- •Министерство образования республики беларусь
- •Введение
- •Определение интерполяции и информация о применении интерполяции.
- •2. Перечисление известных методов интерполяции с указанием их достоинств и недостатков.
- •2.1 Интерполяция методом ближайшего соседа.
- •2.2 Интерполяция многочленами.
- •2.3 Обратное интерполирование (вычисление X при заданной y).
- •2.4 Интерполяция функции нескольких переменных.
- •2.5 Другие способы интерполяции.
- •3. Подробное описание двух методов на выбор
- •3.1 Кубический сплайн.
- •3.2 Линейная интерполяция:
- •4. Решение профессиональной задачи
- •Заключение
- •Список используемых источников
3.2 Линейная интерполяция:
Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции является линейная интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки (xi, yi) при (i = 0. 1, ..., n) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(x) приближается ломаной с вершинами в данных точках.
Уравнения каждого отрезка ломаной в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов (xi-1,xi), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки(xi-1,yi-1) и (xi,yi), в виде
=
Отсюда
y=aix+bi , xi-1xxi
|
(*) |
ai=
Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента х, а затем подставить его в формулу (*) и найти приближенное значение функции в этой точке
Рисунок 3-3- График зависимости линейной интерполяции.[12]
4. Решение профессиональной задачи
Ведем экспериментальные данные
ORIGIN:=0 Начало массива данных - считаем с нуля
i:=1..6 Число элементов в массиве
Экспериментальные данные организованы в два вектора
Выполним интерполяцию встроенными функциями MathCad
Линейная интерполяция
Lf(xi):=linterp(x,y,x)
Интерполяция кубическим спайном
CS:= cspline(x,y)
Строим кубический сплайн по экспериментальным данным
Lf(xi):=linterp(x,y,xi)
Интерполяция В- сплайном
Задаем порядок интерполяции. В векторе u должно быть на (n-1) меньше элементов, чем в векторе x, причем первый элемент должен быть меньше или равен первому элементу x, а последний - больше или равен последнему элементу x.
n:=3
BS:=bspline(x,y,u,n)
Cтроим В- сплайн по экспериментальным данным
BSf(xi):=(BS, x,y,xi)
Строим график всех функций аппроксимации на одной координатной плоскости.
Рисунок 4-1-график всех функций аппроксимации на одной координатной плоскости.
Заключение
В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например, полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций, оказывается, эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений. Основным недостатком полиномиальной интерполяции является то, что она неустойчива на одной из самых удобных и часто используемых сеток - сетке с равноудаленными узлами. Если позволяет задача, эту проблему можно решить за счет выбора сетки с Чебышевскими узлами. Если же мы не можем свободно выбирать узлы интерполяции или нам просто нужен алгоритм, не слишком требовательный к выбору узлов, то рациональная интерполяция может оказаться подходящей альтернативой полиномиальной интерполяции.
К достоинствам сплайн-интерполяции следует отнести высокую скорость обработки вычислительного алгоритма, поскольку сплайн - это кусочно-полиномиальная функция и при интерполяции одновременно обрабатываются данные по небольшому количеству точек измерений, принадлежащих к фрагменту, который рассматривается в данный момент. Интерполированная поверхность описывает пространственную изменчивость различного масштаба и в то же время является гладкой. Последнее обстоятельство делает возможным прямой анализ геометрии и топологии поверхности с использованием аналитических процедур