Тема 5.6. Уравнения прямой. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости в пространстве. Метрические задачи теории прямых и плоскостей

Литература: [1], гл.10, §4, 6, 8-10, стр. 241–244, 246-247, 249-259; [3], гл. 2, §2–3, стр. 46–65; [27], гл.7, § 64-66, стр. 226-234.

Основные определения, теоремы и формулы

Положение прямой в пространстве определяется полностью, если даны: а) направляющий вектор прямой и некоторая ее точка; б) две точки прямой; в) две плоскости, пересекающиеся по этой прямой.

В аффинной системе координат уравнению прямой, заданной точкой и направляющим вектором, можно придать один из следующих видов:

а). Эти уравнения называютсяпараметрическими уравнениямипрямой, а–параметром;

б) если ни одна из координат вектора неравна нулю

если одна из координат вектора равна нулю, например,

то

если равны нулю две координаты вектора , например,

то

Лемма. Если в аффинной системе координат прямая задана как пересечение двух плоскостей уравнениями,, то вектор

является направляющим вектором этой прямой.

Вопросы для самоконтроля

1. Дать определение направляющего вектора прямой. Верно ли, что все направляющие векторы данной прямой образуют одномерное векторное подпространство?

2. Перечислить основные способы задания прямой. Какой вид имеет векторное параметрическое уравнение прямой?

3. Как записываются в аффинной системе координат:

а) параметрические уравнения прямой,

б) канонические уравнения прямой, если прямая задана точкой и направляющим вектором или двумя своими точкамии

4. Какая фигура задаётся в аффинной системе координат системой уравнений вида:

(1)

где: а) – произвольные вещественные числа (i= 1, 2);

б)и,

в) ,, и числаА₁, В₁, С₁не пропорциональны числамА₂ В₂ С₂.

5. Как найти направляющий вектор прямой, заданной общими уравнениями (1) в аффинной системе координат?

6. Как связан вектор с векторами(А₁,В₁,С₁) и(А₂,В₂,С₂), перпендикулярными пересекающимся плоскостям, которые заданы уравнениями системы (1), в случае, когда система координат прямоугольная декартова?

7. Прямая задана в аффинной системе координат системой уравнений (1). Каким условиям удовлетворяют коэффициенты системы (1), если эта прямая:

а) лежит в координатной плоскости 0xy,

б) параллельна оси аппарата,

в) совпадает с осью абсцисс,

г) проходит через начало координат?

8. Что можно сказать о взаимном расположении прямых аиb, заданных соответственно точкойАи направляющим вектором, точкойВ и направляющим вектор, если:

а) ()¹0, б) () = 0, в)и ()¹0,

г) ,() = 0,

д) ==, () = 0?

9. Прямая d задана точкойАи направляющим векторов, плоскость– точкойВи базисомнаправляющего подпространства. Что можно сказать о взаимном расположении прямойd и плоскости, если известно, что:

а) б)иА, в)и?

10. Что называется углом между:

а) двумя прямыми, б) прямой и плоскостью, в) двумя плоскостями? Как вычислить этот угол?

11. Доказать, что если аиb – скрещивающиеся прямые с направляющими векторами, то две плоскости, проходящие соответственно через прямыеаиb, параллельные вектору, пересекаются по прямой, которая пересекает каждую из прямыхаиbи перпендикулярна к этим прямым.

12. В пространстве даны точка Ми плоскость, заданная точкойСи базисомнаправляющего подпространства. Определить, по какой из следующих формул можно найти расстояниеот точкиМдо плоскости:

а) , б), в)

13. Написать формулу, по которой вычисляется расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением.

14. Две параллельные плоскости заданы уравнениями иДоказать, что расстояниемежду ними может быть найдено по формуле:

.

15. В пространстве через точки А иВпроведены две прямыеаиbс общим направляющим вектором. Определить, по какой из формул можно найти расстояниемежду ними:

а) , б), в)г).

16. В пространстве даны две скрещивающиеся прямые а иbс направляющими векторами, проходящие соответственно через точкиА иВ. Что называется расстоянием между этими прямыми? Определить, по какой из формул можно найти это расстояние:

а) =, б)=АВ, в)=,

г) =, д)=?

17. Доказать, что равно расстоянию от произвольной точки на прямойадо плоскости, которая параллельна этой прямой и проходит через прямуюb.

Пример 1. Составить уравнение плоскостиделящей пополам тот двугранный угол между плоскостями

и

в котором лежит начало координат.

Решение.Способ 1. Плоскостьсостоит из точек, равноудаленных от плоскостейи, то есть,Считая координаты точкипроизвольными, получим:

Значит, либо

либо

Введем обозначения:

Так как то для точек рассматриваемого двугранного угла имеемСледовательно, искомая плоскость

или

Задачи

1. Написать уравнения прямой:

а) проходящей через точку А(2,1,–3) и параллельной вектору(1,–3,1);

б) проходящей через точки А(2,–3,1/2) иВ(3,5,3/2);

в) образованной пересечением плоскости x + 3y – z + 1 = 0 с плоскостью0xy;

г) проходящей через точку А(1,–3,4) параллельно прямой, заданной системой уравнений

д) проходящей через точку А(0,0,2) и перпендикулярной прямым, заданным уравнениям:

В случаях а) – г) система координат аффинная, в случае д) –прямоугольная декартова.

2. Определить взаимное расположение двух прямых, заданных в аффинной системе координат уравнениями:

а)и, б)и

в) и

3. Написать уравнения прямой, проходящей через точку А(2,3,1) и пересекающей прямые, заданные в аффинной системе координат уравнениями:

и

4. Найти уравнения ортогональной проекции прямой dзаданной системой уравнений, на координатную плоскость0xyи величину угла, который прямаяd образует с этой плоскостью.

5. Написать уравнения прямой, которая проходит через точку Р(2, –1, 0) и пересекает под прямым углом прямую, заданную уравнениями:

6. Найти точку, симметричную точке М(2,7,1) относительно плоскости, заданной уравнением.

7. Написать уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр оси ординат и прямой, заданной уравнениями:

8. Найти расстояние между прямыми

и :.

9. На оси аппликат найти точку, которая удалена от плоскости на расстояние= 4.

10. Даны плоскости иНайти угол между этими плоскостями и написать уравнение биссекторной плоскости того угла между ними, в котором лежит начало координат.

Домашнее задание

1. Доказать, что прямые, заданные уравнениями:

и

параллельны и написать уравнение прямой, относительно которой эти прямые симметричны.

2. Написать уравнения прямой, которая проходит через точку пересечения прямой с плоскостьюперпендикулярно к этой плоскости.

3. Написать уравнения проекции прямой, заданной в аффинной системе координат уравнениями на плоскость

если направление проектирования задано вектором (1,2,0).

4. Через точку пересечения оси абсцисс и плоскости, заданной в аффинной системе координат уравнением проведена прямая так, что она лежит в этой плоскости и параллельна плоскостиОyz. Написать уравнения этой прямой.

5. Найти точку, симметричную точке А(4,3,10) относительно прямой, заданной уравнениями

Задачи повышенной трудности

1. Даны три плоскости имеющие одну общую точку. Найти расстояние от этой точки до плоскости

2. К сфере проведены две скрещивающиеся касательные иНайти множество точек касания касательных к сфере, пересекающих прямыеи

3. Дан параллелепипед . Доказать, что всякая прямая, пересекающая три из прямыхпересекает и четвертую прямую или параллельна ей.

Индивидуальные задания по теме