логика 2004

сутствии − свободной.

У

Атрибутивные высказывания делятся по качеству и количеству.

По качеству они делятся на утвердительные и отрицательные. В

Т

утвердительных указывается на принадлежность (наличие) призна-

ка, мыслимого в предикате, субъекту высказывания: «S есть Р». На-

Н

пример: «Платон − философ-идеалист». В отрицательных

указыва-

ется на непринадлежность предиката его субъекту: «S не есть Р».

Б

По количеству высказывания делятся на единичные, частные и

общие. Имеется в виду совокупность (число, количество) индиви-

дуальных предметов, составляющих имя класса субъекта.

й

В единичных высказываниях субъект состоит из одного предмета.

Частные высказывания имеют форму: «Некоторые S есть (не

есть) Р».

и

В общих высказываниях субъект охватывает все предметы. Та-

кие высказывания имеют

форму

: «Все S есть (не есть) Р».

Высказывания классифици уются по качеству и количеству. Вы-

деляются 4 класса высказываний:

1) общеутвердительн е (А) − общее по количеству и утверди-

3) общеотр цательное (Е) − общее по количеству и отрица-

тельное по качес ву («Все S есть Р»);

и

2) частноутверди ельн е (J) − частное по количеству и утвер-

дительное по качес вуо(«Некоторые S есть Р»);

з

тельное по качеству («Ни одно S не есть Р»);

4) частноотрицательное (О) − частное по количеству и отри-

цательн е качеству («Некоторые S не есть Р»).

п

В кажд м классе высказываний соотношение объемов S и Р (тер-

мин в) различно. В логике проблема соотношения объемов S и Р

е

распределенности терминов.

Термин

называетсяпопроблемой

Р

рас ределен, если он полностью входит в объем другого термина

или полностью из него исключается.

21

Рис. 3.1

У

В классе J

ни

Некоторые S есть Р

Т

субъект, ни предикат не распределе-

ны.

Н

Б

Рис. 3.2

В классе Е Ни одно S не есть Р субъект и предикат распределе-

ны.

й

о

Рис. 3.3и

т

В классе О

Некоторые S не естьрР субъект не распределен, а пре-

и

дикат распределен.

з

о

п

е

Рис. 3.4

Р

Сд ла м выводы:

1. Субъекты распределены в общих высказываниях и не распре-

Имеются 2 частных случая:

1. Если в общеутвердительном высказывании (А) объемы S и Р

совпадают, то оба термина распределены. Например: «Человек об-

ладает второй сигнальной системой».

2. Если в частноутвердительном высказывании (J) объем преди-

ката меньше объема субъекта, то предикат распределен. Например:

«Некоторые теплофизики − инженеры».

Выводим для частных случаев общее правило: в утвердительных

высказываниях предикат распределен только тогда, когда он по объ-

ему меньше или равен объему субъекта.

Для облегчения запоминания распределенности терминов привоУ-

дится следующая таблица.

Т

Т а б л и ц а 3.1

Н

Высказывание

S

Р

А

+

Б

−

Е

+

+

J

−

й

−

0

−

+

между постыми

3.2. Отношения

высказываниями

истинности

р

Между высказываниями с дним и тем же субъектом и предикатом

по

существуют следующ е

ипы отношений: контрадикторности (про-

тиворечия),

т(противности), субконтрарности (подпро-

тивности)

подч нен я. Тип отношения зависит от того, высказыва-

ния как

вида (А, Е, J, О) мы анализируем. Графическая схема от-

контрарности

н шений в спрои водится с помощью логического квадрата.

з

го

п

е

Р

23

А

Контрарность

Е

Подчинение

Подчинение

У

J

Субконтрарность

О

Т

Рис. 3.5

Буквы в углах квадрата символизируют виды высказываний, а

Н

стороны и диагонали квадрата − возможные типы отношений.

Отношение контрадикторности существует между А и О, Е и J

Б

и характеризуется тем, что высказывания, находящиеся в отношении

данного типа, не могут быть одновременно

стинными, ни ложны-

ми, т. е. одновысказывание обязательно стйнно, адругое −ложно.

Отношение контрарности ха акте но для высказываний А и

Е. В данном случае высказывания нине могут быть одновременно

истинными, но могут быть дн в еменно ложными.

Отношения субкон

р

рарн с и существуют между высказыва-

ниями J и О. В данном случае высказывания не могут быть одно-

временно ложными, но

о

бы ь одновременно истинными.

