Задача 6.

По данным о динамике потребления продуктов питания рассчитайте показатели ряда динамики по годам и в среднем за период анализа двумя способами. Результаты представьте в табличной форме. Проведите аналитическое выравнивание ряда динамики. Постройте график динамики. По результатам расчетов сделайте вывод и прогноз на 3 года.

Потребление продуктов питания на душу населения Республики Башкортостан в год, кг

Годы	Мясо и мясопродукты
1999	73
2000	74
2001	69
2002	71
2003	70
2004	68
2005	62
2006	57
2007	66
2008	52
2009	54
2010	59
2011	65
2012	68

Решение:

Для расчета показателей анализа динамики на постоянной базе, каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. В качестве базисного выбирается либо начальный уровень в ряду динамики, либо уровень, с которого начинается какой-то новый этап развития явления. Исчисляемые, при этом, показатели называются базисными. Для расчета показателей анализа динамики на переменной базе, каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Вычисленные таким образом показатели анализа динамики называются цепными.

Абсолютный прирост характеризует увеличение или уменьшение уровня рада за определенный промежуток времени.

Темп роста (снижения) исчисляют для оценки интенсивности, то есть относительного изменения уровня динамического ряда за какой-либо период времени.

Темп прироста (сокращения) показывает, на сколько процентов сравниваемый уровень больше или меньше уровня, принятого за базу сравнения и вычисляется как отношение абсолютного прироста к абсолютному уровню, принятому за базу сравнения.

Абсолютное значением одного процента прироста рассчитывают как отношение абсолютного прироста к темпу прироста за этот период времени.

У_i – текущий уровень;

Y₀ – базисный уровень;

Y_i-1 – предыдущий уровень.

Год	Условное обозначение	Мясо и мясопродукты, кг	Абсолютный прирост		Темп роста		Темп прироста		Абсолютное значение 1% прироста
			Баз.	Цепн.	Баз.	Цепн.	Баз.	Цепн.	П=0,01*Yi-1
			Yi-Y0	Yi-Yi-1	Yi/Y0	Yi/Yi-1	T=Ti-100
1999	Y0	73	-	-	-	-	-	-	-
2000	Y1	74	1	1	101	101	1	1	0,73
2001	Y2	69	- 4	- 5	95	93	- 5	- 7	0,74
2002	Y3	71	- 2	2	97	103	- 3	3	0,69
2003	Y4	70	- 3	- 1	96	99	- 4	- 1	0,71
2004	Y5	68	- 5	- 2	93	97	- 7	- 3	0,7
2005	Y6	62	- 11	- 6	85	91	- 15	- 9	0,68
2006	Y7	57	- 16	- 5	78	92	- 22	- 8	0,62
2007	Y8	66	- 7	9	90	116	- 10	16	0,57
2008	Y9	52	- 21	- 14	71	79	- 29	- 21	0,66
2009	Y10	54	- 19	2	74	104	- 26	4	0,52
2010	Y11	59	- 14	5	81	109	- 19	9	0,54
2011	Y12	65	- 8	6	89	110	- 11	10	0,59
2012	Y13	68	- 5	3	93	105	- 7	5	0,65
Y		908		- 5

Абсолютный прирост:

1) базисный

2000: А₁ = 74 – 73 = 1

2001: А₂ = 69 – 73 = - 4

2002: А₃ = 71 – 73 = - 2

2003: А₄ = 70 – 73 = - 3

2004: А₅ = 68 – 73 = - 5

2005: А₆ = 62 – 73 = - 11

2006: А₇ = 57 – 73 = - 16

2007: А₈ = 66 – 73 = - 7

2008: А₉ = 52 – 73 = - 21

2009: А₁₀ = 54 – 73 = - 19

2010: А₁₁ = 59 – 73 = - 14

2011: А₁₂ = 65 – 73 = - 8

2012: А₁₃ = 68 – 73 = - 5

2) цепной

2000: А₁ = 74 – 73 = 1

2001: А₂ = 69 – 74 = - 5

2002: А₃ = 71 – 69 = 2

2003: А₄ = 70 – 71 = - 1

2004: А₅ = 68 – 70 = - 2

2005: А₆ = 62 – 68 = - 6

2006: А₇ = 57 – 62 = - 5

2007: А₈ = 66 – 57 = 9

2008: А₉ = 52 – 66 = - 14

2009: А₁₀ = 54 – 52 = 2

2010: А₁₁ = 59 – 54 = 5

2011: А₁₂ = 65 – 59 = 6

2012: А₁₃ = 68 – 65 = 3

Темп роста:

