Сборник задач по высшей математике
.pdf
|
ч |
ч |
fx = t2 |
-2t + |
1, |
t s 1. |
|
|
|
в) |
|
ч |
' |
|
|
||
|
Найти уравнения заданных кривых в виде F(x\ у) = 0. |
|
||||||
4.1.80. |
Написать уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точ- |
|||||||
|
ки которой до точек Fi( - 2;0) и F2 (2;0) равна 2\/5. |
|
||||||
4.1.81. |
Вывести уравнение геометрического места точек, для которых |
|||||||
|
модуль разности растояний до точек Fi(—4;0) и ^ ( 4 ; 0 ) ра- |
|||||||
|
вен 4. |
|
|
|
|
|
||
Контрольные вопросы и более сложные задачи |
|
|
||||||
4.1.82. |
Найти уравнение множества точек, произведение расстояний |
|||||||
|
от которых до двух данных точек Fi(a;0) и F2(—а; 0) есть ве- |
|||||||
|
личина постоянная, равная а2. Полученное уравнение записать |
|||||||
|
в полярных координатах. |
|
|
|||||
4.1.83. |
Окружность радиуса а катится без скольжения по оси абсцисс |
|||||||
|
из начала координат. Найти параметрические уравнения кри- |
|||||||
|
вой, описанной точкой окружности, которая при начальном по- |
|||||||
|
ложении совпадала с началом координат. (За параметр t взять |
|||||||
4.1.84. |
угол поворота радиуса окружности.) |
|
|
|||||
Отрезок АВ длины 2а скользит своими концами по сторонам |
||||||||
|
прямого угла. Из вершины этого угла на этот отрезок опущен |
|||||||
|
перпендикуляр ОС. Найти уравнение кривой, описанной осно- |
|||||||
|
ванием таких перпендикуляров. (Поместить полюс О в верши- |
|||||||
|
ну прямого угла, полярную ось направить по стороне угла.) |
|||||||
4.1.85. |
Составить уравнение геометрического места центров окружно- |
|||||||
|
стей, касающихся оси Ох и проходящих через точку А(2;3). |
|||||||
4.1.86. |
Прямая перемещается так, что треугольник, образованный ею |
|||||||
|
с осями координат, меняется, но сохраняет постоянную пло- |
|||||||
|
щадь S. Найти траекторию движения середины отрезка, отсе- |
|||||||
|
каемого осями координат на этой прямой. |
|
|
|||||
4.1.87. |
Изобразить множество точек плоскости, |
|
|
|||||
|
равноудаленных от данной точки А (фо- |
У |
|
|||||
|
куса) и данной прямой (директрисы). |
|
||||||
|
|
|
||||||
|
Составить уравнение кривой, обозначив |
|
|
|||||
|
через р расстояние от фокуса до дирек- |
|
|
|||||
|
трисы (систему координат выбрать так |
О |
\А х |
|||||
|
как указано на рис. 22). |
|||||||
4.1.88. |
Какие геометрические образы соответ- |
|
|
|||||
|
ствуют уравнениям: |
|
|
|
||||
|
а) |
2ху = 0; |
|
|
Рис. 22 |
|
||
|
б) X2 + ху = 0; |
|
|
|
|
|||
|
в) х2 + у2 |
= 0? |
|
|
|
|
130
4.1.89. |
Проходит ли линия, заданная уравнением |
|
|
|
х2 + 4ху + 6у2 -2х + 2у = О |
|
через начало координат? |
|
4.1.90. |
Изобразить фигуру, заданную уравнением: |
|
|
1 )ж + у = 1; |
|
|
2) |
\х\ + М = 1; |
|
3) |
х2 + у2 = 0; |
|
4 ) |
Я ~ fr |
|
5) х + \х\ = у + \у\. |
|
4.1.91. |
Симметрична ли фигура, заданная уравнением (х2 +у2 + у)2 = |
|
|
= х2 + у2 относительно оси Oyl оси Ох? |
|
4.1.92. |
Какая линия определяется параметрическими уравнениями: |
§2. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Различные виды уравнения прямой
Каждая прямая на плоскости Оху определяется линейным уравнением первой степени с двумя неизвестными. Обратно: каждое линейное уравнение первого порядка с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости.