Отношения подч нен я существуют между А и J, Е и О. Для

могут

данного типа отношен й характерно, что истинность подчиняюще-

гося выска ывания (А

Е) обусловливает истинность подчинен-

или

ного (J или О), не наоборот. В то же время ложность подчинен-

з

ного высказывания обусловливает ложность подчиняющего, но не

наобор т.

но

п

3.3. Сложное высказывание

е

Р

значений простых высказываний. Последние рассматриваются в

качестве исходных элементов логики высказываний, ее строитель-

ных блоков.

Сложные высказывания образуются из простых с помощью ло-

гических союзов (операций). Важнейшие из них − отрицание, конъ-

юнкция,

дизъюнкция

(слабая и сильная),

импликация,

эквива-

У

ленция. Принято называть сложное высказывание именем логиче-

ского союза, с помощью которого оно образовано.

Т

Отрицанием высказывания Р называется высказывание, обозна-

чаемое выражением

,

которое истинно тогда и только тогда, когда

Р

Н

Р ложно. Данное определение можно выразить с помощью табл. 3.2

(таблицы

истинности),

где «И»

обозначает

«истинно», а «Л» −

«ложно».

Б

Т а б л и ц а 3.2

Р

Р

И

Л

Л

И

р

йQ называется высказывание,

Конъюнкцией высказыван й Р

обозначаемое выражением Р Q, которое истинно тогда и только

о

тогда, когда Р и Q истинны (см.и3-й столбец табл. 3.3). Выражение

Р Q читается «Р и Q».

Т а б л и ц а 3.3

з

тР Q

Р

Q

P

Q

P Q

P → Q

P ↔ Q

о

И

И

И

Л

И

И

И

Л

иИ

Л

И

И

И

Л

И

Л

Л

И

И

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

И

И

Р

Дизъюнкцией слабой высказываний Р и Q называется высказы-

пвание, обозначаемое выражением Р

Q, которое истинно, когда хо-

тя бы одно из выражений Р и Q истинно (см. 4-й столбец табл. 3.3).

еВыражение Р Q читается «Р или Q».

25

Дизъюнкцией сильной высказываний Р и Q называется высказы-

вание, обозначаемое выражением Р Q, которое истинно тогда и

только тогда, когда только одно из выражений Р и Q истинно (см. 5-й

столбец табл. 3.3). Выражение Р Q читается: «Либо Р, либо Q».

Импликацией высказываний Р и Q называется высказывание,

обозначаемое выражением Р → Q, которое ложно тогда и только

У

тогда, когда Р истинно, a Q ложно (см. 6-й столбец табл. 3.3). Выра-

жение читается: «Если Р, то Q», «Из Р следует Q» и т. д. При этом Р

называется основанием, a Q −

следствием импликации.

Т

Эквиваленцией высказываний Р и Q называется высказывание,

Н

обозначаемое выражением Р ↔ Q, которое истинно тогда и только

тогда, когда логические значения Р и Q совпадают (см. 7-й столбец

Б

табл. 3.3). Выражение Р ↔ Q читается: «Р тогда и только тогда, ко-

гда Q», «Р эквивалентно Q».

Названные операции могут применяться для действий как с про-

й

стыми, так и со сложными высказываниями.

Зная логические значения исходных высказываний,

можно со-

ми

ставить таблицу истинности высказываний более сложной формы.

Порядок выполнения операций при этом указывается скобками.

3.4. Отношения между логическ

формами высказываний

Отношения между высказываниями − это, прежде всего, отноше-

т

ния между логическими ф рмамир, к торыми эти высказывания по-

и

рождаются. Выделяют ф рмы сравнимые и несравнимые. Логиче-

ские формы А В являю сяосравнимыми, если и только если имеется

з

хотя бы одна переменная, содержащаяся как в А, так и в В. Например,

формы А В и В С сравн мы, а формы А → В и С → D − нет.

о

Соответственно два высказывания сравнимы тогда и только то-

гда, к гда имеется хотя бы одно простое высказывание,

входящее в

п

структуру как первого, так и второго высказывания. Несравнимые

высказывания п р ждаются логическими формами, которые могут

е

так и ложными, и нельзя указать хотя

быть вм сте как истинными,

бы на н которую регулярность в их отношениях.

Р

Формы А и В находятся в отношении полной совместимости

(равнозначности), если и только если ими порождаются высказы-

вания, логические значения которых при одинаковых значениях со-

ставляющих полностью совпадают (табл. 3.4).

Т а б л и ц аУ3.4

Н

А

В

А → В

Т

Б

В → А

И

И

И

И

И

Л

Л

Л

Л

И

й

И

И

Л

Л

И

И

если

Логические формы А и В находятся в отношении следования

(из А следует В), если и только

всяк раз, когда из А порож-

дается истинное высказывание,

з В также порождается истинное

о

высказывание (табл. 3.5).