1) базисный

2000: Тр₁ = 74 / 73 * 100 = 101

2001: Тр₂ = 69 / 73 * 100 = 95

2002: Тр₃ = 71 / 73 * 100 = 97

2003: Тр₄ = 70 / 73 * 100 = 96

2004: Тр₅ = 68 / 73 * 100 = 93

2005: Тр₆ = 62 / 73 * 100 = 85

2006: Тр₇ = 57 / 73 * 100 = 78

2007: Тр₈ = 66 / 73 * 100 = 90

2008: Тр₉ = 52 / 73 * 100 = 71

2009: Тр₁₀ = 54 / 73 * 100 = 74

2010: Тр₁₁ = 59 / 73 * 100 = 81

2011: Тр₁₂ = 65 / 73 * 100 = 89

2012: Тр₁₃ = 68 / 73 * 100 = 93

2) цепной

2000: Тр₁ = 74 / 73 * 100 = 101

2001: Тр₂ = 69 / 74 * 100 = 93

2002: Тр₃ = 71 / 69 * 100 = 103

2003: Тр₄ = 70 / 71 * 100 = 99

2004: Тр₅ = 68 / 70 * 100 = 97

2005: Тр₆ = 62 / 68 * 100 = 91

2006: Тр₇ = 57 / 62 * 100 = 92

2007: Тр₈ = 66 / 57 * 100 = 116

2008: Тр₉ = 52 / 66 * 100 = 79

2009: Тр₁₀ = 54 / 52 * 100 = 104

2010: Тр₁₁ = 59 / 54 * 100 = 109

2011: Тр₁₂ = 65 / 59 * 100 = 110

2012: Тр₁₃ = 68 / 65 * 100 = 105

Темп прироста:

1) базисный

2000: Тпр₁ = 101 – 100 = 1

2001: Тпр₂ = 95 – 100 = - 5

2002: Тпр₃ = 97 – 100 = - 3

2003: Тпр₄ = 96 – 100 = - 4

2004: Тпр₅ = 93 – 100 = - 7

2005: Тпр₆ = 85 – 100 = - 15

2006: Тпр₇ = 78 – 100 = - 22

2007: Тпр₈ = 90 – 100 = - 10

2008: Тпр₉ = 71 – 100 = - 29

2009: Тпр₁₀ = 74 – 100 = - 26

2010: Тпр₁₁ = 81 – 100 = - 19

2011: Тпр₁₂ = 89 – 100 = - 11

2012: Тпр₁₃ = 93 – 100 = - 7

2) цепной

2000: Тпр₁ = 101 – 100 = 1

2001: Тпр₂ = 93 – 100 = - 7

2002: Тпр₃ = 103 – 100 = 3

2003: Тпр₄ = 99 – 100 = - 1

2004: Тпр₅ = 97 – 100 = - 3

2005: Тпр₆ = 91 – 100 = - 9

2006: Тпр₇ = 92 – 100 = - 8

2007: Тпр₈ = 116 – 100 = 16

2008: Тпр₉ = 79 – 100 = - 21

2009: Тпр₁₀ = 104 – 100 = 4

2010: Тпр₁₁ = 109 – 100 = 9

2011: Тпр₁₂ = 110 – 100 = 10

2012: Тпр₁₃ = 105 – 100 = 5

Абсолютное значение 1% прироста:

2000: 0,01 * 73 = 0,73

2001: 0,01 * 74 = 0,74

2002: 0,01 * 69 = 0,69

2003: 0,01 * 71 = 0,71

2004: 0,01 * 70 = 0,7

2005: 0,01 * 68 = 0,68

2006 0,01 * 62 = 0,62

2007: 0,01 * 57 = 0,57

2008: 0,01 * 66 = 0,66

2009: 0,01 * 52 = 0,52

2010: 0,01 * 54 = 0,54

2011: 0,01 * 59 = 0,59

2012: 0,01 * 65 = 0,65

Определим среднегодовой абсолютный прирост:

