Матан6

Возрастание, убывание и точки экстремума.

Теорема 1. Для того, чтобы f была постоянной необходимо и достаточно, чтобы её производная была =0

f(x)=const  f (x)=0

Теорема 2. Пусть выполнены следующие усл. fC[a;b]D(a;b) , f  f (x)0 x(a;b)

Теорема 3. (1^ое дост. усл. extr)

Пусть >0: f (x)0 при x(x₀-,x₀) и f (x)0 при x(x₀,x₀+)

и f непрерывна в самой точке x₀, тогда x₀ – точка max для f(x)

Пусть >0: f (x)0 при x(x₀-,x₀) и f (x)0 при x(x₀,x₀+)

и f непрерывна в самой точке x₀, тогда x₀ – точка min для f(x)

Теорема 4. (2^ое дост. усл. extr)

f (x)=f (x₀)=…=f ^(n-1)(x₀)=0, а f ⁽ⁿ⁾(x₀)0

Если n>1, чётное, то экстремум есть

f ⁽ⁿ⁾(x₀)>0 – min

f ⁽ⁿ⁾(x₀)<0 – max

Выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.

def 1 / y=f(x) называется выпуклой вниз на отрезке [a;b] если на этом отрезке любая хорда графика расположена выше самого графика.

Выпуклая вверх – если любая хорда расположена ниже самого графика.

Запись в виде неравенства:

y=l(x) – хорда l(x)=f(x₁)(x₂-x)/(x₂-x₁)+f(x₂)(x-x₁)/(x₂-x₁)

l(x₁)=f(x₁)

l(x₂)=f(x₂)

Чертёж :

₁=(x₂-x)/(x₂-x₁)

₂=(x-x₁)/(x₂-x₁) , x[x₁;x₂]

₁,₂0 ₁+₂=1

₁x₁+₂x₂=(x₂-x)/(x₂-x₁)x₁+(x-x₁)/(x₂-x₁)x₂=x

Хорда выше графика  f(x)l(x), x[x₁;x₂]

(*) f(₁x₁+₂x₂) ₁f(x₁)+₂f(x₂) – средне взвешенное

def 2 / Функция выпукла вниз на [a;b], если для любых x₁,x₂[a;b], x₁<x₂ и любых двух весов ₁,₂0 ₁+₂=1 выполняется (*)

Признак выпуклости:

Теорема 1. Пусть fC⁽¹⁾[a;b]D⁽²⁾(a;b), f – выпукла вниз  f (x)0

Лемма. Если f (x₀), то lim(f(x₀-h)-2f(x₀)+f(x₀+h))/h²= f (x₀), h0

lim(f(x₀+h)-f(x₀))/h, h0

Док-во: f(x₀+h)=f(x₀)+f (x₀)h/1!+f (x₀)h²/2!+o(h²)

+ f(x₀-h)=f(x₀)- f (x₀)h/1!+ f (x₀)h/2!+o(h²)

f (x₀)+б.м.= (f(x₀-h)-2f(x₀)+f(x₀+h))/h², h0

Док-во Теоремы 1.

f – выпукла  (*) выполняется

Если ₁=₂=1/2

То f((x₁+x₂)/2)(f(x₁)+f(x₂))/2

x, x₁=x-h x₂=x+h ,h>0

f(x)(f(x-h)+f(x+h))/2

f(x-h)-2f(x)+f(x+h)0

(f(x-h)-2f(x)+f(x+h))/h²0 Согласно Лемме при h0+

получим f (x₀)0

def 3 / f(x) выпукла вниз, если любая касательная к графику функции на соответствующем промежутке лежит ниже графика.

Теорема 2. Новое определение и прежнее равносильны.

При тех же усл. Теоремы 1 новая выпуклость равносильна f (x)0

def / x₀ называется точкой перегиба функции, если в этой точке 1^ая производная функции непрерывна и если в этой точке меняется направление выпуклости.

Теорема: Необходимое усл. перегиба в точке : В точке перегиба функции, её вторая производная =0 или не сущ..

Док-во: x₀ – точка перегиба f и f (x₀)

f (x)0 слева и f (x)0 справа от т. x₀

f (x) слева f (x) справа от т. x₀

f (x) непрерывна в точке x₀

f (x) – max в точке x₀ , f (x₀)=0

Это усл. не дост. (контр пример x⁴)

Теорема: f (x) непрерывна в т. x₀, f (x)0 слева

f (x)0 справа от x₀ или наоборот, то в этой точке есть перегиб.

Теорема: Предположим, что f (x₀)= f (x₀)=…= f ^(n-1)(x₀)=0, f ⁽ⁿ⁾(x₀)0

Если n>2 – чётное, то в т. x₀ нет перегиба

Если n>2 – нечётное, то x₀ точка перегиба

Асимптоты графика.

def / Прямая называется асимптотой к кривой, если точка удаляющаяся от начала координат вдоль кривой неограниченно приближается к этой прямой.

1) Вертикальные

x=x₀ – x₀ точка бесконечного разрыва функции

2) Невертикальные (наклонные и горизонтальные)

y=kx+b

f(x)-(kx+b)=d/cos=d(k²+1)0, x

f(x)-kxb, x

f(x)/x-k-b/x0, x (b/x0)

 f(x)/xk, x

Если асимптота сущ. то k=f(x)/x, x

K=limf(x)/x, x