М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

5. Привести к каноническому виду уравнение кривой 13дс2— 48ху + 27у2= 45 и найти формулы преобразования координат.

Решение. Решим эту задачу с помощью квадратич­ ных форм (см. § 1.12). Введем обозначение Цх, у) =

= 13jc2 — 48.*# + 27у2. Тогда матрица данной квадратич­

ной формы

13-24

А= -24 27]

Найдем собственные значения этой матрицы. Ее характе­ ристическое уравнение имеет вид

- г / 2Г - 1

160

откуда ai = —2аг- Тогда Х(Х|) = (2/Т —/), 1Ф0,

Нормируя полученные векторы, находим Х(*.,>= (2/-\/5,

— 1/^5).

Для А,п= 9 получаем систему

—4ai -|- 2а? = 0,)

2а | — а -2 = 0j

откуда а2= 2а,. Следовательно, \ а}) = ((, 2/), ( ф 0, t£ R.

Нормируя полученные векторы, имеем Jfci.) =(1д/5, 2Д/б). Таким образом, матрица преобразования координат

а формулы преобразования осей координат имеют вид:

Найденное преобразование является поворотом осей

координат на угол а, для которого cos а = 2/-\/5, sin а =

=-*Л/5.

Подставив в уравнение данной кривой выражения для

ли у из формул поворота осей координат:

+ l4 ( - i * ' + ^ ' ) + 5 = ° '

Затем, применив метод выделения полного квадрата,

имеем:

162

С помощью формул параллельного переноса х' =

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 1.312— 1.323 с помощью метода выделения полного квадрата и параллельного переноса осей коорди­

нат упростить уравнение линии, определить ее тип и рас­ положение на плоскости.

1.312. 4х2+ 9и2— 40х + 36у + 100= 0. (Ответ: {х —

— 5)2/9 + (и -j- 2Y/4 = 1— эллипс.)

1.313. зг— 4у*-\-8х— 24у~ 24. (Ответ: (х-\-4)г/4 —

— {У + З)2/! = 1— гипербола.)

1.314. 16х2—9у2—64jc— 18у + 199= 0. (Ответ: —(х—

—2)2/9 -{-(у 4- 1)2/16 = 1—~гипербола.)

1.315. х — 2(/г4-121/— 14=0. (Ответ: 2(у— 3)2=**4-

+ 4 — парабола.)

1.316. 5х24~9j/2 ~ ЗОдг 4" 18у 4* 9 = 0. (Ответ: (х —

— 3)2/9 4-(у 4-1) /5 = I — эллипс.)

1.317. 2дс2— 8-г 4-у2— 6</ 4- 1=0. (Ответ: (х — 2)2/8 4- 4-(у — 3)г/ 16=1 — эллипс.)

1.318. у2— 6у — jc2 4-2х = 0. (Ответ: (у — Sf/8 — (х —

— 1)2/8= 1— гипербола.)

1.319. Зх2 — 4t/2 — 12л 4-24 = 0. (Ответ: y2/Z — (x —

— 2)2/4 = 1— гипербола.)

1.320. 9х24-4«2— 54х — 32у + 109 = 0. (Ответ: (х —

— 3)г/4 4~(У — 4г/9 = 1 — эллипс.)

1.321. х 4-б.г 4- 5 = 2у. (Ответ: (х + З)2 = 2(у 4- 2) — парабола.)

1.322. у24-2у + 4х — 11= 0. (Ответ: (у 4- 1f = = —4(х — 3) — парабола.)

163

В этом уравнении не все коэффициенты при членах второго порядка одновременно равны нулю, так как иначе поверхность (а) была бы пло­ скостью. Уравнение (1.20) называют общим уравнением поверхности второго порядка.

В общем случае может оказаться, что уравнение (1.20) опреде­ ляет вырожденную поверхность (пустое множество, точку, плоскость, пару плоскостей, прямую). Если же поверхность (1.20) — невырожден­ ная, то с помощью преобразования декартовой системы координат (параллельного переноса и поворота осей координат в пространстве) и теории квадратичных форм ее уравнение может быть приведено к одному из указанных ниже видов, называемых каноническими и опре­ деляющих тип поверхности:

Ахг Н- By2 + Cz2 + 2Gx + 2Ну -f 2Lz + К = 0.

В этом случае приведение общего уравнения к каноническому виду достигается с помощью метода выделения полных квадратов и парал­ лельного переноса осей координат.

Основным методом исследования формы поверхностей второго по­ рядка является метод параллельных сечений, который состоит в том, что поверхности пересекаются координатными плоскостями и плоскостя­ ми, параллельными им, а затем на основании вида полученных в сече­ ниях линий делается вывод о форме исходной поверхности.

Ри с . 1.62

Примеры

1.Записать уравнение шаровой поверхности, имеющей центр в точке О ( 1, 4, —7) и касающейся плоскости 6*4-

-J- —7z -J- 42 = 0.

Решение. Воспользовавшись уравнением сферы, имеем

(ж — I)2 + Q/ — 4)2+ (г + 7)2= R2.

Радиус R найдем по формуле расстояния от точки до плоскости:

в начале данного параграфа, в уравнении эллипса заме­

няем у на ± л[у2+ г2и получаем уравнение поверхности вращения

осями о = 2, Ь = с = 3.

б) Согласно тому же правилу, в уравнении эллипса

с полуосями а = с = 2, 6 = 3.

3. Записать уравнение поверхности, полученной при вращении гиперболы у2/16 — дс2/25 = 1: а) вокруг оси Ох;

б) вокруг оси Оу.

Решение, а) Для получения уравнения поверхности, образованной вращением гиперболы t/2/16 — лг/25 = 1

вокруг оси Ох, заменяем в ее уравнении у на drд/у2 + г2. Таким образом, имеем

22/ 16 -+■У2/ 16 — ж2/25 = I.

168

Полученная поверхность является однополосткым гипер­

болоидом вращения (рис. 1.71).

б) При вращении данной гиперболы вокруг оси Оу

необходимо в ее уравнении заменить х на ± д/д^ + г2.

Тогда имеем уравнение двуполостного гиперболоида вращения

jf2/25 + г2/25 — г/2/16 = -1,

изображенного на рис. 1.72.

Рис. 1.72

4.Привести уравнение данной поверхности к кано*

ннческому виду и определить ее тип:

Решение, а) Приведем уравнение к каноническому

виду, выделив полные квадраты при переменных:

4(*2 - 6jc) + (у* - 4*) - (22- 2г) + 35 = О,

166