Сборник задач по высшей математике
.pdfО Разложим определитель по первому столбцу
|
2 |
1 |
0 .. . |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
... |
0 |
0 |
|
||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
1 |
... |
0 |
0 |
|
|||||||||
|
1 |
2 |
1 .. . |
0 |
0 |
|
|
|
||||||||||
Dn = 2- |
- 1 |
|
0 |
1 |
2 |
... |
0 |
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
0 |
0 .. . |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
... |
1 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
71 — 1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71-1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разложим второй |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
определитель по |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
первой строке |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
1 |
0 ... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
2 |
1 ... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||
= 2 • £>„_! - 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 • £>„_! - £>„_2 |
|||||||
|
|
|
О О О |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
71—2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислим £>2, |
и £>4: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
£>2 = |
2 |
1 |
= |
3; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
0 |
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ач = |
2 1 = 2 |
|
|
|
|
= 2- 3 - 1 - 2 = 4; |
||||||||||||
I—1 |
2 |
|
— 1 ' |
|
0 2 |
|||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£>4 = 2£>3 - D 2 = 2- 4- 3 = 5. |
|
|
Итак, £>2 = 3, £>з = 4, £>4 = |
5. Докажем (по индукции), что |
||
Dn = |
п + 1. По предположению индукции, £>„_2 |
= п — 1, |
|
£>n_i |
= п. Учитывая, что |
Dn = 2£>n_i — £>„_2, |
получим |
Dn = 2n — (п — 1) = п + 1, что и требовалось. |
• |
Вычислить определители методом рекуррентных соотношений:
|
3 |
2 |
0 |
... |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
.. |
. |
1 |
|
|
1 |
3 |
2 |
... |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
Oi |
0 |
.. |
. |
0 |
1.2.57. |
0 |
1 |
3 |
... |
0 |
0 |
|
У п. |
1.2 |
.58. |
1 |
0 |
а2 |
.. |
. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
.. |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
... |
1 |
3 |
|
|
|
|
0 |
• |
«71 |
|||
Дополнительные задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычислить определители 2-го порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.2.59. |
2 |
- 3 |
|
|
|
|
|
|
1.2.60. |
а |
$ |
|
|
|
|
|
|
- 4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30
1.2.61. |
х |
|
|
1.2.62. |
a |
3a |
|
|
|
ху у |
|
P |
3/J |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
1.2.63. |
cos <р |
Sin ip |
|
1.2.64. |
|
|
x — 1 |
||
sin <p |
cos <p |
|
x2 |
+ x + 1 |
rJ2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
Решить |
уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.65. |
2x — 3 |
4 |
= 0. |
1.2.66. |
£ + 3 |
X + 1 |
= |
0. |
|
—x |
- 3 |
x — 1 |
x — 2 |
||||||
1.2.67. |
3 - х |
x + 2 |
= 6. |
1.2.68. |
x — 2 y + 3 |
= |
- 4 . |
||
x + 1 |
x — 1 |
1 — у |
z ~ 2 |
||||||
1.2.69. |
x — 2 |
y + 3 |
= -34. |
1.2.70. |
sin 2x |
- sin 3x |
= 0. |
||
7 - у |
x + 4 |
cos 2x |
cos 3x |
Вычислить определители 3-го порядка разложением по первой строке:
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 1 |
0 |
|
1.2.71. |
2 |
3 3 |
|
1.2.72. |
2 |
3 |
1 |
||
|
4 |
|
6 |
7 |
|
|
0 |
2 |
3 |
|
- 2 |
|
3 |
|
|
a |
6 |
с |
|
|
|
5 |
|
||||||
1.2.73. |
4 |
|
|
1 |
- 2 |
1.2.74. |
6 с a |
||
|
1 |
|
|
- 3 |
2 |
|
с |
a |
Ь |
Вычислить определители с помощью «правила треугольников»:
|
а |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
1 |
1 |
1.2.75. |
0 |
0 0 |
|
|
1.2.76. |
1 |
0 1 |
|||
|
0 |
0 |
7 |
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
|
cos a |
cos 0 |
0 |
|
0 |
|
X |
0 |
||
1.2.77. |
cos a |
0 |
cos 7 |
1.2.78. |
X |
1 |
X |
|||
|
|
0 |
cos /3 |
cos 7 |
|
0 |
