Контрольные вопросы

1. Что такое ЭДС, напряжение, сила тока, сопротивление?

2. Сформулировать правила Кирхгофа.

3. Сформулировать законы Ома.

4. Когда достигается максимальный КПД источника?

Как рассчитать это условие?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №14

Изучение распределения случайных ошибок измерений

Неконтролируемые причины, приводящие к появлению ошибок измерений, могут быть самыми разнообразными:

- неопределенность самой определяемой величины.

Например, если мы будем говорить о «диаметре d Земли», приближенно считая ее шаром, то при измерениях естественно, обнаружатся колебания d, вызванные расхождением между моделью и действительностью. Под «истинным значением» d естественно понимать какое - то среднее значение.

- колебания других систем, не имеющих прямого отношения к измеряемой, но влияющих на показания приборов и вообще на результат измерений.

- несовершенство измерений процедуры измерений, приборов и органов чувств экспериментатора.

Результат измерений является суммой полезного сигнала х_ист и сигнала помехи х, т.е. ошибки

х_изм= х_ист+ х

В отдельных опытах ошибка х принимает значения х_i (j =1,2,3…-номер измерения), которые никак не связаны между собой и совершенно непредсказуемы. При этом измеренная величина х_изм принимает значения, соответственно х_j = х_иcт +х_j. Такие величины носят название случайных, и для их описания применяют методы теории вероятностей. Совместное действие большого числа отдельных независимых помех приводит к невозможности предсказать результат отдельного измерения. Однако можно установить, насколько часто будет встречаться то или иное конкретное значение х_изм

Предположим, что мы провели N измерений величины х и получили набор значений х_изм. Выделим на оси х такой интервал, х_min х х _max, что все значения х_изм лежат внутри этого интервала. Разобьем его на m равных отрезков длины х=(х_max –х_min)/m и подсчитаем, сколько значений из общего числа N результатов измерений попадает в каждый их этих промежутков. Пусть, например, в промежутке х_k(х_min+ Kx х_min (K+1)x лежит n_k результатов. Построим на каждом отрезке x_k, x_k+1 (К=0,1,2 ) прямоугольник с высотой n/Nx. Мы получим тогда график, подобный показанному на рис.1 и называемый гистограммой. Площадь каждого из прямоугольников равна n_k/N - относительной частоте попадания результатов в промежуток  х_k.

Рис.1

Рис.2

Если число измерений N невелико, гистограмма может иметь довольно неправильный вид, зависящий от случайного выпадения тех или иных значений x_изм, но если N растет, то в форме гистограммы все в большей степени проявляются закономерности, определяемые физической природой процессов., происходящих при измерении. В пределе N , относительная частота n_k/N принимает вполне определенное /уже случайное/ значение, которое называется вероятностью попадания x_изм в интервале x_k и обозначается:

P(x_k  x  x_k-1) =

Если мы, кроме того, устремим m к бесконечности, так что x0, то верхушки прямоугольников на рис.1 сольются в плавную кривую /см.рис.2/, ординаты которой представляют собой значения плотности вероятности получения результата х _изм=х. Если выделим на оси абсцисс произвольный промежуток а  х  в, то площадь, заключенная под этой кривой между отрезками х=а и х=в, равна вероятности того, что х_изм попадает в указанный промежуток, т.е. Р(а  х  в). Отсюда название Р(х) – плотность вероятности.

В теории вероятностей показываются, что если ошибки измерений вызываются очень большим числом независимых помех, каждая из которых вносит очень малый положительный или отрицательный вклад, то плотность распределения случайных ошибок описывается так называемым нормальным законом или законом Гаусса:

Р(х)=Р(х)=

(е=2,71828….– основание натуральных логарифмов). Последняя формула содержит только два параметра - х_ист и  . Зная их, можно построить кривую Р(х).

Функция Гаусса (рис.3) имеет следующие основные свойства, которые легко понять исходя из упомянутых предпосылок ее вывода:

Рис.3

1. Кривая Р(х) симметрична относительно хист т.е. положительные и отрицательные ошибки встречаются одинаково часто. Это очевидно, т.к. все помехи имеют случайных характер (несистематических ошибок). 2. Кривая Р(х) имеет вид колокола: пик ее лежит при х = хист

довольно тупая вершина указывает на то, что любые малые значения ошибок почти равновероятны, а затем наблюдается быстрый спад, указывающий на малую невероятность больших ошибок. Это понятно, так как для получения большой ошибки все источники помех должны одновременно дать вклад одного знака, что случается очень редко.

3. Полная площадь под кривой Р(х) равна 1, это обеспечивает нормировочный множитель 1/перед экспонентой, т.к. вероятность совершения хоть какой-нибудь ошибки равна единице.

Параметр  характеризует ширину распределения: при х_изм - х_ист величина Р(х) в = 1,64 раз меньше, чем прих_изм– х_ист. В интервале   х_изм - х_ист   заключена большая часть площади под кривой Р(х) (приблизительно 68%).

- называется средней квадратичной ошибкой.

²- называется дисперсией случайной величины.

В данной работе предполагается провести большое количество прямых измерений одной и той же величины в таких условиях, когда случайные ошибки измерений играют большую роль. По результатам измерений изучаются на опыте основные закономерности, которым подчиняется распределение случайных ошибок.