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид |
|
У = кх + 6, |
(2.1) |
где к — угловой коэффициент прямой (т. е. тангенс угла а, который прямая образует с положительным направлением оси Ох, к = tga), Ь — ордината точки пересечения прямой с осью Оу.
2. Общее уравнение прямой:
Ах + By + С = 0, |
(2.2) |
где А, В и С — постоянные коэффициенты, причем А и В одновременно не обращаются в нуль (А2 + В2 ф0).
Заметим, что п = (А; В) — нормальный вектор прямой (п перпендикулярен прямой). Частные случаи этого уравнения:
Ах + By = 0 (С = 0) — прямая проходит через начало координат; Ах + С = 0 (В = 0) — прямая параллельна оси Оу\
By + С = 0 (А = 0) — прямая параллельна оси Ох;
131
9*
Ах = О (В = С = 0) — прямая совпадает с осью Оу; By = О (А = С = 0) — прямая совпадает с осью Ох. 3. Уравнение прямой в отрезках:
^ |
+ | = |
(2.3) |
a |
b |
|
где а и Ь — длины отрезков (с учетом знаков), отсекаемых прямой на осях Ох и Оу соответственно (рис. 23).
у
М2(0;6)
ь |
|
|
|
о |
а |
^ ^ ^ |
х |
Рис. 23
4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:
У~Уо = к { х - х 0 ) , |
(2.4) |
где к = tgа (а — угол, образуемый прямой с осью Ох); (#о;2/о) — координаты данной точки. Уравнение (2.4) называют также уравнением пучка прямых с центром в точке (хо;уо); уравнение пучка прямых, про-
ходящих через |
точку пересечения двух прямых |
А\х + В\у + С\ |
= 0 и |
|
А2х + В2у + С2 |
— 0 |
имеет вид |
|
|
|
Агх |
+ Вгу + Сг+ А (А2х + В2у + С2) |
= 0, |
(2.5) |
где А — числовой множитель.
5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М\(х\',у\) и М2(х2\у2), где yi Ф у2, х\ ф х2 имеет вид
У2 - У 1 = Х2- XI (2.6)
Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки,
определяется по формуле |
_ |
|
к— |
У1 . |
(2.7) |
х2 |
— Х\ |
|
Если х\ = х2, то уравнение прямой (2.6) имеет вид х = х\\ если у\ = у2, то: у = yi.
6. Нормальное уравнение прямой: |
|
х cos а + у sin а — р = 0, |
(2.8) |
где р — длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а — угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ох (рис. 24).
132
Общее уравнение прямой (2.2) можно преобразовать в нормальное
уравнение |
(2.8) путем умножения на нормирующий множитель |
Л = |
#2 ' з н а к п е Р е д ДР°бью берется противоположным знаку |
свободного члена С (в общем уравнении прямой).
7. Уравнение прямой в полярных координатах имеет вид |
|
г cos(ip — а) = р, |
(2.9) |
г, <р, а, р — изображены на рисунке 25 (полярная система координат).
