М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

Это и есть уравнение одной из биссектрис. Из уравнения

(2) получим уравнение другой биссектрисы:

а другая (Li) — через точку М и середину отрезка АВ. Воспользовавшись уравнением (1.10) и тем, что вектор

А В ~ ( 2, — 1) можно взять в качестве направляющего вектора stl прямой (Ц), получим уравнение (i.f):

или х + 2у — 5 = 0.

Координаты точки Р находим по формулам:

Тогда Р(4; 2,5), М Р(3; 0,5). Воспользовавшись уравнением

(1.10) и тем, что sLi = М Р, найдем уравнение прямой (Z.2):

120

3. Даны две вершины Л(3, I), В (5, 7) треугольника ABC и точка N(4, — 1) пересечения его высот. Записать уравнения сторон треугольника (рис. 1.25).

Реш ение. Воспользовавшись уравнением (1.10) и

тем, что направляющим вектором стороны АВ можно счи­

тать вектор АВ = (2, 6), получим уравнение стороны АВ:

Так как ЛМ = ( — 1, 2), NB = (1, 8), AM Х С В , Ш ±АС, то запишем уравнения сторон АС и ВС в виде А(х — ха) +

В (у — у о ) = 0, где n = (j4, В ) — нормальный вектор к прямой, a (jc0>уо) — фиксированная точка на ней. Тогда

4.Записать уравнения катетов прямоугольного равно­

(рис. 1.26).

Реш ение. С помощью формулы tg0 = (*2 — £i)/(l + + kik2), где k\ — угловой коэффициент той прямой, ко­

торую поворачивают против хода часовой стрелки на

121

угол 0 до ее совпадения с другой прямой, угловой коэф­ фициент которой k-2, находим угловой коэффициент ка­

тета ВМ. Имеем

^ 45° = т т з Й г '

откуда 1+ 3ftем = ks/л— 3, квм = —2.

Воспользовавшись условием перпендикулярности пря­ мых через угловые коэффициенты й, = —1, найдем угловой коэффициент катета AM : kAMkBM= — 1, откуда

Аам = — 1/к8м = 1/2. Запишем уравнение катета AM в виде у — уо — k(x — дсо). где (хо, Уо) — фиксированная точка

прямой. Имеем:

У + I = - j(x ~ 4) или {/= -~х — 3,

т.е. х — 2у — 6 = 0.

5.Даны уравнения двух смежных сторон АВ и AD параллелограмма н точка 0\ пересечения его диагоналей

(рис. 1.27). Найти уравнения двух других сторон, если

0,(3, 3).

х + у - 1= 0 (АВ), З х - у + 4 = 0 (.AD).

Реш ение. Решив систему уравнений

х + у — \=0,\

Зх —у + 4 = 0,)

122

найдем координаты точки пересечения А( —3/4, 7/4), а затем, воспользовавшись формулами деления отрезка

пополам,— координаты точки С. Имеем:

то без ограничения общности можно считать, что псо — = (1, I), пвс — {3, - I).

Запишем уравнения сторон ВС и CD в виде А (х ~ Ло) +

+В(у — Уо) = 0. Имеем:

3(х — 27/4)— 1(у — 17/4) = 0, Зд: —у — i6 = О (ВС),

1(дс — 27/4)+ 1(у— 17/4) = 0, * + у - 1 1 = 0 (CD).

ь

х

б.Даны уравнения сторон, прямоугольника ABCD

Зх — 2у — 5 = 0, 2л + Зу + 7 = 0 и одна из его вершин А( —2, 1). Вычислить площадь этого прямоугольника

(ряс. 1.28).

Реш ение. Уравнения сторон прямоугольника Зх —

— 2у — 5 = 0 (ВС), 2х + Зу + 7= 0 (CD), а его площадь

Sabcd = АВ ‘ AD.

Длина стороны АВ — это расстояние от точки А до прямой ВС:

А В = |3(—2) — 2 * I -51/79 + 4"= 13/л[\3,

123

Решаем полученное уравнение относительно к. Воз­ можны два случая:

но, k не существует, т. е. 0 = 90°.

Таким образом, искомых прямых две, а их уравнения

у = 7 и х = 2.