р

Т а б л и ц а 3.5

А

В

С

(А → В) (В → С)

А → С

з

И

Ит

И

И

И

И

И

Л

Л

Л

о

иЛ

И

Л

И

И

Л

И

И

И

И

И

Л

Л

Л

Л

Л

Л

И

И

И

Р

Л

И

Л

Л

И

е

пЛ

Л

Л

И

И

Первая форма порождает истинные высказывания в четырех слу-

Т

Т а б л и ц а

3.6

У

Н

А

В

А → В

В →

А

И

И

И

И

И

Л

Л

Б

И

Л

И

И

Л

Л

Л

И

И

Теперь рассмотрим несовместимые логические формы. Здесь

нужно выделить отношения противоречия противности.

Логические формы А и В находятся в отношении противоре-

второе будет ложным, и на бпорождаютр (см. табл. 3.7). В любом случае

чия, если и только если они

высказыванияй

, которые не

могут быть вместе истинными, как не могут быть вместе ложны-

противоречия, будут

ме ьпроивоположные

логические значения,

ми. Таковы, например, ф рмы А

и

. Какие бы высказыва-

В; А → В

вместо

А и В, − если первое истинно, то

ния мы ни подставляли

высказывания, порождаемые ф рмами, находящимися в отношении

з

отрицая друг друга.

о

и

Т а б л и ц а

3.7

А

В

А В

А →

В

е

И

И

Л

И

Р

И

Л

Л

И

пЛ

И

Л

И

Л

Л

Л

И

28

Т а б л и ц а 3.8

У

А

В

А В

А

В

И

И

И

Л

И

Л

Л

И

Л

И

Л

Л

ТЛ

Л

Л

Л

Установление отношений между логическими формами облегча-

ет содержательный анализ, обеспечивает точность иНопределенность

наших рассуждений.

Бметод становится

С увеличением числа переменных

трудноприменимым, поскольку быстро возрастает число строк в

таблице, исчисляемых по

S = 2n, где S − число строк; n −

табличный

число переменных. (Так, п и пяти переменных таблица состоит из

32-х строк.) Поэтому

етаются более удобные способы селек-

ции логических зак н в.

и

С более кратким

сп с б ознакомимся на

примере

формы

формуле

((А → В) (В → С) А) → С.

Ход мысли будет следующим:

изоб

1. Чтобы форма не являлась логическим законом, она при неко-

т

торой подстановке должна стать ложным высказыванием.

2. Поскольку наша форма − импликация, она может оказаться

л жным выскаыванием только в том случае, когда при некоторой

дстанзвке ее основание окажется истинным, а следствие − лож-

ным, есть (А → В) (В → С) А будет истинным, а С − ложным.

3. Чтобы данное основание было истинным, необходимо, по-

то

скольку оно является конъюнкцией, чтобы оба его члена были ис-

тинны, т. е. (А → В) (В → С) и А должны быть истинны.

п

4. Поскольку (А → В) (В → С) − конъюнкция, постольку при ее

е

Р

истинности оба ее члена, то есть А → В и В → С, должны быть

истинны.

29

5. Так как А → В − истинная импликация и истинно ее основание

А (согласно п. 3), то В тоже будет истинным.

6. Поскольку В → С − истинная импликация и В истинно, то и С

истинно.

7. Наше допущение о ложности С, таким образом, отпадает, то

есть следствие нашей импликации должно быть истинным, тогда

У

истинной будет и вся импликация. Поскольку она не может быть

ложной при одной единственной подстановке, которую мы прове-

рили, постольку она − логический закон.

Н

Упражнения

Б

1. Установить, какие из следующих предложений являются,Та ка-

кие не являются высказываниями:

1). Всякая общественно-экономическая формация имеет своей

й

основой способ производства материальных благ.

2). Был ли Наполеон французским императором?

3). Наполеон никогда не был французским императором.

4). Водители, не нарушайте прав ла дорожного движения!

5). Цена товара X меньше его сто

.

2. Установить вид высказываний по ха актеру предиката:

1). Все кошки − млекопитающие.

мости

т

2). Некоторые множес ва бескрнечны.

3). Спрос рождает предл жение.

имеет

4). Верста больше к ломеора.

з

5). Сравнение − э о мысленная операция.

6). Каждый человек моложе своих родителей.

11). Минскчеловекдревнее Могилева.

7). Этот

не

чувства юмора.

8) С лнце −

ве да.

п

9). Атлантида не существует.

10). Существует любовь.

е

Р

12). Иван уважает Алексея.