4.2.1. |
Построить прямую, заданную уравнением 2х — у — 4 = 0. |
|
О 1- Д л я построения прямой достаточно знать координаты |
|
двух ее произвольных точек. Полагая в уравнении прямой, на- |
|
пример, х = 0, получим у = —4. Имеем одну точку А(0;-4). |
|
Полагая х = 1, получим у = — 2. Отсюда вторая точка В( 1; — 2). |
|
Осталось построить точки А и В и провести через них прямую |
Рис. 26 Рис. 27
2. Задачу можно решить иначе, используя уравнение прямой в отрезках. Приведем уравнение к виду (2.3). Для этого перенесем свободный член (—4) в правую часть уравнения и обе его части разделим на 4. Получаем 2х — у = 4, =
133
|
т. е. ^ + |
= 1 — уравнение прямой в отрезках на осях. На |
|||||||
|
оси Ох отложим 2 единицы вправо (от начала координат); на |
||||||||
|
оси Оу отложим 4 единицы вниз. Получаем две точки на осях, |
||||||||
|
через которые проводим прямую (рис. 27). |
|
|
• |
|||||
4.2.2. |
Записать уравнение прямой у — 2х — Зъ отрезках и построить |
||||||||
|
ее. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2.3. |
Определить при каком значении а прямая (а2 —а)х + (2 + а)у — |
||||||||
|
- За + 1 = О |
|
|
|
|
|
|
||
|
а) |
параллельна оси Ох; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
проходит через начало координат. |
|
|
|
|
|||
4.2.4. |
Найти к из условия, что прямая у = кх + 2 удалена от начала |
||||||||
|
координат на расстояние у/3. |
|
|
|
|
||||
4.2.5. |
Написать уравнение прямой, проходящей через точку А ^—2; |
||||||||
|
и образующей с осью Ох угол, равный arctg3. |
|
|
|
|||||
4.2.6. |
Уравнение прямой 4х - Зу + 12 = 0 представить в различных |
||||||||
|
видах (с угловым коэффициентом, в отрезках, в виде нормаль- |
||||||||
|
ного уравнения). |
|
|
|
|
|
|
||
|
О |
Д л я |
получения уравнения прямой с угловым коэффициен- |
||||||
|
том разрешим заданное уравнение относительно у. Получим |
||||||||
|
Зу = 4я +12 и далее у = |
+ 4 — уравнение прямой с угловым |
|||||||
|
коэффициентом; здесь к = |
b = 4. |
|
|
|
|
|||
|
|
Для получения уравнения прямой в отрезках перенесем |
|||||||
|
свободный член С = 12 вправо и разделим обе части урав- |
||||||||
|
нения на - 12 . В результате получим |
+ ^ = 1 — уравнение |
|||||||
|
в отрезках на осях; здесь а = — 3, b = 4. |
|
|
|
|
||||
|
|
Приведем исходное уравнение к нормальному виду (2.8). |
|||||||
|
Для этого умножим обе части |
уравнения 4я-Зу+12 = 0 на нор- |
|||||||
|
мирующий множитель А = |
|
= L = = = = |
т. е. А = — |
Перед |
||||
|
|
У |
|
- у/42 + ( - 3 ) 2 |
|
|
^ |
|
|
|
корнем взят знак «минус», т. к. свободный член (С = 12) имеет |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
4 |
1 9 |
|
знак «плюс». Получим —^{4х — 3?/+12)=0, т.е. |
|
|
— ^ = |
|||||
|
= 0; здесь cosa = — s i n a = | ^cos2 а + sin2 а = |
|
Щ + ^ |
= 1^, |
|||||
|
р = |
т. е. расстояние от 0(0; 0) до прямой равно 2,4. |
• |
||||||
4.2.7. |
Записать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и |
||||||||
|
нормальное для заданных прямых и определить на каком рас- |
||||||||
|
стоянии от начала координат они находятся: |
|
|
|
|||||
|
а) 2х - Зу + б = 0; |
|
|
|
|
|
|
||
|
б) х + 2,5 = 0; |
|
|
|
|
|
|
||
|
в) у = х - 1; |
|
|
|
|
|
|
||
|
г) |
х + Ъу — 0. |
|
|
|
|
|
|
134
4.2.8.Написать уравнение прямой, проходящей через точки:
а) |
Л(0;2),В( - 3;7); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
А(2;1),В(4;1). |
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
О а) Используем уравнение (2.6). |
1" |
|
' |
А |
В |
У=1 |
||||||
Полагая в нем xi=0, у\—2, х2 |
= |
- з , |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|||
у2 |
= |
7, получим |
= |
- 0 |
|
|
О. |
|
|
2 |
4 |
х |
3 - 0 ' |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
У ^ ^ = |
т.е. - 3 у + 6 |
= |
Ъх |
|
|
|
Рис. 28 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или Ъх + Зу — 6 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
б) Решаем аналогично: |
|
|
х-2 |
У1 |
= |
2/2, |
|||||
|
|
|
4_2' Т а к к а к |
заключаем, что у — 1 = 0,у = 1 есть уравнение прямой, проходящей через точки А и В. (Для наглядности построим точки и прямую в системе Оху — см. рис. 28.) •
4.2.9. Найти угловой коэффициент к прямой и ординату точки ее пересечения с осью Оу, зная, что прямая проходит через точки А ( 1 ; 1 ) и В ( - 2 ; 3 ) .
