Сборник задач по высшей математике

C M

о

j

А = MA

=

т. е. A = 2. Находим координаты хм и

ум точки;

М, используя формулу (1.2): хм

=

+

Ум =

^+ 2*3»

т.е. хм — Щ, Ум —

т.е.

Находим длину биссек-

трисыБМ:БМ = ^ - б ) 2 + ( 1 - 3 ) 2 =

ЯМ = |ч/2.

•

4.1.5.

Доказать, что треугольник с вершинами

А(—2;— 1), 2?(6;1),

С(3;4) — прямоугольный.

4.1.6.

Точки А(2;4), J5(—3; 7) и С{—6; 6) — три вершины параллело-

грамма, причем А и С — противоположные вершины. Найти

четвертую вершину.

4.1.7.

Дан треугольник с вершинами А(—2;4),

В(—6; 8),

С(5;-6).

Найти площадь этого треугольника.

4.1.8.

Найти точку, в которой прямая, проходящая через точки А(5; 5)

и 2?(1;3), пересечет ось Ох.

О Координаты искомой точки С есть (#; 0). А так как точки А,

В и С лежат на одной прямой, то должно выполняться условие

(x2-xi)(y3-yi)-(x3-xi)(y2-yi) =

О

(формула

(1.4),

площадь

треугольника ABC равна нулю!), где (x\,yi) — координаты

точки А, (#252/2) — точки J5, {х3\у3) — точки С. Получаем

(1 — 5)(0 — 5) — (# — 5)(3 — 5) = 0, т.е. 20 + 2(я - 5) = 0, х - Ъ = -10,

х — —5. Следовательно, точка С имеет координаты а: = —5,

у = 0, т.е. С(—5;0).

•

4.1.9.

Доказать, что три точки (2;3),

(5; 7),

(11; 15)

лежат на одной

прямой.

4.1.10.

Разделить отрезок между точками (0; 2) и (8; 0) в таком же от-

ношении, в каком находятся расстояния этих точек от начала

координат.

4.1.11.

На оси ординат найти точку, отстоящую от точки А(3; —8) на

расстоянии 5 единиц.

Дополнительные задачи

4.1.12.

Найти длину вектора АВ, соединяющего

точки А(—4; 5) и

В(—6; 7), и угол между этим вектором и положительным на-

правлением оси Ох.

4.1.13.

Отрезок с концами А( 1;—5) и Б(4;3) разделен на три равные

части. Найти координаты точек деления.

4.1.14.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, име-

ющей форму треугольника с

вершинами

в

точках A(xi,y\),

В ( х 2 ' , У 2 )С(хз]уз),

(центр тяжести треугольника находится в

точке пересечения его медиан).

4.1.15.

Центр тяжести треугольника ABC лежит на оси Ох. Найти

координаты вершины <7, зная координаты вершин

А(3; 1)

и

JB(1; -3); площадь треугольника равна 3.

4.1.16.

На оси абсцисс найти точку М, расстояние от которой до точки

А( 1; 4) равно 5.

4.1.17.

Найти координаты точки, одинаково удаленной от осей коор-

динат и от координаты точки А(1; 8).

4.1.18.

Определить, есть ли среди внутренних углов треугольника с

вершинами А(1; 1), В(0; 2) и С(2; - 1 ) тупой угол.

4.1.19.

Даны вершины треугольника: А(7; 2), В(1; 9), <7(-8; -11). Най-

ти расстояние от точки О пересечения медиан треугольника до

вершины В.

4.1.20.

Две противоположные вершины квадрата находятся в точках

А(3; 5) и С(1; - 3) . Найти его площадь.

4.1.21.

Найти площадь четырехугольника с вершинами

А(—3; 2),

Я(3;4),С(6;1), £>(5;-2).

4.1.22.

Даны вершины треугольника А(-3;6), Б(9;-10), <7(—5;4).

Найти координаты центра и радиус описанного около него кру-

га.

4.1.23.

Даны вершины А(2; 1), В(-2; -2), С( - 8; 6) треугольника ABC.

Найти длину высоты, опущенной из вершины В.

4.1.24.

Даны две смежные вершины параллелограмма А(—2; 6), В(2; 8)

и точка пересечения его диагоналей М(2; 2). Найти координаты

двух других вершин.

4.1.25.

Даны середины сторон треугольника М( - 1; 5), iV(l; 1), Р(4; 3).