Задачи для самостоятельного решення

1.223. Записать уравнение прямой, заданной точкой М о(*о, Уо) и нормальным вектором п=(/4, В), если:

1) Щ 2 , 3), п = (— 1, 2); 2) М0(1, 2), п = (3, -4); 3) М0(1,

— I), п =(2, —3). (Ответ: 1) х — 2у + 4 = 0; 2) 3jc — 4у + + 5 = 0; 3) 2х — Зу — 5 = 0.)

точками Af|(лг|, у|) и Мг(х2, уг), если: I ) M i(2, 3), Мг(— 1, 6);

1) 2х + Зу — 7 = 0; 2) 3* — 2у — 4 = 0; 3) х — 5у + 3 = 0,

5х + у — 11 =0.)

1.2271 Составить уравнение прямой, проходящей че­ рез точку М( —4, 10) и отсекающей равные отрезки на осях координат. (Ответ: х + у — 6 = 0.)

1.228. Составить уравнение прямой, проходящей че­

рез точку М(4, —3) и образующей с осями координат

В( —6, 1—1), С( —2, —4). Записать уравнения биссектрисы внутреннего угла треугольника при вершине С и медианы, проведенной из этой вершины. (Ответ: 7х + у + 18 = 0,

Их — 2 у + 14=0.)

125

В ( — 1, — 1), С(3, 2). Записать уравнения его высот. (От­

вет: 4л- + Зу - 11= 0, дг + у + 2 = 0, Зх + 2у— 13 = 0.)

1.232. Найти проекцию точки А ( —8, 12) на прямую, проходящую через точки М\(2, —3) и Af2( —5, 1). (Ответ:

(-12, 5).)

1.233. Зная уравнения двух сторон параллелограмма

х— 3у=0 и 2х+ 5у-{-6=0 и одну из его вершин С(4, — 1),

составить уравнения двух других сторон параллелограм­ ма. (Ответ: х — Зу — 7 = 0, 2х + 5у — 3 = 0.)

1.234. Через точку А(2, 5) провести прямые, равноуда­

ленные от точек Mi( — 1, 2) и Мг(5, 4). (Ответ; х — 2 = 0, * — 30 4.13=0.)

1.235. Даны две вершины треугольника At(—6, 2), А2(2, —2) и точка /V(l, 2) пересечения его высот. Найти

координаты третьей вершины Аз- (Ответ: Аз (2, 4).)

1.236. Найти координаты точки, симметричной точке М( —2, I) относительно прямой 2х — Зу + 4 = 0. (Ответ: (-14/13, -5/13).)

1.237. Через точку Л (3, 1) провести прямые, наклонен­ ные к прямой 2лс + 3у— 1=0 под углом 45°. (Ответ: 5* + у — 16 = 0, х — 5у + 2 = 0.)

1.238. Даны уравнения двух сторон прямоугольника

3* — 4у + 5 = 0, 4х + Зу — 7= 0 и одна из его вершин А (—2, 1). Записать уравнения двух других сторон прямо­

угольника. (Ответ: Зх — 4у + 10 = 0, 4х + Зу + 5 = 0.)

1.239. Вычислить угол между данными прямыми:

1)х + 5у — 3 = 0, 2х — Зу + 4 = 0;

2)х + 2у — 3 = 0, 2JC + 4у + 5 = 0;

3)3* + 5у+ 1= 0, 5 л: — Зу — 2=0. (Ответ: 1) 45°; 2) 0°; 3) 90°.)

1.240. Найти расстояние d от точки до прямой в каждом из следующих случаев:

1) А ,(2, - I), 4лг + 3у + 10 = 0;

2)Л2(0, —3), 5х— 12у — 23 = 0;

3)Л3(1, -2), х — 2у — 5 = 0.

(Ответ: 1)3; 2) 1; 3) 0 (точка Аз лежит на прямой).)

1.241. Даны уравнения двух сторон прямоугольника

3* — 2у — 5= 0, 2х + Зу + 7 = 0 и одна из его вершин

А (—2, 1). Вычислить площадь этого прямоугольника.

(Ответ: 6.)

126

1.242. Составить уравнения биссектрис углов между

указанными прямыми:

1)Зх — 4у + 2 = О, 5х + 12у — 3 = 0;

2)Зх— у + 5= 0, Зх + у — 4 = 0.

{Ответ: 1) 64*+ 8у+ II = 0, 14*— 112i/+41 =0; 2) 6* + + 1= 0, 2 у - 9 = 0.)