X |
0 |
Вычислить определители разложением по какой-нибудь строке или столбцу:
|
2 |
3 |
5 |
|
|
1 |
2 |
|
0 |
|
1.2.79. |
0 |
- 1 |
0 |
|
1.2.80. |
3 |
4 |
0 |
||
|
6 |
7 |
8 |
|
|
5 |
6 |
|
7 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
X |
1/ |
г |
|
|
|
|
|
|||||||
1.2.81. |
4 |
5 |
6 |
|
|
1.2.82. |
0 |
У |
|
|
|
7 |
8 |
0 |
|
|
|
X |
0 |
|
z |
|
cos a |
cos Р |
cos 7 |
|
|
|
|
|||
1.2.83. |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
31
Решить |
уравнения |
и неравенства: |
|
|
|
|
|
|||
|
- 3 |
2 |
1 |
|
|
|
2 |
0 - |
1 |
|
1.2.84. |
х -1 |
0 |
7 |
= 0. |
1.2.85. |
1 |
х+5 |
2-х |
£ 4 . |
|
|
2 |
- 1 3 |
|
|
|
3 - 1 |
2 |
|
||
|
х + 2 4 |
-1 |
|
|
|
-3 |
х - 1 |
1 |
|
|
1.2.86. |
- 2 |
2 |
х — 1 = |
0. |
1.2.87. |
х + 2 |
2 |
3 |
= 6. |
|
|
1 |
3 |
О |
|
|
|
О |
1 |
х |
|
1.2.88. |
3 |
|
2 - |
1 |
|
|
|
|
|
|
х + 2 |
О |
1 |
< 0 . |
|
|
|
|
|
||
|
- 2 |
3-х |
1 |
|
|
|
|
|
|
Не вычисляя определителей, проверить, что они делятся наа — Ь, Ь — с, с — а:
|
1 |
а |
а2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
а |
be |
|
|
|
|
||
1.2.89. |
1 Ь |
Ъ2 |
|
|
|
|
1.2.90. |
|
|
|
1 Ь |
са |
|
|
|
|
||
|
1 |
с |
с2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
с |
ab |
|
|
|
|
||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.91. |
а |
Ь |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а3 |
Ь3 |
с3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислить, |
используя |
свойства |
определителей: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
sin а |
cos а |
sin(a + <5) |
|
|
|
|
a |
a2 |
+ 1 |
(a + l)2 |
|||||||
1.2.92. |
sin /? |
cos /3 |
sin(/3 + S) |
1.2.93. |
|
|
|
b |
b2 |
+ 1 |
(b + l)2 |
|||||||
|
sin 7 |
cos 7 |
sin(7 + <5) |
|
|
|
|
с |
c2 |
+ l |
(c + 1)2 |
|||||||
Вычислить определители разложением no |
строке или |
столбцу: |
||||||||||||||||
|
X |
а |
Ъ |
0 |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
У |
0 |
|
0 |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.94. |
0 е |
2 0 |
/ |
|
1.2.95. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
h |
к |
и |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
а |
2 |
|
- 1 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
2 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1.2.96. |
4 |
Ь |
4 |
|
- 3 |
|
|
1.2.97. |
|
|
9 |
- 8 |
5 |
10 |
|
|
||
2 |
с |
3 |
|
- 2 |
|
|
|
|
|
5 |
- 8 |
5 |
8 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 |
d |
5 |
|
- 4 |
|
|
|
|
|
6 |
- 5 |
4 |
7 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
7 |
3 |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
5 |
6 |
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
9 |
7 |
8 |
6 |
|
||||||
|
8 |
- 9 |
4 |
9 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.2.98. |
|
|
1.2.99. |
|
|
|
6 12 13 9 7 |
|
||||||||||
7 |
- 2 |
7 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
6 |
5 |
4 |
|
||||||
|
5 |
- 3 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
4 |
5 |
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
Вычислить определители приведением к треугольному виду:
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
- 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
1 |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 |
|
п- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
—п 1 — п 2 — п |
- 2 - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 — п 2 — п 3 — п |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 - п 3 - п |
|
|
4 — п |
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
- |
2 |
|
- 1 |
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
- 1 |
|
О |
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
X |
|
ai |
a2 |
• |
|
|
• |
|
On-l |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
ai |
|
X |
a2 |
• |
|
|
• |
|
On-1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ai |
|
0,2 |
X |
|
|
|
• |
|
On-1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Oi |
|
a2 |
