Лабораторный практикум Компютерное модел 2007
.pdfРассмотрим термодинамический переход из неупорядоченной фазы, существующей при более высокой температуре (нормальное состояние) в состояние с большим порядком и меньшей симметрии. Выше температуры фазового перехода Tc система имеет одно доступное состояние. Ниже Tc система находится в сверхпроводящем состоянии с более низкой свободной энергией (рис. 9.1).
Свободная
энергия
начало фазового перехода
Ветвь с наименьшим значением энергии
Температура
Рис. 9.1. Качественная зависимость свободной энергии для нормальной и сверхпроводящей фаз как функция температуры. Ниже критической температуры Tc система подвергается фазовому переходу второго рода в сверхпроводящее состояние
2. Основная проблема – найти выражение для свободной энергии в сверхпроводящем состоянии. Предполагается, что параметр
порядка имеет вид: ψ = ψ exp(iθ) . Когда параметр порядка ноль,
система находится в нормальном состоянии. Если же параметр порядка отличен от нуля, то система является сверхпроводящей. Вводится основное предположение, что плотность сверхпроводящих частиц (электронов) связана с нормой параметра порядка – ns ~ ψ 2 .
61
Самые существенные независимые переменные – температура и параметр порядка. Поскольку параметр порядка является мал в начале фазового перехода, плотность свободной энергии записывается как ряд по ψ:
f = fn +αψ +βψ2 +cψ3 + dψ4 , |
(9.1) |
где f – полная свободная энергия равна свободной энергии нормального состояния fn плюс добавки из-за сверхпроводимости. Таким образом, параметр порядка минимизирует свободную энергию системы. Поскольку параметр порядка ψ является комплексным,
то необходимо учитывать только четные степени порядка |ψ|2 и
|ψ|4.
Таким образом, корректное выражение для свободной энергии:
f = fn +α(T ) |
|
ψ |
|
2 +β(T ) / 2 |
|
ψ |
|
4 . |
(9.2) |
|
|
|
|
Коэффициенты α и β – константы, определенные для данной температуры и также зависящие от состояния системы. Минимум свободный энергии для параметра порядка отличного от нуля может существовать только, если α < 0 и β > 0. В этом случае, свободная энергия как функция параметра порядка находится, как показано на рис.9.2, и в состоянии равновесия ψ0 = −α / β . Параметры α и β
зависят от температуры, и они определяют значение параметра порядка так, чтобы он изменился между ψ = 0 и ψ0. Уравнение (9.2) и есть уравнение Гинзбурга – Ландау, содержащее основную физику фазового перехода системы.
3. Описание системы с любым пространственным изменением требует модификации вида свободной энергии с целью учета градиента параметра порядка:
|
f = fn +α(T ) |
|
ψ |
|
2 +β(T ) / 2 |
|
ψ |
|
4 + |
1 |
|
|
|
h ψ |
|
2 . |
(9.3) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r |
Наконец, если образец находится во внешнем магнитном поле |
||||||||||||||||||||||||||||||||
H |
, необходимо включить векторный потенциал A , магнитную |
||||||||||||||||||||||||||||||||
индукцию Br = × A , что дает обобщение выражения для плотно- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
сти свободной энергии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
2 |
||||
f = fn +α(T ) |
|
ψ |
|
2 +β(T ) / 2 |
|
ψ |
|
4 + |
|
|
H |
|
|
|
+ |
1 |
|
(−ih − eA)ψ |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8π |
|
2m |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
62
(9.4)
Первое из добавленных слагаемых – энергия магнитного поля, второе представляет кинетическую энергию заряженных сверхпроводящих носителей.
Временная зависимость уравнений Гинзбурга – Ландау
Поскольку система рассматривается при постоянной температуре, перейдем к плотности свободной энергии Гиббса. Свободная энергия Гиббса G преимущественно используется для химических систем и включает работу, требуемую для удаления магнитного
поля из образца. |
Учитывая, что эта энергия имеет вид |
U =1/ 8π ∫Br HrdV , |
получаемg = f −1/ 4π B Hr . Интегрируя по |
всему объему, получаем полную энергию Гиббса:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
fn |
+ α |
ψ |
2 + β / 2 |
ψ |
4 + |
|
|
H |
|
|
|
+ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8π |
|
|
|
|
|||
G = ∫dV |
1 |
|
|
|
|
r |
|
|
2 |
|
|
|
|
r |
|
r . |
(9.5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
eA |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
H |
|
||||||
+ |
|
|
(−ih − |
|
|
)ψ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2m |
c |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
Этот функционал энергии в стационарном состоянии должен быть минимизирован по основным переменным (ψ, A). Условия минимизации могут быть написаны как функциональные производные:
δG |
= 0, |
δG |
= 0 . |
(9.6) |
δψ |
δA |
|||
|
|
r |
|
|
Уравнения (9.6) определяет независимые от времени уравнения Гинзбурга – Ландау, если G – свободная энергия Гиббса. Если же описывается неравновесная система, то для описания используются условия релаксации той же самой свободной энергии G:
∂ ψ |
= − Γ |
δ G |
, |
∂A |
= − Γ |
δG |
= 0 , |
(9.7) |
∂ t |
|
∂ t |
δ Ar |
|||||
δ ψ − |
где скорость релаксации системы контролируется коэффициентом Г, называемым коэффициентом Онзагера. Эта модель известна как модель Глаубера.