4.2.10. Прямая проходит через точки А(2;3) и В(—4;-1), пересекает ось Оу в точке С. Найти координаты точки С.
4.2.11. Какую абсциссу имеет точка М, лежащая на прямой, проходящей через точки А(—2; —2) и В(—1; 6), и имеющая ординату, равную 22?
4.2.12. Из пучка прямых, определяемых уравнением у + 3 = к(х — 2) выделить ту, которая проходит через точку А(—2; 5).
О Подставим координаты точки А в уравнение прямой: 5 + 3 = к(—2 — 2), получим к = 8 : ( - 4 ) = - 2 . Следователь-
но, искомое уравнение прямой |
есть у + 3 = — 2(х — 2), т.е. |
||
2х + у - 1 = 0. |
|
• |
|
4.2.13. Найти |
прямую, принадлежащую |
|
|
пучку |
—4х+2у+1+\(х—Зу+2) = |
0 |
|
и проходящую через точку А( 1; 0) |
|
||
и написать ее уравнение. |
|
|
|
4.2.14. Составить уравнение прямой в по- |
|
||
лярных координатах, если извест- |
|
||
но, что она проходит через точку |
|
||
М^2; ^ |
и наклонена к полярной |
|
|
|
9 |
р и г |
OQ |
ОСИ ПОД у г л о м | 7 Г . |
|
^ |
ОВоспользуемся уравнением (2.9). Очевидно (см. рис. 29)
*= ! " (* - Н = I " f = IТогда*= 21cos(f - i) =
135
|
= 2cos^ = 2^ = л/3, т.е. p = л/3. Следовательно, уравнение |
|
|
искомой прямой есть rcos^cp — ^ = у/3. |
Ф |
4.2.15. |
Найти уравнение прямой: |
|
|
а) образующей с осью Ох угол ^ и пересекающей ось Оу в |
|
|
точке (0; -6); |
|
|
б) параллельной оси Ох и отсекающей на оси Оу отрезок, рав- |
|
|
ный 2; |
|
|
в) отсекающей на осях координат отрезки, равные 3 и 4. |
|
Дополнительные задачи |
|
|
4.2.16. |
Составить уравнение прямой, если точка М(4;2) является се- |
|
|
рединой ее отрезка, заключенного между осями координат. |
|
4.2.17. |
Составить уравнение прямой, отсекающей на положительных |
|
|
полуосях координат равные отрезки, если длина отрезка, за- |
|
|
ключенного между осями координат, равна 7у/2. |
|
4.2.18. |
Луч света, пройдя через точку А(2; 3) под углом а к оси Ох, |
|
|
отразился от нее и прошел через точку В(—5; 4). Найти угол а. |
|
4.2.19. |
Луч света направлен по прямой х — у — 1 |
= 0. Определить |
|
точку встречи луча с осью Ох и уравнение прямой, по которой |
|
|
направлен отраженный луч. |
|
4.2.20. |
При каких значениях а и /3 прямая (а — (3)х + {2а + /3)у — 1 = 0 |
|
|
отсекает1на оси Ох отрезок, равный ( а на оси Оу — отрезок, |
|
|
равный ^ (единиц масштаба). |
|
4.2.21. |
Составить уравнение прямой, проходящей через точку -4(4; 4) |
|
|
и отсекающей от координатного угла треугольник площадью |
|
|
5 = 4. |
|
4.2.22. |
Составить уравнение биссектрисы внутреннего угла А тре- |
|
|
угольника ABC с вершинами А( 1; - 2), В(5;4), С(-2;0). |
|
4.2.23. |
Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3; —4), |
|
|
являющуюся основанием перпендикуляра, опущенного из на- |
|
|
чала координат на прямую. |
|
4.2.24. |
Дан треугольник с вершинами А(3; 2), В(3; 8), С(6; 2). Написать |
|
|
уравнения сторон треугольника. |
|
4.2.25. |
Составить уравнение прямой, зная, что расстояние от нее до |
|
|
начала координат равно \/2, а угол между перпендикуляром, |
|
|
опущнным из начала координат на прямую, и осью Ох, ра- |
|
|
вен Q |
|
4.2.26. |
Найти площадь треугольника, заключенного между осями ко- |
|
|
ординат и прямой 2х — Ъу + 10 = 0. |
|
136
4.2.27. |
Составить (в полярных координатах) уравнение прямой, про- |
|||
|
ходящей через точки Mi ^4; ^ и М2(4;0). |
|||
4.2.28. |
Равнобедренная трапеция с основаниями 10 и 4 имеет острый |
|||
|
угол |
|
Написать уравнение сторон трапеции, приняв за ось |
|
|
Ох большее основание, за ось Оу — ось симметрии трапеции. |
|||
4.2.29. |
Через середину отрезка АВ, где А(4;0), В(0;6), провести пря- |
|||
|
мую, отсекающую на оси Ох отрезок вдвое больший, чем на |