a3 . |
|
|
|
|
|
|
X |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Oi |
|
a2 |
a3 . |
|
|
|
|
|
|
an |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 -п |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 -п |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
П. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 — 71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ao a i a2 |
|
|
|
• |
|
• On-1 an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
—X |
X |
0 |
|
. |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 . 2 . 104 . |
|
|
0 |
|
—x |
X |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
. |
|
|
|
—x |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислить |
определители |
методом рекуррентных |
соотношений: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 . |
|
. |
|
|
0 |
1 |
|
|
6 |
0 |
0 |
0 |
.... |
0 |
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
2 |
0 |
0 |
. |
. |
0 |
0 |
|
||||||||||
|
|
|
1 |
ai |
0 |
0 . |
|
. |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
3 |
2 |
0 |
. |
. |
0 |
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
a2 |
0 . |
|
. |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1.2.106. |
0 |
0 |
1 |
3 |
2 |
. |
. |
0 |
0 |
|
||||||||||||||
|
|
1 |
0 |
1 |
a3 . |
|
. |
|
|
0 |
0 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
. |
. |
3 |
2 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 . |
|
. |
|
|
1 |
On |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
. |
. |
1 |
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
з - 2361
Контрольные вопросы и более сложные задачи
1.2.107. |
Всегда ли определитель суммы матриц равен сумме их опреде- |
||
|
лителей? |
||
1.2.108. |
Привести пример двух таких матриц, что определитель их сум- |
||
|
мы равен сумме их определителей. |
||
1.2.109. |
Привести пример двух таких матриц, что определитель их сум- |
||
|
мы равен сумме их определителей, причем ни один из трех |
||
|
определителей не равен нулю. |
||
1.2.110. |
Могут ли все алгебраические дополнения некоторой матрицы |
||
|
А = (ац) быть равны соответствующим минорам (Ац = Мц)? |
||
1.2.111. |
Могут ли все алгебраические дополнения некоторой матрицы |
||
|
А = (ац) быть равны соответствующим элементам (Ац = ац)? |
||
1.2.112. |
Может ли определитель 2-го порядка принимать значение |
||
|
большее, чем определитель 5-го порядка? |
||
1.2.113. |
Может ли определитель изменить знак на противоположный |
||
|
при транспонировании матрицы? |
||
1.2.114. |
Дана квадратная матрица n-го порядка А = (ац). Чему равна |
||
|
сумма |
п |
|
|
ац • Ац ? |
||
|
|
|
ij=1 |
1.2.115. |
Можно ли вычислять миноры, дополнительные к элементам |
||
|
неквадратной матрицы? |
||
1.2.116. |
Как изменится определитель 3-го порядка, если его строки пе- |
||
|
реставить следующим образом: первую — на место второй, вто- |
||
|
рую — на место третьей, третью — на место первой? |
||
1.2.117. |
Как изменится определитель n-го порядка, если его строки пе- |
||
|
реставить следующим образом: первую — на место второй, вто- |
||
|
рую — на место третьей, . . . , (п — 1)-ю — на место п-й, п-ю — |
||
|
на место первой? |
||
1.2.118. |
Сколько всего миноров у квадратной матрицы n-го порядка? |
||
1.2.119. |
Сколько всего миноров у матрицы размера т х п? |
||
1.2.120. |
Могут ли все алгебраические дополнения некоторой ненуле- |
||
|
вой матрицы А = (ац) быть равны соответствующим минорам |
||
|
(Ац |
= |
Мц)? |
1.2.121. |
Могут ли все алгебраические дополнения некоторой ненулевой |
||
|
матрицы А = (ац) быть равны соответствующим элементам |
||
|
(Ац |
= |
ац)? |
1 . 2 . 1 2 2 . Вычислить определитель приведением к треугольному виду:
1 |
X |
X2 |
X3 . |
|
хп |
а 11 |
1 |
X |
X2 . . . |
хп~1 |
|
0>21 |
а>22 |
1 |
X |
.. |
хп~2 |
a>ni а>п2 0"пъ а>п4 • • • 1
1.2.123*. Дана квадратная матрица п-го порядка А = Чему равна
сумма ап • А2i + а12 • А22 + • • • + ain-i • A2n-i + «in • ^2n?