63
Движущие силы модели Глаубера имеют чисто релаксационную природу и предполагают, что система будет всегда переходить в состояние с более низкой свободной энергией без любых самопроизвольных переходов. В рамках современных полевых теорий учи-
тывается слагаемое F% , описывающее ланжевеновский шум. Такой источник шума необходим, чтобы в явном виде включить теплорегулируемые переходы в теорию. Без этого система всегда оставалась бы в метастабильном состоянии.
Если вычислить две функциональные производные (приложение к методическим указаниям), то получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
∂ψ |
|
+ α ψ +β |
|
ψ |
|
2 ψ + |
1 |
|
(−ih − |
eA |
)2 ψ + F% |
= 0; |
|
(9.8) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Γ |
|
|
|
|
∂rt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
∂A |
1 |
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
e |
|
|
|
e |
r |
|
|
* |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
×( × |
|
A − H )− |
|
|
|
ψ(−ih − |
|
A) |
ψ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Γ |
|
∂t |
|
4π |
|
|
2mc |
c |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
+ |
|
|
ψ* (ih + |
A)ψ = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2mc |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Второе уравнение может быть записано как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
r |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
∂A |
|
|
|
1 |
×( × A − H )− |
ihe |
(ψ ψ* −ψ* ψ) + |
|
e |
|
|
2 |
A = 0. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
ψ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Γ |
|
|
|
|
∂t |
|
|
4π |
|
|
|
|
2mc |
|
|
|
|
|
mc |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.9) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первое уравнение описывает релаксацию параметра порядка. Легко видеть, что стационарное, постоянное по образцу решение ψ имеет вид ψ0 = −α/ β .
Во втором уравнении, второе слагаемое представляет ток, инициализирующийr локальное магнитное поле. Для стационарной сис-
темы имеем ∂A / ∂t = 0 и мы видим, что последние два слагаемых должны составлять сверхпроводящий ток. Например, одно из граничных условий для этой системы то, что ток из образца равен нулю, или
|
e |
r |
|
|
r |
|
r |
|
(ih + |
A) ψ |
|
= 0, |
× A |
|
= H. |
||
c |
bond |
bond |
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
64
Учет возможного токового состояния
Модель, в которой полный ток разделяется на нормальный и сверхпроводящий ток, называют моделью двух жидкостей. Это подразумевает разделение концентрации электронов на концентрации нормальных и сверхпроводящих носителей. Фактически, параметр порядка представляет собой долю сверхпроводящих электронов, "объединенных" в куперовские пары.
Для системы, не находящейся в равновесии, первый член второго уравнения (9.8) должен быть связан с полным током, но (на данном уровне описания) это уравнение описывается только сверхток
в образце. Фактически слагаемое Γ−1 ∂A / ∂t пропорционально кинетической индуктивности сверхпроводящих электронов. Обобщая на случай с нормальным током, мы должны добавить влияние электрического поля.
Мы знаем, что полный ток связан с магнитным полем выраже-
нием |
4π r |
|
|
r r |
|
|
r |
= |
4π |
(9.10) |
|||
×H = |
c |
J |
c |
(Jn + Js ) . |
||
|
|
|
|
|
Сравнивая уравнение (9.10) с уравнением (9.9), мы видим, что сверхпроводящий ток
Jrs |
|
ihe |
(ψ ψ* −ψ* ψ) − |
e |
2 |
|
|
2 |
r |
|
= |
|
|
ψ |
A . |
(9.11) |
|||||
2m |
mc |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку ток сверхпроводящих электронов не рассеивает энергию, то только ток нормальных электронов отвечает за электриче-
ское поле. В модели двух жидкостей, слагаемое Γ−1 ∂A / ∂t , отвечающее за релаксацию А, должно ассоциировать и с нормальным током, т.е. необходимо заменить кинетическую индуктивность на проводимость используя стандартные соотношение:
r |
r |
1 |
|
∂A |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
Jn = σ E , |
E + |
c |
|
|
= − ϕ. |
(9.12) |
|
r∂t |
|||||||
|
r |
|
|
|
|||
Собирая выражения в форме |
Jt = Jn |
+ Js , получим вместо систе- |
мы (9.8) уравнения вида:
65
1 |
|
|
∂ψ |
+α ψ+β |
|
ψ |
|
2 ψ+ |
1 |
(−ih − |
eA |
)2 ψ+ F% = 0; |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Γ |
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
r |
|
2m |
|
|
c |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
c |
|
|
|
r |
σ |
|
|
|
|
|
|
|
ihe |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∂A |
−σ ϕ+ |
(ψ ψ* −ψ* ψ) − |
||||||||||||||
|
|
|
|
× × A = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4π |
c |
∂t |
2m |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−e2 ψ 2 Ar+ c ×Hr. mc 4π
(9.13)
Второе уравнение теперь учитывает полный ток (нормальный и сверхпроводящий). Отметим, что коэффициенты, определяющие
скорость релаксации основных переменных ψ и A , оказываются теперь разными.