Найти координаты его вершин.

4.1.26.

В треугольнике с вершинами 0(0; 0), А(8; 0), Б(0; 6) определить

длину медианы ОС и биссектрисы OD.

4.1.27.

Отрезок с концами А(-8; —8) и В(-2; - 4 ) разделен на четыре

равные части. Найти координаты точек деления. До какой точ-

ки надо продолжить отрезок АВ, чтобы его длина увеличилась

в 3 раза?

4.1.28.

Даны точки А( 1;2)

и В(4;4). На оси Ох найти точку <7 так,

чтобы площадь треугольника ABC была равна 5.

4.1.29.

Даны две противоположные вершины квадрата

А(3;0)

и

С(-4; 1). Найти координаты двух его других вершин.

4.1.30.

Дан треугольник с вершинами А(-\/5; 1), В(0;2), <7(-2\/3;2).

Найти его внешний угол при вершине А.

4.1.31.

Прямая проходит через точки А(2; - 3 ) и В(-6; 5). На этой пря-

мой найти абсциссу точки, ордината которой равна —5.

6

1

12

1

\ш

т

1

1

е

1!

1

1

1

^

Числа г и (р называются полярными координатами точки М:

г называют полярным радиусом, ip — полярным углом.

х = г cos <£>,

(1.5)

у = г sin ip

Г = у/х2 + у2,

sin (р =

У-

,

cos (р = , х

.

V х2 + у2

V х2 + у2

Откуда, в частности, tg ср =

где х ф 0.

4.1.46.

Найти прямоугольные координаты точки М с полярными ко-

ординатами ^2; —

.

О Имеем г = 2, ip =

—

По формулам (1.5) находим х =

= 2 c o s ( - § . ) = 2 • ( - 1 ) = - 1 , у = 2 а ш ( - § , г ) = 2 •

=

= - V 3 . Итак, М(—1; - V3) .

•

4.1.47.

Найти прямоугольные координаты точек

А, В, С,

D, Е для

которых известны

полярные координаты:

.4(3:0),

В (2;—

г = yj(-\/3)2 + ( - 1 ) 2 = 2, tgip =

= - L . Точка М лежит

в III четверти, следовательно, с учетом того, что — 7г <

^ 7г,

получаем <£> = ^ - 7г = "g71"- Итак, М^2; -g71")-

•

4.1.49.

Найти полярные координаты точек А,

С, D, Е для кото-

рых известны прямоугольные координаты: А(-3;3), Б ( 0 ; - 5 ) ,

C ( - 2 ; - 2 ) , , D ( - 4 ; 0 ) , E ( 2 V 3 ; 2 ) .

4.1.50.

В

полярной системе

координат

заданы

точки

Mi(ri;<£>i),

М2(г2;<£>2). Найти:

а)

расстояние между точками М\ и М2;

б) площадь треугольника ОМ1М2 (О — полюс).

О

а) Воспользуемся формулами (1.1) и (1.5):

d = у/{х2 - xi)2 + (2/2 - 2/i) 2

=

= V(r2 COS ф2 - Г\ COS

)2 + (r2 sin <£>2

- sin ф 1 )2 =

=

\Jr\+r\— 2Г\Т2 (COS <PI

COS

+ sin (pi sin <£>2)

=

=

y f r l + r % - 2Г\Г2 cos((^2

- y>i),

т. e. d —

\Jr\+r\- 2t\V2 cos((p2

- <p 1);

б) пользуясь формулой для площади треугольника со сто-

ронами а и 6 и углом а между ними

= ^absina^, находим

площадь треугольника ОМ\ М2:

5 = ^7*17*2 Sin(<£>2 - ^l).

•

4.1.51.

Сторона правильного шестиугольника равна 1. Приняв за по-

люс одну из его вершин, а за полярную ось — сторону, через

нее проходящую, найти полярные координаты остальных пяти

вершин.

4.1.52.

В полярной системе координат точка пересечения диагоналей

параллелограмма ABCD совпадает с полюсом. Зная вершины

а(з; —

и В^5;

, найти другие вершины параллелограм-

ма.

Дополнительные задачи

4.1.53.

В полярной системе координат даны две противоположные вер-

шины квадрата А ^2; — ^ и С ^2;

Найти его площадь.

4.1.54.

Одна из вершин треугольника лежит в полюсе полярной си-

стемы координат, а другие в точках А(2;0) и В ^4;

Найти

радиус вписанной в треугольник окружности.