1.2.124*.Доказать, что если все элементы определителя 3-го порядка равны 1, то значение определителя — четное число.
1.2.125*. Доказать, что если числа а, Ь, с — действительные, то уравне-
ние а ^ Х ^ ^ = 0 имеет действительные корни.
1.2.126*.Числа 255, 391, 578 делятся на 17. Не вычисляя значение опре-
2 |
5 |
5 |
|
делителя |
9 |
1 |
, доказать, что он тоже делится на 17. |
1.2.127*.Как изменится сумма всех алгебраических дополнений к элементам матрицы, если ко всем элементам матрицы прибавить одно и то же число?
1.2.128*. Вычислить определитель n-го порядка методом рекуррентных соотношений:
1 |
2 |
0 |
0 |
0 . |
. |
0 |
0 |
3 |
4 |
3 |
0 |
0 . |
. |
0 |
0 |
0 |
2 |
5 |
3 |
0 . |
. |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
5 |
3 . |
. |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 . |
. |
5 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 . |
. |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
§3. РАНГ МАТРИЦЫ
^ Минором к-го порядка произвольной матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких-либо к строк и к столбцов.
В матрице А = |
|
|
|
|
|
|
можно указать, например, такие ми- |
||||||||||||||||
норы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— 2-го порядка |
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
(минор |
|
ац |
«12 |
|
|
|
4 |
4 |
|
|
(минор |
|
a2 i |
«24 |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
4 |
5 |
|
|
021 |
«22 |
|
J' |
|
7 |
- 7 |
|
|
«31 |
«34 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«12 |
Ol3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
9 |
|
|
1 минор |
|
032 |
азз |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3-го порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
|
|
5 |
6 |
4 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
- 7 |
|
|
8 |
9 |
- 7 |
|
|
|
|
|
35
— 1-го порядка
|2| (минор |ai21)9 |3| (минор |ais|), |-7| (минор |а34|).
Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.
Обозначения: г (A), rang(A).
Базисным минором называется любой из отличных от нуля миноров матрицы А, порядок которого равен г (А).
Для следующей матрицы А ее ранг равен 1:
л = ( о "о2 о)' |
= |
Любой из миноров 2-го порядка матрицы А равен нулю, и существует хотя бы один минор 1-го порядка, не равный нулю, например, |3| = 3. Базисным минором матрицы А является каждый из ненулевых миноров 1-го порядка: |3|(= 3), | - 2|(= - 2 ) , |2|(= 2).
Для следующей матрицы А ее ранг равен 2:
\з о ; ' г(Л) |
= 2, |
||
так как существует минор 2-го порядка |
О |
2 |
= —6, не равный нулю, а |
|
3 |
О |
|
миноров 3-го порядкеа у матрицы А нет. Единственный базисный минор
матрицы А — минор |
О |
2 |
3 |
О |
Теорема 1.1. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.
Теорема 1.2. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.
Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу А приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований; количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы А.
Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы А состоит в следующем. Необходимо:
36
1)Найти какой-нибудь минор М\ первого порядка (т. е. элемент матрицы), отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица А нулевая и г(А) = 0.
2)Вычислять миноры 2-го порядка, содержащие М\ (окаймляющие
Mi) до тех пор, пока не найдется минор отличный от нуля. Если
такого минора нет, то r(A) = 1, если есть, то r(A) ^ 2. И т.д.
к) Вычислять (если они существуют) миноры к-то порядка, окаймляющие минор Mk-i Ф 0. Если таких миноров нет, или они все равны нулю,
то г{А) = к — 1; если есть хотя бы один такой минор |
ф 0, то г (А) ^ к, |
и процесс продолжается. |
|
При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор к-го порядка, причем искать его только среди миноров, содержащих минор Mk-i ф 0.