Градиентные преобразования уравнений Гинзбурга – Ландау. Безразмерный вид уравнений. Элементы алгоритма
Уравнение (9.13) должно быть неизменно при градиентных преобразованиях типа:
|
ie |
χ |
|
r r |
1 ∂χ |
|
|
|
|
|
|||
ψ → ψ′ ehc |
|
, |
A → A′+ χ, |
ϕ → ϕ′− c ∂t |
, (9.14) |
где χ – произвольная функция. Чтобы оба уравнения (9.13) были инвариантны, добавим к первому уравнению (9.13) слагаемое, пропорциональное произведению ϕ ψ :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||
1 |
|
∂ψ |
+ |
ie |
ϕ ψ + α ψ +β |
|
ψ |
|
2 ψ + |
1 |
(−ih − |
eA |
)2 ψ + F% = 0. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Γ |
|
∂t hΓ |
|
|
|
|
|
2m |
|
c |
||||
|
|
|
|
(9.15)
Полученные уравнения (9.13) и (9.15), оказываются достаточно правильным относительно уравнений Максвелла, соответствуют зависимым от времени уравнениям Гинзбурга–Ландау, в том числе (с учетом 9.15) подобны виду уравнений, полученных из микроскопики Горьковым и Элиашбергом [51].
66
В этой версии уравнений TDGL также выполняется баланс между энергией системы и диссипацией тока. Действительно, предельный переход к случаю однородного полупространства и постоянного r магнитногоr поля дает уравнение Лондонов× × A + λ−2 A = 0 , с характерной глубиной проникновения магнитного поля:
λ = |
mc2 |
|
= |
mc2β |
|
|
, ψ |
0 |
2 |
= |
|
α |
|
. |
(9.16) |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4πe2 |
ψ0 |
2 |
4πe2 |
|
α |
|
|
|
|
β |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Другой предельный переход – отсутствие магнитного поля – в стационарном случае приводит к уравнению:
|
|
2 |
|
h2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
α ψ +β |
ψ |
|
ψ + |
|
|
ψ = 0 , |
(9.17) |
|
2m |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
которое дает решение для параметра порядка вблизи границы
ψ = ψ0 tanh[(x − x0 ) / 2 ξ], |
ξ = |
h2 |
|
|
, |
(9.18) |
||
2m |
|
α |
|
|
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
где ξ – характерная длина когерентности.
Далее, предполагается, что температурная зависимость длины когерентности и глубины проникновения магнитного поля имеют вид
ξ(T ) = |
|
ξ(0) |
, λ(T ) = |
λ(0) |
, |
(1 |
1/ 2 |
1/ 2 |
|||
|
−T ) |
|
(1−T ) |
|
где T – температура в единицах Tс.
Используя эти две характерные величины, введем безразмерные переменные (табл. 9.1).
67
Таблица 9.1
|
|
|
mc2β |
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
Hcm = |
|
4πα2 |
1/ 2 |
|||||||||||||
λ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
β |
) |
|||
|
4πe2 |
|
α |
|
|
|
|
2m |
|
α |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
κ = |
λ |
= |
β |
|
|
mc |
|
ψ02 = |
|
α |
|
|
, |
|
ψ = ψ0 Λ |
x = ξ x' |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ξ |
2π |
eh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
H = |
|
|
2Hcm H ' |
j = |
cHcm |
j |
' |
A = H |
c2 |
(0) ξ A' |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2πξ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2Hcm λ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πh |
|
||||||
g = |
α |
|
g' |
|
|
|
G = αβ ξ3 G' |
t = |
|
t' |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
(96k T ) |
|||||||||||||||||||||||||
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b c |
|
|||
Здесь, |
kB – |
постоянная Больцмана, Hc2 (0) |
– верхнее критиче- |
ское магнитное поле для сверхпроводников 2-го рода при нулевой температуре.
Используя эти переменные, а также соотношение
• 4πλ2 (T )σ |
|
ξ2 |
(T )Γ |
|
πh |
|
|
|
T −1 |
|
|
T −1 |
, |
|||||
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
1 |
− |
|
|
≡ t0 1 |
− |
|
|
|
|
c |
2 |
|
12 |
96k |
T |
T |
T |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
c |
|
c |
|
c |
|
вводим преобразование скалярного и векторного потенциалов, а также параметра порядка и получаем безразмерный вид уравнений
TDGL:
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
1 |
|
|
r |
|
Λ+(1−T )( |
|
|
|
2 |
−1)Λ |
|
|
% |
r |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
( |
|
+iΦ)Λ = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(r |
,t); |
|||||||||||
∂t |
η |
|
i |
− A |
|
|
Λ |
|
|
|
|
+ f |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 r r |
r |
|
|
|
|
|
* |
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
∂A |
−Φ] |
+ |
|
(9.19) |
||||||||||
κ × × A = (1−T ) Re Λ |
|
i |
− A)Λ +[− |
|
∂t |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
super |
|
|
|
|
|
|
|
norm |
|
|
|
|
|
|
+[κ2 × Hr] |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exter |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
68
где введены безразмерные величины: Λ – параметр |
порядка |
r |
Φ(rr) – |
[0 ÷ 1]; A – векторный потенциал; Т – температура [0 ÷ 1]; |
шение характерных времен релаксации для ∆ и часть комплексной величины.
Последнее слагаемое уравнений (9.19) представляет внешний ток rjexter с условием rjexter = 0 . На данном этапе реализованного алгоритма он будет опущен.
В безразмерных единицах, динамика сверхпроводника зависит только от безразмерного параметра Гинзбурга – Ландау κ . Для
сверхпроводника с κ <1/ |
2 характерно поведение как сверхпро- |
водника I типа, для κ > 1/ |
2 – как сверхпроводника II типа. |
Система уравнений для |
∆ и A при определенных начальных |
условиях должна быть решена в ограниченной области Ω со следующими граничными условиями:
Граничное условие для A : внешнее магнитное поле He, приложеное в направлении оси z, может быть переменным во времени, но пространственно однородно. Непрерывность поля, таким образом,
подразумевает: |
r |
|
|
|
|
|
BZ = eˆZ × A . |
(9.20) |
Граничное условие для параметра порядка ∆: Проекции плот-
ность сверхпроводящего тока, перпендикулярная к границе образ-
ца, равна нулю, а именно: |
|
νˆ (−i − Ar)∆ = 0 , |
(9.21) |
где νˆ обозначает единичный вектор, нормальный к поверхности сверхпроводника, граничащей с вакуумом. Это автоматически подразумевает, что нормальная составляющая исчезает, так как полный ток через поверхность сверхпроводник-вакуум равен нулю. Чтобы явно показать это, напомним, что плотность сверхпроводящего и нормального компонента тока равны:
69
J S = (1 − T ) R e[∆* (−i − A)∆], |
|
J N |
|
→ |
(9.22) |
||||||||
|
= − ∂ A . |
||||||||||||
→ |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
→ |
|
Перепишем второе уравнение (9.19) как |
JN + JS |
=κ2× × A . |
|||||||||||
Проектирование |
этого |
уравнения |
|
на |
нормаль |
|
к поверхности |
||||||
νˆ = (νx ,νy ,0) приведет к уравнению: |
|
−ν ∂ )B |
|
||||||||||
νˆ J |
|
+νˆ J |
|
=κ2 |
(ν ∂ |
|
|||||||
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
S |
|
x |
|
|
|
y |
|
|
z . |
(9.23) |
|
|
|
|
∂y |
|
∂x |
|
Так как в (9.23) справа представлена только тангенциальная производная, то правая сторона тождественно равна нулю, т.е. полный ток через границу равен нулю. Намагниченность образца в этом случае можно ввести следующим образом:
MZ (t) = |
∫ |
(BZ (x, y,t) − He )dxdy |
. |
(9.24) |
|
4π ∫dxdy |
|||
|
|
|
|
Разностные приближения к уравнениям TDGL обычно получают, используя метод конечных элементов. Наиболее физическим методом расчета TDGL является ψU -метод, в рамках которого
наряду с параметром порядка ψ используются два вспомогатель-
ных поля U x и U y , которые связаны с векторным потенциалом A соотношениями:
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
−i |
∫ |
|
|
|
|
(9.25) |
||
U x (x, y,t) = exp |
|
|
A (ξ, y,t)dξ , |
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
−i |
∫ |
|
|
|
(9.26) |
||
U y (x, y,t) = exp |
|
|
A (x,η,t)dη . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
Точка (x0,y0) выбирается произвольно. Эти переменные были применены к уравнениям TDGL в работе [3]. ψU -метод оказался
весьма полезным при численном моделировании многих явлений сверхпроводимости [3, 6 – 8].
70