4.1.55.

В

полярной системе

координат

даны

точки

и

з ) '

п о л я Р н ы е координаты

середины

отрезка, со-

единяющего эти точки.

4.1.56.

Треугольник ABC

задан полярными координатами вершин:

ный.

б71")'

^О*'б71")' Д ° к а з а т ь ' ч т о о н Равн°бедрен-

4.1.57.

Найти полярные координаты точек, симметричных точкам

(2;

,

(l; - f) ? (3; 0)

относительно

а)

полюса,

б) полярной оси.

4.1.58.

В полярной системе координат даны две смежные вершины

квадрата А ^2; — ^ и

Найти его площадь.

4.1.59.

В полярной системе координат даны две вершины правильного

треугольника: А ^5;

В ^8; —j^)' Найти е г о площадь.

4.1.60.

Найти

площадь треугольника, вершины которого А ^ З ; ^ ,

В ^8;

С (б;

заданы в полярных координатах.

Контрольные вопросы и более сложные задачи

4.1.61.

Как расположены точки, полярные координаты которых удо-

влетворяют уравнению:

а)

г = 2;

б ) * = - $ ;

в) (р = 0?

4.1.62.

Каковы координаты точки В полярной оси, отстоящей от точки

A(jV2;

на 7 единиц?

4.1.63*.

Построить множество точек плоскости, полярные координаты

которых удовлетворяют уравнению:

а) г = 2(р;

б) г = 2 sin <р\

в) г = ———5

7

cos ip'

г)

г simp = 1;

са точки М(х;у)

изменяется по закону х = x(t), а ордината — по закону

у = y(t), где t

— переменная, называемая параметром, то уравнение

Рис. 18

Рис. 19

4.1.64. Описать уравнением множество всех точек

плоскости, равно-

удаленных от начала координат и от точки А(—2; 4).

О

Пусть М(х;у) — произвольная точка искомого множества

точек плоскости. Тогда согласно условию задачи, \МА\ = |МО|,

где 0(0; 0) —

начало

координат (рис. 19). По формуле (1.1)

находим \МА\ и \МО\: \МА\ = ^/(х + 2)2

+ (у - 4)^,

\МО\ =

=

у/х2 + у2.

Имеем

у/(х + 2)2 + (у - 4)2

=

\Jx2

+ у2,

т.е.

х2

+ 4х + 4 + у2 - 8у +

16 = х2 + у2, откуда 4х

- 8у + 20

= 0.

Линия,

определяемая этим уравнением,

называется эллипсом.

•

4.1.68.

Составить уравнение линии, для каждой точки которой рас-

стояние до оси Ох в три раза меньше, чем до оси Оу.

4.1.(

Найти уравнение траектории перемещения точки М, которая

движется так, что расстояние от нее до точки Мо(2; —3) всегда

равно 5.

4.1.70.

В полярной системе координат со-

ставить

уравнение

окружности

диаметра а, если полюс системы

координат лежит на окружности,

а полярная ось проходит через ее

центр.

О Пусть М(г\ф) — произволь-

ная точка данной

окружности.

Рис. 21

Рассмотрим АОМА (см. рис. 21).

опирающийся на диаметр). Поэтому cos<£> =

Отсюда нахо-

дим г = acoscp — искомое уравнение окружности.

#

4.1.71.

Составить параметрические уравнения окружности. В качестве

параметра t использовать угол между осью Ох и вектором ОМ.

4.1.72.

Составить уравнение окружности радиуса Д, центр которой ле-

жит на прямой, перпендикулярной полярной оси, а полюс си-

стемы координат лежит на окружности.

(х2+у2

=

9,

\» = 3,

откуда получаем х = 0, у =

3. Таким образом, окружность

и прямая имеют одну общую точку (0; 3) — прямая касается

окружности.

#

4.1.75.

Указать какие из данных точек

Ai(l;l), А2(2;2), А3(\/3;-1),

5' f) л е ж а т н а к Ри в °й У — 2-х2.

4.1.76.

Найти точки пересечения кривой у = 6 + 5ж - х2 с осями коор-

динат.

4.1.77.

Найти точки пересечения линий х + 7у = 25 и х2 + у2 = 25.

4.1.78.

На окружности х2 + у2 = 25 найти точки:

а) с абсциссой х = 3;

б) с ординатой у = 2/0-