6. Аппроксимация вах нелинейных элементов

Вольтамперные характеристики нелинейных элементов на практике чаще всего получают экспериментальным путем и представляют их или в графиче­ской форме [в виде графической диаграммы функции ], или в таблич­ной форме [в виде таблицы координат точек функции]. При аналити­ческих методах расчета нелинейных цепей к ВАХ предъявляются требования, чтобы они были представлены в аналитической форме, т.е. в виде аналитиче­ского выражения.

Под аппроксимацией ВАХ понимают замену ее графической или таблич­ной формы на аналитическую. К уравнению аппроксимации предъявляются два противоречивых требования. Во-первых, уравнение аппроксимации должно по возможности точно описывать заданную ВАХ. Для более полного выполнения этого требования необходимо усложнять структуру этого уравнения. Во-вто­рых, уравнение аппроксимации, будучи введенным в систему уравнений Кирх­гофа, должно позволять решение этой системы доступными методами. Для вы­полнения этого требования структура этого уравнения должна быть по возмож­ности более простой. Таким образом, при выборе уравнения аппроксимации всегда приходится принимать компромиссное решение между этими двумя тре­бованиями.

Различают два способа аппроксимации нелинейных ВАХ – полная и ку­сочная (по частям).

В простейших случаях при монотонном характере изменения функции I(U) ВАХ может быть аппроксимирована полностью одним нелинейным урав­нением (рис. 212а).

В более сложных случаях, когда функция I(U) имеет несколько максиму­мов и минимумов, полная аппроксимация ВАХ одним уравнением становится проблематичной и нерациональной. В таких случаях применяют кусочную ап­проксимацию. Суть ее состоит в том, что вся ВАХ разбивается по тому или дру­гому принципу на отдельные участки (куски) (рис. 212б). Отдельные участки ап­проксимируются однотипными, но простыми по структуре, уравнениями, коэф­фициенты в которых изменяются при переходе от одного участка к другому. Если отдельные участки ВАХ аппроксимируются отрезками прямой , то такая аппроксимация получила название кусочно-линейной. Если отдельные участки ВАХ аппроксимируются квадратичной () или кубической () параболой, то отдельные участки получили название сплайнов, а сама аппроксимация – аппроксимации сплайнами. Кусочная ап­проксимация позволяет получить высокую степень приближения к заданной ВАХ, однако требует большого числа однотипных расчетов при определении коэффициентов в уравнениях аппроксимации.

Кусочная аппроксимация широко применяется при расчете нелинейных цепей на ЭВМ.

7. Аналитические методы расчета нелинейных цепей

Установившейся режим нелинейной цепи постоянного тока можно опи­сать системой нелинейных алгебраических уравнений Кирхгофа, в которых связь между напряжением и током на нелинейных элементах выражена в виде нелинейного уравнения аппроксимации.

Как известно, в математике не существует общих методов решения сис­тем нелинейных уравнений. В каждом конкретном случае метод решения опре­деляется конкретными условиями задачи: структурой системы уравнений, ти­пом аппроксимации ВАХ нелинейных элементов и другими факторами.

В самых простых случаях возможно выполнить непосредственное реше­ние нелинейного уравнения. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных источника ЭДС Е, линейного резистора R₁ и нелинейного резистора НЭ₂ (рис. 213), ВАХ которого аппроксимирована уравнением: а); б); в).

По второму закону Кирхгофа получим уравнение: .

Вид решения этого уравнения зависит от структуры уравнения аппрокси­мации ВАХ.

а)  решение задачи сводится к решению квадратного уравнения с неизвестным током I;

б) решение задачи сводится к решению квадратного уравнения с неизвестным на­пряжением U₂;

в) требуется решение алгеб­раического уравнения 5-й степени, что выполнить обычным методом невоз­можно.

В общем случае для решения системы нелинейных алгебраических урав­нений используют так называемый метод последовательных приближений или метод итераций. Сущность данного метода состоит в следующем: задаются в первом приближении значением искомой величины . Решают задачу по вы­бранному алгоритму в направлении к источнику, в результате чего определяют расчетное значение ЭДС источника. Сравнивают расчетное значение ЭДС источникас заданным значениемЕ и с учетом неравенства задаются значением искомой величины во втором приближении и повторяют расчет по тому же алгоритму. Циклы расчета (итерации) повторяют до достижения же­лаемой точности искомой величины.

Метод последовательных приближений широко используется при расчете нелинейных цепей с помощью ЭВМ. При составлении алгоритма расчета для ЭВМ следует особое внимание обращать на то, чтобы итерационный процесс сходился, в противном случае ЭВМ выдаст ошибку. Рассмотрим несколько примеров.

Пример. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных источника ЭДС Е, линейного резистора R₁ и нелинейного элемента НЭ₂ (рис. 213). На рис. 214а, б показаны два варианта ВАХ нелинейного элемента.

По 2-му закону Кирхгофу получим: или. На рис. 114а, б показано графическое решение этого уравнения, где точкаn соответствует значению искомой величины (U₂, I).

Составим алгоритм (схему) вычислений для ЭВМ методом последова­тельных приближений. Произвольно задаем первое приближение для напряже­ния на нелинейном элементе . Первое приближение для тока находим по ВАХ нелинейного элемента. Последующие приближения для напря­жения на нелинейном элементе находим из уравнения 2-го закона Кирхгофа:,; и т. д.

Процесс расчета по этому алгоритму на рис. 214а, б выглядит в виде спи­рали, которая на рис. 214а закручивается вокруг точки n, а на рис. 214б раскручи­ва­ется. Это означает, что в первом случае итерационный процесс сходится и ЭВМ выдаст результаты решения, а во втором случае итерационный процесс расхо­дится и ЭВМ укажет на ошибку программы.

В курсе математики доказывается, что итерационный процесс сходится при условии, если абсолютное значение производной от искомой величины в окрестностях искомого корня (точки n) меньше 1:

или или.

Для решения данной задачи можно составить другую схему вычислений:

; и т. д.

Тогда условие сходимости примет следующий вид:

или .

Очевидно, если по первой схеме вычислений итерационный процесс схо­дится, то по второй он расходится, и наоборот.

Схему вычислений на ЭВМ можно организовать по известному из мате­матики методу половинного деления. По этому методу приближение для иско­мой величины устанавливается на середине предполагаемой области его значе­ний. В рассматриваемом примере для напряжения U₂ прилагаемая область зна­чений О₁=0; О₂=Е. Схема вычислений будет иметь вид:

если , то

если , то

и т. д.

Сходимость итерационного процесса по этой схеме вычислений показана на рис. 215.

В общем случае для сложной цепи быстрота сходимости итерационного процесса зависит от вида ВАХ НЭ, параметров линейных элементов, выбора начальных приближений. Однако основным фактором, определяющим решение нелинейных уравнений итерационным методом, является выбор схемы (алго­ритма) вычислений.

Итерационный метод сегодня является основным методом расчета нели­нейных цепей.