1.3.1. Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:
О Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:
'2 |
—1 |
5 |
б |
|
' 2 - 1 5 |
б |
|
|
|
|
1 1 3 5 |
) 2 • II - I |
0 3 |
1 4 |
|
|
|
|
|||
Л |
- 5 |
1 |
- 3 / |
2 - III — I |
- 9 - 3 |
—12/ Н И - 3 |
- Й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'2 |
- 1 |
5 |
|
6> |
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
{0 |
0 |
0 |
|
0> |
Полученная ступенчатая матрица содержит две ненулевые строки, значит ее ранг равен 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 2. •
Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:
|
|
|
|
|
- 1 |
1 |
- 3 > |
1.3.2. |
1.3.3. |
|
|
|
1 |
б 11 |
|
|
|
1 |
- |
1 |
- 1 |
4 |
- 3 у |
|
|
|
|
|
|
- 7 |
1 \ |
1.3.4. |
1.3.5. |
2 |
|
- 1 |
1 |
б |
- 4 |
- 1 |
|
2 |
- 1 |
- 1 0 |
5 |
||
|
|
|
|||||
|
|
2 |
- |
1 |
2 |
5 |
- 4 / |
37
1.3.6.
1.3.8.
/1 |
1 |
4 \ |
|
/2 |
1\ |
|
1 |
1 |
|||
О |
2 |
5 |
|
||
|
1 |
1 |
|||
0 |
3 6 |
1.3.7. |
|||
1 |
14 |
32 |
|
1 |
5 |
|
1 |
4 |
|||
\4 |
32 |
77/ |
|
||
|
V1 |
V |
|||
|
|
|
|
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров:
/ 1 |
3 |
3 |
4 |
А= 0 |
0 |
1 |
2 |
\2 |
6 |
1 |
-2; |
О Так как у матрицы А есть ненулевые элементы, то r(A) ^ 1. Найдем какой-либо ненулевой минор 2-го порядка (если он су-
ществует). Таким минором является, например, |
М2 = |
3 |
3 |
|||||
О |
1 |
|||||||
= 3 ^ 0 . Значит, r(A) |
^ 2. |
|
|
|
||||
Вычислим миноры 3-го порядка, окаймляющие М2: |
|
|||||||
|
|
1 |
3 |
3 |
разложение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М3(1) = |
|
|
|
по 2-й строке = - 1 - |
= |
0; |
|
|
|
3 |
3 |
4 |
|
разложение |
|
|
|
М3(2) |
= о 1 |
2 |
|
|
|
|
||
|
по 1-му столбцу |
|
|
|
||||
|
б |
1 |
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 3- |
2 |
+ 6 |
3 |
|
= 3 - ( - 2 - 2 ) + 6 - ( 6 - 4 ) = - 1 2 + 12 = 0; |
|||
- 2 |
1 |
|
Все миноры 3-го порядка, окаймляющие М2, равны нулю, сле-
довательно, г(А) < 3. Итак, г(А) |
= 2. |
|
Одним из базисных миноров |
является М2 = q3 j3• |
® |
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать какойлибо базисный минор:
|
1 |
2 |
|
3'\ |
|
|
|
|
Л |
|
2 |
3\ |
|
1.3.9. |
2 |
4 |
5 |
|
• |
|
|
1.3.10. |
2 |
4 |
5 . |
||
|
7 |
8 |
|
9/ |
|
|
|
|
М 8 |
11/ |
|||
|
1 |
- 2 |
|
3 |
Л |
1- |
|
Л |
|
- 2 |
3 |
||
1.3.11. |
3 |
2 |
|
|
- 4 |
2 |
1.3.12. |
3 |
|
2 |
- 4 |
||
|
5 |
- 2 |
|
2 |
1 |
|
|
- 2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
V5 |
