Тема 5.2. Векторное произведение векторов

Литература: [1], гл. 9, § 4, стр. 225–230; [3], гл.1, § 4, стр. 29–30; [27], гл.6, §56, стр.200-204.

Основные определения, теоремы и формулы

Векторным произведениемнеколлинеарных векторовииз ориентированного векторного пространства называется вектор, обозначаемыйи удовлетворяющий следующим условиям:

1) где– направленный угол между векторамии,

2) вектор перпендикулярен как вектору, так и вектору,

3) – правая тройка векторов.

Из 2) и 3) видно, что вектор направлен по правилу “правого винта” при вращении векторак вектору.

Векторное произведениеколлинеарных векторов считается равным нуль-вектору.

Теорема 1. Если векторыив правом ортонормированном базисе имеют координатыто вектор

Теорема 2. Векторное произведение двух векторовиравно нуль-вектору тогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны.

Теорема 3. Модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах.

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулировать основные свойства векторного произведения векторов.

2. Как найти площадь треугольника ABC, если в прямоугольной декартовой системе координат вершины треугольника имеют координаты:А (а₁, а₂, а₃), В (b₁, b₂, b₃), С (с₁, с₂, с₃)?

3. Векторы иперпендикулярны векторуЧто можно сказать о векторе [[]]?

4. Можно ли из условия [] = [], где, заключить, что=?

5. Верно ли утверждение о том, что векторы иколлинеарны тогда и только тогда, когда [] =? Если да, то почему?

6. Дан правильный ортонормированный базис . Найти векторные произведения:

а) [[[[]]]], б) [(–)(+)],

в) [[(–)(+ )][(+ )](– )]].

7. При каких значениях справедливо равенство:

[–+ 2, -3+ 3+] =?

8. Что такое момент силы относительно точки?

9. Как определяется направление вектора магнитной индукциив точке магнитного поля проводника с током?

10. Как определяется направление силы Ампера?

11. Как вычислить линейную скорость вращения точки вокруг неподвижной оси, зная угловую скорость?

Пример 1. Найти площадьтреугольника, построенного на векторахи.

Решение. Найдем вектор:

Так как векторное произведение коллинеарных векторов равно нулевому вектору, то Теперь, зная координатыи, учитывая, что длина вектораравна площади параллелограмма, построенного на векторахи, найдем

Тогда

Пример 2. Зная вершинуквадрата, его центри векторперпендикулярный плоскости квадрата, найти остальные его вершины.

Решение.Так как векторперпендикулярен как вектору, так и вектору, токоллинеарен векторуКроме того,и так как векторыиперпендикулярны, тоСледовательно,Зная координаты вектораопределим векторное произведение

Так как тоПоэтому вершиныиквадрата соответственно имеют координатыТак как точкасимметрична точкеотносительно начала координат, то

Задачи

1. Выразить векторы [2+,+ 3] и [+,–] через []. Найти их длины, если

2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах игдеи– единичные векторы, величина угла между которыми равна 60⁰.

3. Найти площадь треугольника , в котором

4. Найти единичный вектор перпендикулярный: а) каждому из векторовиб) векторуи оси абсцисс.

5. Вектор перпендикулярный оси аппликат и векторуобразует острый угол с осью абсцисс. Зная, чтонайти его координаты.

6. Сила приложена к точкеОпределить величину и направление момента этой силы относительно начала координат.

7. Найти векторы иесли

8. Доказать тождество: []²+ () =²².

9. Прямая а проходит через точкуА параллельно вектору. Доказать, что расстояние от любой точкиВдо прямойвычисляются по формуле:

10. Даны точки Доказать, что– квадрат. Найти вершины куба, для которого квадратслужит гранью.

11. Найти вектор, являющийся ортогональной проекцией вектора на плоскость, параллельную векторам

Домашнее задание

1. Доказать, что если то векторы– компланарны. Верно ли обратное утверждение?

2. Найти расстояние от точки С(3,2,–2) до прямой , проходящей через точкиА(1,2,–3),В(5,2,0). Система координат – прямоугольная декартова.

3. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁равно 1. Найти расстояние между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю грани.

4. Дан тетраэдр, построенный на векторах (2,0,0),(3,4,0),(3,4,2) (базис ортонормированный).

Найти: а) площади его граней, б) косинус угла между гранями АВСиADC.

5. Доказать, что .

Задачи повышенной трудности

1. Пусть – площади граней тетраэдра,– соответствующие этим граням орты внешних нормалей. Доказать, что

2. Доказать теорему Мебиуса: В выпуклом пятиугольнике площади треугольниковравныПусть– площадь пятиугольника. Доказать, что

3. Докажите, что параллелепипед является прямоугольным тогда и только тогда, когда все его диагонали равны между собой.

4. Докажите, что прямоугольный параллелепипед является кубом тогда и только тогда, когда его диагональперпендикулярна плоскости.