физика лабы 1 курс

Если угол отклонения все время остается очень малым ( <10°), то можно приближенно считать:

sin (в радианах)

Учтем, что х – отклонение грузика по дуге радиуса l от положения равновесия и – угол отклонения связаны соотношением:

x l

тогда выражение (1) запишется в виде:

l

Знак «минус» ставиться в связи с тем, что сила F направлена против положительного направления смещения х.

Отсюда видно, что величина силы, под действием которой происходит движение грузика, меняется пропорционально смещению х от положения равновесия (х=0) и всегда направлена к положению равновесия. Нужно отметить, что под действием такой силы система совершает гармонические колебания.

Напишем уравнение движения грузика: ma mx F (3)

где х' и х" - соответственно первая и вторая производные х по времени.

Подставляя (2) в (3), получим

mx mg x (4) l

Или x g x 0 (5) l

Решением этого уравнения будет функция:

Обозначим g /l 02 и запишем уравнение движения грузика (6) в таком виде:

X Asin 0t

Таким образом, мы нашли, что математический маятник совершает гармонические колебания.

Очевидно, что смещение грузика х не измениться, если фаза ( 0t ) изменится на

Из формулы (8) следует, что при малых отклонениях период колебания математического маятника обратно пропорционален корню квадратному из ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебания и массы маятника.

Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник считают физическим. Физическим маятником называют твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести относительно горизонтальной оси, не проходящей через центр масс. Собственные колебания физического маятника будут происходить так же, как и колебания

Рис.2

Расстояние от центра масс 0 до оси равно d, тогда при повороте тела от положения равновесия на угол возникает вращающий момент силы тяжести:

M mgd sin

где m - масса тела.

Момент силы, направлен так, что тело движется к положению равновесия, в котором момент М становиться равным нулю.

В соответствии с основным законом динамики вращательного движения: M J

напишем уравнение моментов, полагая, что трение на оси отсутствует:

J J mgd sin

где J – момент инерции тела относительно горизонтальной оси, проходящей через точку 0, - угловое ускорение (вторая производная угла смещения по времени).

При малых углах отклонения sin , тогда

J mgd 0

или

mgd 0 (9)

J

Это уравнение по виду совпадает с уравнением (5). Следовательно, будет изменятся по гармоничному закону с частотой

mgd J

и с периодом T 2 J

mgd

Период колебаний физического маятника существенно зависит не только от расстояния от оси до центра тяжести d, но и от момента инерции маятника J относительно оси 0, т.е от расположения отдельных элементов массы маятника.

Из сопоставления формул (8) и (10) получается, что математический маятник с длиной lïð J /md будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник.

Величину lïð называют приведенной длиной физического маятника. Таким образом,

приведенная длина физического маятника – это длина математического маятника, период колебания которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Если к оси физического маятника подвесить «математический» маятника, т.е. грузик m малых размеров на нити и подобрать длину этой нити так, чтобы она была равной приведенной длине физического маятника, то отклоненные на одинаковый угол, оба маятника колеблются одинаковым периодом, так что грузик все время находится в одной и той же точке физического маятника. Центр качаний всегда лежит дальше от оси вращения, чем центр тяжести (lïð d) .

Так как период маятника зависит от g. то маятником можно пользоваться для определенной величины g. При точных измерениях ни один маятник нельзя рассматривать как математический. Поэтому при точных измерениях для расчета силы тяжести пришлось бы пользоваться формулой (10). Но расчет момента инерции маятника не может быть произведен с большой точностью.

Рис.3 Для устранения этих трудностей используют свойство центра качаний, которое

заключается в следующем. Если перенести точку подвеса физического маятника 0 (рис.3) в центр качаний 0, то прежняя точка подвеса окажется новым центром качаний. Точка подвеса и центр качаний обратимы.

Таким образом, во всяком физическом маятнике всегда можно найти две точки, что при последовательном подвешивании маятника за ту или другую из них период остается одним и тем же. Расстояние между этими точками определяет собой приведенную длину данного маятника. На этом свойстве (свойства сопряженности) основано применение оборотного маятника для определения ускорения силы тяжести g.