||||||||
|
'2 |
- 1 |
|
3 |
|
- 2 |
4' |
|
/1 |
3 |
5 |
||
|
|
|
|
2 |
|
- 1 |
- 3 |
||||||
1.3.13. |
4 |
- 2 |
|
5 |
|
1 |
7 |
1.3.14. |
|
||||
|
|
5 |
|
1 |
- 1 |
||||||||
|
2 |
- 1 |
|
1 |
|
8 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
V |
|
7 |
9 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
Найти ранг матрицы при различных значениях параметра
|
/ 1 |
2 |
- 1 |
0\ |
|
/ 1 |
А |
- 1 |
2' |
|
3 |
- 1 |
- 2 |
2 |
|
||||
1.3.15. |
2 |
3 |
- 1 |
О |
1.3.16. |
2 |
- 1 |
А |
5 |
|
\1 |
- 1 |
О |
V |
|
Vi |
10 |
- 6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Дополнительные задачи
Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:
|
|
|
|
|
-14 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
1.3.17. |
\ - 4 |
- 3 11 |
3 |
- 9 |
1.3.18. |
|
|
|
|
|
|||
|
- 1 9 |
17) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
/ 3 |
- 1 |
|
3 |
2 |
5 \ |
|
^24 |
19 |
36 |
72 |
- 3 8 N |
|
1.3.19. |
5 |
- 3 |
|
2 |
3 |
4 |
1.3.20. |
49 |
40 |
73 |
147 |
- 8 0 |
|
1 |
- 3 |
- 5 |
0 |
- 7 |
73 |
59 98 219 - 118 |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
V |
- 5 |
|
1 |
4 |
1 / |
|
\47 |
36 |
71 |
141 |
- 7 2 ) |
|
|
/ 4 3 -- 5 |
2 |
3 \ |
|
Л 7 - 2 8 45 11 |
39 \ |
|||||||
|
8 6 |
•-7 |
4 |
2 |
|
24 |
- 3 7 61 13 |
50 |
|||||
1.3.21. |
4 |
3 |
-- 8 |
2 |
7 |
1.3.22. |
25 |
- 7 |
32 |
- 1 8 |
- 1 1 |
||
|
4 3 |
1 |
|
2 |
- 5 |
|
31 |
12 19 |
- 4 3 - 5 5 |
||||
|
|
6 |
•-1 |
|
4 |
- б ) |
|
\42 |
13 |
29 |
-55 - 6 8 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров:
|
- 1 |
2 \ |
|
|
|
jf3 |
- 1 |
2 \ |
|
|
|
|
1.3.23. |
- 3 |
|
|
1.3.24. |
- 3 |
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
3 ' |
|
|
|
|
|
3 |
о/ |
|
|
|
!U |
3 |
V |
- 4 |
4о\ |
|
|
|
- 1 5 |
6 \ |
|
|
|
/1 - 2 |
31 |
|
||||
1.3.25. |
1С |
3 |
|
1.3.26. |
|
0 |
1 |
— 1 |
1 |
—о |
|
|
-V•V |
|
|
1 |
3 |
0 |
- 3 |
1 |
|
||||
|
—0 |
1 |
|
|
|
V> |
- 7 |
3 |
1 |
-з/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
- 2 |
1 |
- 1 |
1 \ |
|
|
/ 2 |
1 |
- 1 |
- 1 |
1 \ |
|
1.3.27. |
1 |
- 1 |
2 |
- 3 |
. 1.3.28. |
|
1 - 1 |
1 |
1 |
- 2 |
|
|
- 2 |
- 1 |
1 |
- 2 |
|
3 |
3 |
- 3 |
- 3 |
4 |
|
||
|
|
|
|
|||||||||
|
- 5 |
1 |
- 2 |
^ / |
|
|
|
5 |
- 5 |
- 5 |
7/ |
|
Найти ранг матрицы при различных значениях параметра А:
|
/ 1 |
- 3 |
2 |
0\ |
|
/ 3 |
1 |
4\ |
|
1.3.29. |
2 |
- 3 |
- 1 |
3 |
1.3.30. |
А |
10 |
1 |
|
3 |
- 6 |
- 1 |
А |
1 |
17 |
3 |
|||
|
|
||||||||
|
|
- 2 |
О |
|
|
\2 |
4 |
3 / |
39