A_ср. = (Y₁₃ – Y₀) / (n - 1)

A_ср. = (68 – 73) / (14 - 1) = - 5 / 13 = - 0,384

или

Аср. = ∑Аi / (n - 1)

Аср. = - 5 / (14 - 1) = - 5 / 13 = - 0,384

Определим среднегодовой коэффициент (темп) роста:

Тр_ср. =

Тр_ср. = = = 0,99 (99%)

либо средней геометрической простой

R = = = = 0,99 (99%)

Определим среднегодовой темп прироста:

Тпр_ср. = Тр_ср. – 100 = 99 – 100 = -1%

Проведем аналитическое выравниванием рядя динамики. Этот метод является способом определения тренда, то есть изменения уровней явления во времени, независимое от случайных колебаний.

Для этого используем линейную зависимость, представленную следующим уравнением:

, где

a – величина, не имеющая значения;

b – коэффициент регрессии, показывающий насколько в среднем изменится уровень ряда при изменении времени на единицу;

t – хронологический показатель времени.

Для определения параметров уравнения a и b составим таблицу.

Год	Мясо и мясопродукты, кг (y)	t	y * t	t2
1999	73	- 7	- 511	49	85,83
2000	74	- 6	- 444	36	82,84
2001	69	- 5	- 345	25	79,85
2002	71	- 4	- 284	16	76,86
2003	70	- 3	- 210	9	73,87
2004	68	- 2	- 136	4	70,88
2005	62	- 1	- 62	1	67,89
2006	57	0	0	0	64,9
2007	66	1	66	1	61,91
2008	52	2	104	4	58,92
2009	54	3	162	9	55,93
2010	59	4	236	16	52,94
2011	65	5	325	25	49,95
2012	68	6	408	36	46,96
Итого	908	0	- 691	231

Система нормальных уравнений имеет вид:

Заменим показатель времени числовыми аналогами, так, чтобы сумма .

Тогда система уравнений упрощается:

Отсюда

,

.

a = 908 / 14 = 64,9

b = - 691 / 231 = - 2,99

Итак, уравнение примет вид , из которого наблюдается тенденция уменьшения потребления продуктов питания.

₁ = 64,9 – 2,99 * (- 7) = 85,83

₂ = 64,9 – 2,99 * (- 6) = 82,84

₃ = 64,9 – 2,99 * (- 5) = 79,85

₄ = 64,9 – 2,99 * (- 4) = 76,86

₅ = 64,9 – 2,99 * (- 3) = 73,87

₆ = 64,9 – 2,99 * (- 2) = 70,88

₇ = 64,9 – 2,99 * (- 1) = 67,89

₈ = 64,9 – 2,99 * 0 = 64,9

₉ = 64,9 – 2,99 * 1 = 61,91

₁₀ = 64,9 – 2,99 * 2 = 58,92

₁₁ = 64,9 – 2,99 * 3 = 55,93

₁₂ = 64,9 – 2,99 * 4 = 52,94

₁₃ = 64,9 – 2,99 * 5 = 49,95

₁₄ = 64,9 – 2,99 * 6 = 46,96

Построим график динамики:

Ряд 1 – выравненный уровень потребления продуктов (кг);

Ряд 2 – исходный уровень потребления продуктов (кг).

В выравненном ряду происходит равномерное убывание уровней потребления продуктов питания в среднем за год на 2,99 кг (значение параметра b).

Составим прогноз потребления продуктов питания на 3 года вперед:

₁₅ = 64,9 – 2,99 * 7 = 43,97

₁₆ = 64,9 – 2,99 * 8 = 40,98

₁₇ = 64,9 – 2,99 * 9 = 37,99

Таким образом, в 2013 году потребление составит 43,97 кг, в 2014 – 40,98 кг, и в 2015 – 37,99 кг продуктов.