Рис.4 Оборотные маятники в зависимости от предъявляемых к ним требований имеют самую

различную форму. Обычно они состоят из металлического стержня длиной свыше 1 метра, на поверхность которого нанесены миллиметровые деления. По стержню могут передвигаться и закрепляться тяжелые чечевицы (грузы I и II) и опорные призмы А и В. Различные комбинации чечевиц и их положений на стержне с опорными призмами дают различные типы оборотных маятников.

Один из них изображен на рис.4, где С — центр тяжести маятника, d1 - расстояние от ребра призмы А до С. d2 -расстояние от ребра призмы В до С, ТA – период качания маятника вокруг ребра призмы А, ТB – период качания маятника вокруг ребра призмы В. Если амплитуда колебаний маятника мала, то период колебания с достаточной точностью определяется формулой:

T 2 J (10) mgd

Тогда ТA и ТB соответственно равны:

TÂ 2 JÂ mgd2

где JA и JB – момент инерции маятника относительно ребра (осей вращения) призмы А и

В.

Пользуясь теоремой Гюйгенса-Штейнера, можно доказать, что в случае равенства периодов TA=TB=TR, величину ускорения можно определить по формуле:

где lR d1 d2 – приведенная длина.

Однако добиться полного совпадения периода колебания около обеих осей чрезвычайно трудно. Обычно в процессе измерения находят такое положение призм и чечевиц, при котором маятник, подвешенный на призмах А и В, колеблется приблизительно с одинаковыми периодами (TA TB с точностью до 0,5%) и рассчитывая g по формуле (12), определяют погрешность.

Точное значение g вычисляют по формуле Бесселя, вывод которой приведен ниже. Если расстояние между ребрами призм равно lR d1 d2 , истинный период маятника,

имеющего такую приведенную длину, равно TR, то в действительности мы при наблюдении колебаний около обеих осей получим несколько различные периоды ТА и ТВ, которым будут,.

Возведя в квадрат и деля первое равенство на каждое из последующих, найдем:

IRTA2 IATR2 и IRTÂ2 IÂTR2 (14)

Используя формулу (11) и теорему Гюйгенса-Штейнера, напишем для приведенных длин lA и lB следующие соотношения:

Исключая отсюда JC /m, получим d1TA2 dTB2 (d1 d2 )TR2 Откуда

TR2 d1TA2 d2TB2 d1 d2

Это равенство можно записать в виде:

Из первого равенства (13) найдем g 4 2lR /TR2 и подставим в него значение TR2 из (15)

После очевидных преобразований получим:

Эта формула носит название формулы Бесселя. Она позволяет достаточно просто и с необходимой степенью точности найти величину, ускорения при приближенном равенстве периодов колебаний оборотного маятника.

Если TA и TB близки к друг другу, а величина d1 и d2 сильно отличаются одна от другой (для чего обычно делают одну чечевицу полой, а другую сплошной), то d1 и d2 достаточно измерить с точностью до миллиметра. Для этого маятник осторожно снимают с подвеса и кладут на подставку с острием. Добиваются уравновешивания маятника. Расстояние от острия до опорных призм маятника при равновесии дают величины d1 и d2.

Описание прибора В работе используется универсальный маятник, общий вид которого представлен на

рис.5.

Рис. 5

Основание 1 оснащено регулируемыми ножками 2, которые позволяют произвести выравнивание прибора. В основании закреплена колонка 3, на которой зафиксирован верхний кронштейн 4 и нижний кронштейн 5 с фотоэлектрическим датчиком 6. После отвинчивания воротка 11 верхний можно поворачивать вокруг колонки. Затяжение воротка 11 фиксирует кронштейн в любом произвольно выбранном положении, с другой стороны кронштейн 4 находится математический маятник 7, с другой - на вмонтированных вкладышах оборотный маятник 8. Длину математического маятника можно регулировать при помощи воротка 9, а величину можно определить при помощи шкалы на колонке 3.

Оборотный маятник выполнен в виде стального стержня, на котором фиксированы две повернутые друг к другу ребрами призмы и две чечевицы. На стержне через 10 мм выполнены кольцевые нарезки, служащие для точного определения длины оборотного маятника (расстояние между ребрами призмы). Призмы и чечевицы можно перемещать вдоль оси стержня и фиксировать в любом положении. Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в произвольно выбранном положении.

На лицевой панели миллисекундомера находятся следующие элементы управления:

датчика.

