
1 = In e = 1. |
|
||||
|
|
*—0 |
X |
|
|
|
З а м е ч а н и е . |
В |
дальнейшем при |
решении |
примеров полезно |
||
иметь в виду следующие равенства, полученные при решении примера 3:
|
lim 1qfr0+ *) = |
logag, lim |
ln(l +x) = 1, |
||
|
|
X |
|
x-»Q |
X |
|
|
lim ■a'~~ |
1 = In a, lim ^~ \ = 1. |
||
|
|
x-rO X |
|
A-*-0 |
|
4. |
Вычислить предел: |
|
|||
\ |
I • |
ecx— ebi |
6) |
lim -inii±M; |
|
a) |
lim---- — |
||||
|
jf—0 |
X |
|
x-i-0 |
|
в) |
lim In x — I |
|
|
|
|
|
x^e |
x — e |
|
|
|
Решение, а) При JC-^0 исходное выражение пред ставляет собой неопределенность вида Преобразовав
исходное выражение, получим
|
|
х-*0 |
= |
х(а — Ь) |
— (о — f»)lim |
д г- р- О |
х^о х(а — Ь) |
|
|
|
= (a — b)' 1= a — b. |
б) Умножая на k числитель и знаменатель данного выражения, получаем
lim - K j+ fe*) _ |
]im *ln Q + * * ) _ |
k П т \n(l+ kx) ^ k . x = k. |
|
д г -* -0 |
X |
* — О llX |
* -► <k>x |
в) |
Данное выражение представляет собой неопреде |
||
ленность вида -Ц-. Выполнив простейшие преобразования,
получаем |
|
I |
х |
|
|
||
|
|
In — |
|
•iro „ „ |
х-+е X — е |
im |
е |
х-*е х — е |
х-*е х — е |
||
207
Задачи для самостоятельного решения В задачах 2.52—2.69, используя первый замечатель
ный предел, вычислить данный предел. |
|
||||||
2.52. lim |
i ~-cos3.-t . ( Ответ: А Л |
|
|||||
|
*--о sin27х |
\ |
98 / |
|
|||
2.53. lim « * * * - « * Р*. (Ответ: |
) |
||||||
|
|
|
ДГ |
V |
|
2 |
|
2.54. |
lim |
|
cos 2х |
(Ответ: |
' ) |
/ |
|
|
x—n/i |
\ |
|
-^2 |
|||
2.55. lim ■1..~-с0>*^я . (Ответ: -1Л |
|
||||||
|
•г-0 |
|
\бх* |
V |
8 |
/ |
|
2.56. Iim(l — jc)tg-y-. (Ответ: — |
|
||||||
• 2.57. lim sin^ ~ sr ,p . ( Ответ: Л Е И .) |
|||||||
|
а - p |
|
а 2 - Р г |
\ |
|
2р |
/ |
2.58. lim 1— |
^Огвет\* —Л |
|
|||||
|
|
|
х sin д; |
\ |
4 |
/ |
|
2.59. lim |
1+cos3jc. |
/Ответ: ~ Л |
|
||||
|
|
|
sin 7х |
\ |
98 |
/ |
|
2.60. lim ---*~-050 . (Ответ: |
- s in а.) |
||||||
|
г—а |
|
|
|
|
X — а' |
|
2.61. |
lim |
|
1~ 51п2лд'. |
(Ответ: -!_Л |
|
||
|
1~*л/4 |
(я — 4xf |
\ |
8 |
/ |
|
|
2.62. lim |
|
|
(Ответ: л.) |
|
|
||
|
' - 1 1— -\jx |
|
|
|
|
||
2.63. lim |
|
. (Ответ: л.) |
|
|
|||
|
|
|
sin 2х |
|
|
|
|
2.64. lim |
sin-(at i j~ lin<a ~ |
, (Ответ: cos*e.) |
|||||
1 - 0 tg(a + x) — tg(a ~ x)
2.66. lim -8"1* , . (Ответ: -2-Л
л—л 1 — Х ? / п \ |
2 / |
2.67. lim 2xsin* . (Ответ: 4.)
ж+о sec х — ]
2.68. lim 1-«»2* + tg** ^ (Ответ: 3.)
х-*-о х sin х
2.69. )im |
(Ответ: 1.) |
<+о |
tg л |
В задачах 2.70—2.85, применяя второй замечательный
предел, вычислить данный предел.
2.70. Jim A£±2Y. (Ответ: е\)
х—эс \ X /
2.71.• [Ответ: е2.)
2.72. lim^-p1-’ у " |
{Ответ: е6.) |
2.73.lim ( —д Здг У 2- (Ответ: е2/г.)
2.74.lim f '^ ^ y 1” 6. (Ответ: е\)
|
X-*- ос \ X — 1 / |
|
2.75. |
/ Чг-|_<>Ч(лг+1)/2 |
|
lim/-g± i \ |
. (Огсгсг: е.) |
|
2.76. |
l i m + 1 |
х -j-4 |
. {Ответ: е.) |
||
2.77.Um (± ± ZX~S. (Ответ: е9.) х—+ос \ X— 7 /
2.78.lim fl± ^ V . (Ответ: е~1.)
*- Д з + */
2.79.Iim (^ + 4 У '~ 5. (Ответ: е'5.)
*-►«0V ДГ — 1 /
2.80. и т ( - ~ т ) . (Ответ: е3.) Л-,00 \ X+ I /
2.81.Jim (cos х)',х. (Ответ: 1.)
2.82.lim / ^ iV . (Ответ: е4.)
дг-*оо \ X — 5 /
2.83. |im(i-±i-)2*. (Ответ: е\)
2.84. 1-* 00V JT — ( / (Ответ: I.)
209