|||
|
оси Оу и написать ее уравнение. |
|
||
4.2.30. |
Написать уравнение прямой, параллельной биссектрисе второ- |
|||
|
го координатного угла и отсекающей на оси Оу отрезок, рав- |
|||
|
ный 3. |
|
|
|
4.2.31. |
При каком значении С прямая 2х — Зу + С = 0 пересекает ось |
|||
|
Оу в точках с ординатами Ь\ = 2; |
= - 3 ? |
||
4.2.32. |
Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2; - 1 ) |
|||
|
и параллельной биссектрисе второго координатного угла. |
|||
4.2.33. |
Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых |
|||
|
я - 2 у + 3 = 0 и 2 я + ?/ + 5 = 0и параллельную оси ординат и |
|||
|
написать ее уравнение. |
|
||
4.2.34. |
Через точку пересечения прямых х + у — 6 = 0 и 2 я + у — 13 = 0 |
|||
|
провести прямую (не совпадающую с данными), отсекающую |
|||
|
на осях равные отрезки и написать ее уравнение. |
|||
4.2.35. |
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку |
|||
|
М(2; — 6) и отсекает на осях Ох и Оу отрезки одинаковой длины |
|||
|
(считая каждый отрезок направленным от начала координат). |
|||
4.2.36. |
Через точку М(4; 3) проведена прямая, отсекающая от коорди- |
|||
|
натного угла треугольник, площадь которого равна 3. Найти |
|||
|
точки пересечения этой прямой с осями координат. |
|||
Контрольные вопросы и более сложные задачи |
||||
4.2.37. |
Даны две точки Mi(—3;8) и М2(2; 2). На оси абсцисс найти |
|||
|
такую точку М, чтобы ломаная МХММ2 имела наименьшую |
|||
|
длину. |
|
|
|
4.2.38. |
Из точки А(—5; 6) выходит луч света под углом arctg(—2) к оси |
|||
|
Ох и отражается от оси Ох, затем от оси Оу. Найти уравнения |
|||
|
прямых, по которым направлены все три луча. |
|||
4.2.39. |
Доказать, что условие принадлежности трех точек М\(х\-,у\), |
|||
|
^ ( # 2 ; 2/2)) ^з{хз\Уз) одной прямой |
можно записать в виде |
||
|
XI |
У1 |
1 |
|
|
Х2 |
У2 |
= 0 . |
|
|
ХЗ |
Уз |
|
|
137
4.2.40. |
Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересече- |
||
|
ния прямых х + у — 1 = |
0их + 2у + 1 = 0и отсекающей на |
|
|
отрицательной части оси Оу отрезок, равный 2. |
||
4.2.41. |
Какова должна быть зависимость между коэффициентами А и |
||
|
В, чтобы прямая Ах + By + С = 0 была наклонена к оси Ох |
||
|
ПОД углом ^7Г? |
|
|
4.2.42. |
Найти уравнение прямой, содержащей биссектрису острого |
||
|
угла, образованного прямыми у = у/Зх + 4 и у = 4. |
||
4.2.43. |
При каком значении а прямая х + у + а2 — 2 а + 1 = 0 проходит |
||
|
через начало координат? |
|
|
4.2.44. |
Является ли уравнение |
+ \у\ = 0 уравнением прямой? |
|
4.2.45. |
Является ли уравнение х2 - у2 = 0 уравнением прямой, содер- |
||
|
жащей биссектрису второго координатного угла? |
||
4.2.46. |
Под каким углом к положительному направлению оси Ох на- |
||
|
клонены прямые у = 1,5я и у = —у/Зх? |
||
4.2.47. |
Какая из прямых 2х — 4у + 3 = 0их + у = 0 отсекает на оси |
||
|
ординат отрезок большей длины? |
||
4.2.48. |
Прямая у = Зх + Ъ пересекает ось Ох в точке с абсциссой а — 4. |
||
|
Чему равен параметр Ы |
|
|
4.2.49. |
Является ли уравнение g — ^ = 1 уравнением прямой в отрез- |
||
|
ках? Какие отрезки отсекает она на осях координат? |
||
4.2.50. |
При каких значениях С площадь, ограниченная координатны- |
||
|
ми осями и прямой Зх + 10у Л-С — 0 равна 135 кв.ед.? |
||
4.2.51. |
Каково уравнение семейства прямых, угловой коэффициент ко- |
||
|
торых равен |
3 ' |
|
|
|
|
Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, пересечение прямых, расстояние от данной точки до данной прямой
Под углом между прямыми в плоскости понимают наименьший (острый) из двух смежных углов, образованными этими прямыми.
