1.12. Преобразование резистивных электрических цепей

 

В случае, когда на цепь воздействует один источник постоян­ного напряжения или тока, наиболее эффективным является метод преобразования электрических цепей. Суть этого метода за­ключается в нахождении эквивалентного сопротивления цепи отно­сительно зажимов (полюсов) источника.

 

В § 1.5 были рассмотрены простейшие методы преобразования последовательного и параллельного соединенных пассивных эле­ментов (см. формулы (1.22) —(1.24) и (1.27) —(1.29)). Однако на практике встречаются более сложные соединения элементов, ко­торые нельзя свести только к последовательному или параллель­ному. Примером подобного соединения являются соединения мно­голучевой звездой (рис. 2.2, а) и многоугольником (рис. 2.2, б).

Характерной особенностью этих соединений является наличие внутреннего узла 0 в звезде и внутреннего контура в многоуголь­нике. Наиболее часто встречаются случаи трехлучевой звезды и треугольника (рис. 2.3, а, б).

Найдем формулы преобразования соединения «треугольника» в «звезду». Запишем для схемы «треугольник» уравнения по ЗТК и ЗНК (рис. 2.3, б):

Уравнения (2.6) и (2.7) позволяют осуществить переход от со­единения резистивных элементов «треугольник» к соединению «звезда». Обратный переход можно получить по формулам

Пример. Рассчитать токи ветвей схемы резистивной цепи, изображенной на рис. 2.4, а. Данная схема может служить моделью измерительного моста, который находит широкое применение в различных измерительных приборах, в частности для измерения сопротивлений. Принцип работы моста основан на выполнении условий баланса его плечей.

При этом потенциалы узлов 2 и 3 оказываются одинаковыми и в диагонали моста R₂₃ ток будет равен нулю. Таким образом, если включить в диагональ моста вместо R₂₃ измерительный прибор — амперметр, то путем изменения од­ного из сопротивлений плеча (например, R₂₄ с помощью магазина сопротивле­ний), можно найти сопротивление другого (например R_3l). Для случая, когда R₁₂ ⁼ RM₃₁⁼ R, условие баланса достигается при R₃₄ = R₂₄.

Преобразуем треугольник R_12, R_23, R₁₃ в звезду с лучами R₁, R_2, R₃ (рис. 2.4, б), где R₁, R₂, R₃ определяются формулами (2.6) и (2.7). Тогда эквивалентное сопротивление цепи относительно зажимов источника (узлы 1 и 4)

Аналогично формуле (2.9) можно получить формулы преобра­зования n-лучевой звезды в полный многоугольник с числом ветвей равным п_в = п(п — 1)/2:

Следует отметить, что обратная задача преобразования много­угольника в эквивалентную n-лучевую звезду при n>3 не имеет решения, так как при этом оказывается число уравнений п(п —1)/2 превышает число неизвестных.

 

1.13. Метод наложения

 

В основе метода наложения лежит принцип суперпозиции (на­ложения), линейных электрических цепей (§ 1.6). Этот метод при­меняется в случае, когда в цепи действует несколько источников напряжения или тока. При этом в соответствии с этим принципом находят частичные токи и напряжения, а результирующие реакции определяются путем алгебраического суммирования частичных то­ков и напряжений.

Проиллюстрируем принцип наложения на примере резистивной цепи, изображенной на рис. 2.5, а, содержащей идеальные источ­ники напряжения. Найдем ток в резистивном элементеR3. Поло­жим вначале, что в цепи действует только один источник U_T\; вто­рой источник напряжения исключается и зажимы его закорачива­ются. При этом получаем частичную схему, изображенную на рис. 2.5, 6. Определим ток Iз' от воздействия напряжения U_Г1'.

Теперь полагаем, что в цепи действует только источник U_Г2- Ис­ключив источник U_Г1, получим вторую частичную схему (рис. 2.5, в). Ток Iз" от воздействия U_Г2 определится как

Результирующий ток Iз найдем как алгебраическую сумму час­тичных токов Iз ' и Iз ": Iз = Iз’ + Iз ". При определении результи­рующих токов знак «+» берут у частичных токов, совпадающих с выбранным положительным направлением результирующего тока, и знак «—» — у несовпадающих. Как следует из рассмотренного примера, при составлении частичных электрических схем исклю­чаемые идеальные источники напряжения закорачиваются. В слу­чае, если в цепи действуют источники напряжения с внутренними сопротивлениями R_Г, при их исключении они заменяются своими внутренними сопротивлениями R_Г.

При наличии идеальных источников тока соответствующие вет­ви исключаемых источников размыкаются, а при наличии реаль­ных источников они заменяются своими внутренними проводимостями G_r.

Пример. Определить ток /з в цепи, изображенной на рис. 2.6, а. Состав­ляем две частные схемы (рис. 2.6, б, в), для которых находим частичные токи:

При наличии в цепи зависимых источников они остаются в час­тичных схемах неизменными.