1.243. Две стороны квадрата лежат на прямых 5* —

— \2у — 65 = 0 и 5* — \2у + 26 — 0. Вычислить его пло­ щадь. {Ответ: 49.)

1.244. Составить уравнения прямых, параллельных

прямой 3* — 4у — 10 = 0 и отстоящих от нее на расстоя­

нии d = 3. {Ответ: Зх — 4у — 25 = 0, Зх — 4у + 5— 0.) 1.245. Составить уравнение прямой, проходящей через

(Отвёт: 7х + у — 9 =0, 2х + у + 1= 0.)

1.24В. Составить уравнение прямой, симметричной прямой Зх — 2у+ I = 0 относительно точки М(5, I). (От­ вет: Зх — 2у — 27 = 0.)

1.247. Составить уравнения сторон квадрата, если в прямоугольной системе координат даны одна из его вер­

шин у4(2, —4) и точка пересечения его диагоналей К(Ь, 2). {Ответ: х — Зу + 16 = 0, х — 3у — 14 = 0, Зх + у — 32 = 0, Зх + у - 2 = 0.)

1.248. Зная уравнение прямой Зх — 2у 4-6 = 0, являю­

щейся одной из сторон угла, и уравнение его биссектрисы * — Зу + 5 = 0, составить уравнение другой стороны угла. (Ответ: 6х -j- 17у — 15 = 0.)

у 1.249. Даны уравнения боковых сторон равнобедрен­ ного треугольника 7х — у — 9= 0, х + у — 5= 0 и точка

х — Зу — 27 = 0.)

1.250: Даны уравнение катета у = 2х и середина ги­ потенузы — точка /((4, 2) — прямоугольного равнобедрен­

ного треугольника. Найти уравнения двух других его сто­ рон. (Ответ; Зх + у — 14 = 0, х + 2г/~2 = 0; х — Зу +

+ 2 = 0, х + 2 у - 14=0.)

1.251, Составить уравнение прямой, параллельной

0

прямой у = — х + 1 и проходящей на расстоянии d — 4 1и

от точки А1(6, —2). (Ответ: у =

127

1.252. Составить уравнение сторон треугольника, зная

одну из его вершин А(3, —4) и уравнения двух его высот 7jc— 2t/— I =0, 2х — 7у — б = 0. (Ответ: 2х + 7у + 22 = = 0, 7х + 2 у~ 13=0, х - у + 2= 0.)

1.253. Доказать, что прямые Здс — 4t/+ 10 = 0 и 6х —

— 84/ + 15 = 0 параллельны, и найти расстояние между

ними. (Ответ: 1/2.)

1.254. Составить уравнения прямых, проходящих через начало координат и отстоящих на расстоянии, равном 3,

от точки М (2-^2, 5л/2). (Ответ: у ~х, у = —41лг.)

1.15. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Прямую в пространстве можно представить как пересечение двух плоскостей (Pi) к (Рг\ поэтому аналитически ее можно задать системой двух линейных уравнений вида

■Ог= 0.J

Система (1.12) определяет прямую только в том случае, когда коэффициенты Аи В i, С> не пропорциональны коэффициентам Аг, В г, Сг, и называется общими уравнениями прямой.

Канонические уравнения прямой

определяют прямую, проходящую через точку А4о(*о. i/0, zo) параллельно вектору s = (!, m, р), который называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой имеют вид

х — Хо -|- И,

y = yo + mt, } г = z0 + pi,

Условие параллельности двух прямых (Li) и (Ц):

х - х , У~У\ 2 — z, „ 4 х - х г у — уг ** — гг i t \

~(Ы “ Т Г

(рис. 1.30) можно записать в виде

S] || Sj ИЛИ h / h = « ,/ / » ,= pl/p2-

Условие перпендикулярности двух прямых (L,) и (L2) (рис. 1.31) записывают в виде

Si X s?, т. е. (si, S2) = 0, tit? tnitriz -{- pip? = Q.

Угол между прямыми (Li) и (Li) (рис. 1.32) можно найти по формуле

128

(L,)

(L<)

Пряные называются компланарными, если они лежат в одной плоскости (рис. 1.33).

Необходимое и достаточное условие компланарности двух прямых, заданных каноническими уравнениями, записывают в виде

где n = (А, В , С); s = {/, от, р).

Условие параллельности прямой (L) и плоскости (Р) означает, что n ± s (рис. 1.35). т. е.

(n, s) = 0 или At + В т + Ср = 0.

129