Если прямые 1\ и 12 заданы уравнениями с угловыми коэффициента-
ми у = kix + Ь\ и у = к2х + |
то угол (р между ними вычисляется по |
||
формуле |
|
, |
, |
|
|
|
( 2 Л 0 ) |
Условие параллельности прямых 1\ |
и 12 |
имеет вид |
|
|
кг = к2, |
(2.11) |
|
а условие их перпендикулярности |
|
|
|
|
kx |
= ~ к2 |
(2.12) |
138
(или к\к2 = - 1) .
Если прямые 1\ и 12 заданы общими уравнениями А\х + В\у + С\ =0 и Аъя + В2у + С2 — 0, то величина (р угла между ними вычисляется по
формуле |
|
|
|
|
А\В2 |
- А2Вг |
|
||
|
|
|
|
|
|
(2.13) |
|||
|
|
|
|
|
|
tg <Р = А\А2 |
+ В\В2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
условие их параллельности |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
^ = |
(или АХВ2 - А2В! = 0), |
(2.14) |
||
условие их перпендикулярности |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
A x A 2 + B x B 2 = 0 . |
|
(2.15) |
|
|
Для нахождения общих точек прямых 1\ и 12 необходимо решить |
||||||||
систему уравнений |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
\Агх + Вгу + С\ = 0, |
|
\у = к1х + Ьи |
1cv |
|||
|
|
|
|
|
|
или |
< |
(2.16) |
|
|
|
|
I А2 х -f- В2 у + С2 = 0, |
|
b = fc2z + 62. |
|
|||
При этом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если 41 |
ф |
±>2 |
то имеется единственная точка пересечения прямых; |
|||||
|
л.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
= |
B |
C |
— прямые 1\ |
и 12 |
не имеют общей точки, т. е. |
|
|
если -г1 |
|
JD2 |
Ф |
|||||
|
Л2 |
|
|
L>2 |
|
|
|
|
|
параллельны; |
B |
C |
|
|
|
|
|||
|
A |
|
|
|
|
|
|||
|
если -д1 |
|
= |
|
— |
— прямые имеют бесконечное множество общих |
|||
точек, т. е. совпадают. |
|
|
|
|
|||||
^ |
Расстоянием d от точки Мо(я0; У о) ДО прямой Ах + By + С = 0 |
||||||||
|
называется длина , перпендикуляра, опущенного из этой точки |
||||||||
|
на прямую. |
|
|
|
|
||||
|
Расстояние d определяется по формуле |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
d = Ах о + Ву0 + С |
(2.17) |
||
|
|
|
|
|
|
\Л42 |
+ В2 |
|
|
Расстояние от точки Мо(яо; 2/о) до прямой я cos а -I- у sin а — р = 0 вычисляется по формуле
d = \хо cos а + уо sin а - р\. |
(2.18) |
4.2.52. Найти угол между прямыми:
1)у = 2х - 3 и у = ±х + 5;
2)2х - Зу + 10 = 0 и Ъх - у + 4 = 0;
3)у = - 2 и 8я + 6у + 5 = 0;
4)у = 5я + 1 и у = Ъх — 2.
139