СБРОС – установка нуля измерителя. Нажатие, этой клавиши вызывает снятие напряжения со схемы миллисекундомера и генерирование сигнала разрешения на измерение.

СТОП – окончание измерения. Нажатие клавиши вызывает генерирование сигнала разрешения на окончание процесса счета.

На задней стенке миллисекундомера размещены входное гнездо, служащее для подключения фотоэлектрического датчика, и заземляющий зажим.

Упражнение 1 Определение ускорения силы тяжести с помощью математического маятника

показывают цифру 0 и горит ли лампочка фотоэлектрического датчика.

2.Нижний кронштейн вместе с фотодатчиком установить в нижней части колонки так, чтобы верхняя грань кронштейна показывала на шкале длину не менее 50 см. Затянуть вороток, фиксируя фотодатчик.

3.Поворачивгш верхний кронштейн, поместить над датчиком математический маятник. Вращая вороток на верхнем кронштейне, установить длину математического маятника, обращая внимание на то, чтобы черта на шарике была продолжением черты на корпусе фотодатчика. Привести математический маятник в движение отклоняя шарик 4 – 5° от положения равновесия.

4.Нажать клавишу СБРОС и после подсчета 10 колебаний нажать клавишу СТОП.

5.По формуле Т=t/10, (t-продолжительность колебаний в секундах) вычислять период колебаний маятника. По формуле (8) Вычислить ускорение силы тяжести, используя среднее значение Т, полученное из пяти независимых измерений.

Упражнение 2 Определение ускорения сипы тяжести оборотным маятником (метод Бесселя)

местности gтеор 9,81м/с2

Контрольные вопросы:

1.Что такое колебания?

2.Какие колебания называются гармоническими?

3.Какие колебания называются собственными?

4.Что называется математическим маятником?

5.Что называется физическим маятником?

чем центр тяжести.

9.Доказать обратимость точки и центра качания.

10.Сформулировать и доказать теорему Гюйгенса-Штейнера.

ЛИТЕРАТУРА

1.Стрелков СП. Механика. М, 1975, 59, 123-126.

2.Хайкин С.Э. Физические основы механики. М., 1971, 40, 69, 87, 89-91. 3.Сивухин Д.В. Общий курс физики. ГЛ. Механика. М., 1979, §35, 41.

Лабораторная работа №35 Определение отношения удельных теплоемкостей газов

Цель работы: Определить отношение удельных теплоемкостей для воздуха методом Клемана и Дезорма.

Приборы и принадлежности: стеклянный сосуд, жидкостный манометр, насос Комовского.

Введение

При сообщение системе теплоты Qее температура изменяется на dT. Величина

C Q (1) dT

называется теплоемкостью. Теплоемкость измеряется количеством теплоты, затрачиваемым для повышения температуры тела на один Кельвин. Теплоемкость, отнесенная к массе тела, называется удельной. Теплоемкость моля молекул вещества называется молярной. Обычно, если не оговорено, под теплоемкостью понимается именно молярная теплоемкость.

Теплоемкость зависит от условий, в которых телу сообщается теплота и изменяется его температура. Например, если газу сообщается количество теплоты Qи при этом газ расширяется, совершая работу, то его температура поднимается меньше, чем если бы при сообщении теплоты Qгаз не расширился, при этом параметры Р, V, Т закономерно связаны с друг другом.

Первое начало термодинамики, являющееся выражением закона сохранения энергии, связывает изменение макроскопических параметров с изменением энергетических условий на молекулярном уровне.

Q – теплота, подводимая к системе или забираемая от нее.

Теплота – это энергия в специфической форме – форме молекулярного движения.

Из эксперимента видно, что при соприкосновении двух тел их тепловое состояние выравнивается. Говорят, что от более теплого тела к более холодному переходит теплота. Q 0, если она сообщается системе, и отрицательная Q 0если забирается от нее. dU - внутренняя энергия. Она связана со всевозможными движениями частиц системы и их взаимодействиями между собой, включая энергию, обусловленную взаимодействием и движением частиц, составляющих сложные частицы.

dU>0, если внутренняя энергия системы увеличивается. dU<0, если внутренняя энергия системы уменьшается.А - работа производимая но преодолению сил давления

А PdV

Она имеет отрицательный знак, если производится внешними силами над газом. Работа производимая газом при увеличении его объема, имеет положительный знак.

Приращение внутренней энергии системы равно сумме количества работы, совершенной

Когда процесс закончен, нет ни работы, ни теплоты. В конце процесса и работа, и теплота переходят во внутреннюю энергию системы. Основные параметры, характеризующие состояние системы, P,V,J изменяются при изменении внутренней энергии системы.

Если нагревание системы происходит при постоянном объеме V = const, тело не совершает работы над, внешними телами и , следовательно, все тепло идет на приращение внутренней энергии тела:

QV dU (3)

Тогда теплоемкость при постоянном объеме

dU

СV dT (4)

Внутренняя энергия произвольной массы газа будет равна внутренней энергии одного моля, умноженной на число молей газа, содержащейся в массе m

m

V CV T (5)

Если нагревание происходит при постоянном давлении, то газ будет расширяться, совершая над внешними телами положительную работу. Следовательно, для повышения температуры газа на один Кельвин в этом случае понадобиться больше тепла, чем при нагревании при постоянном объеме, часть тепла будет затрачиваться на совершение работы. Поэтому теплоемкость при постоянном давлении больше, чем теплоемкость при постоянном объеме. Для моля газа уравнение (2) напишется:

Q dU PdV

Разделив на dТ получим выражение для молярной теплоемкости при постоянном давлении:

Ср dU P(dV )p (6) dT dT

Из уравнения состояния идеального газа имеем

А внутренняя энергия идеального газа имеет

при Т = const и PV = const. Это уравнение изотермы идеального газа.

Если протекающий процесс в системе происходит без теплообмена с внешней средой, то уравнение, связывающее параметры идеального газа называется адиабатическим, и первое начало термодинамики записывается для этого процесса,

Учитывая что в уравнении (9)P mRT , оно перепишется:

V

CV dT RT dV 0 (10) V

Преобразуем выражение (10)

придем к уравнению

TV 1 const (14)

Заменив в нем Т через Р и V, получим уравнение адиабаты

PV const (15)

Его называют также уравнением Пуассона. Величина отношения удельных теплоемкостей играет большую роль в адиабатических процессах и в процессах, близких к ним. Например, определяется скорость распространения звука в газах, от нее зависит течение газов по трубам со звуковыми скоростями и достижение сверхзвуковых скоростей в расширяющихся трубах.

Методика определения СP /СV , предложенная Клеманом и Дезормом, основана на адиабатическом расширении или сжатии газа. Для определения СP /СV берут стеклянный

сосуд, соединенный с манометром. Посредством крана сосуд может соединяться с атмосферой и насосом. Пусть первоначально в нем было атмосферное давление, если с помощью насоса качать в сосуд небольшое количество воздуха и закрыть кран, то давлений в сосуде повыситься; но если это повышение было произведено достаточно быстро, манометрический столбик не сразу займет окончательное положение, так как сжатие воздуха было адиабатическим и следовательно, температура его повысилась. Окончательная разность уровней в манометре h1 установится только тогда, когда температура воздуха внутри сосуда сравняется, благодаря теплопроводности стенок, с температурой окружающего воздуха. Обозначим через T1

абсолютную температуру окружающего воздуха и через P1 – давление газа внутри сосуда,

соответствующее показание манометра h1 ; совершенно ясно, что

P1 P0 h1 (16)

где Ро – атмосферное давление (конечно при этом Ро и h1 должны быть выражены в одинаковых единицах). Эти два параметра T1 иP1 характеризуют состояние газа, которое мы назовем первым состоянием газа (I) - состояние T1 и P1 .

Если теперь быстро отрыть кран, то воздух в сосуде будет расширяться адиабатически, пока давление его не сделается равным Р2: при этом он охладится до температуры T2 (это будет вторым состоянием газа) (II)-состояние газа: T2 , Р2.

Обозначим давление воздуха в сосуде в тот момент через Р2 и соответствующее показание манометра через h2 . Ясно, что

P2 P0 h2 (17)

Так как переход от I состояния к II состоянию произошел без изменения объема, то мы вправе применить здесь закон Шарля:

К процессу адиабатического расширения, т.е. к переходу из I состояния во II, может быть применен закон Пуассона, который удобно написать в следующем виде: