1.15. Метод узловых потенциалов

 

Метод узловых потенциалов (узловых напряжений) является наиболее общим и широко применяется для расчета электрических цепей, в частности, в различных программах автоматизированного проектирования электронных схем.

Метод узловых потенциалов базируется на ЗТК и законе Ома. Он позволяет снизить число решаемых уравнений до величины, оп­ределяемой равенством (1.14). В основе этого метода лежит расчет напряжений в (n_у — 1)-м узле цепи относительно базисного узла. По­сле этого на основании закона Ома находятся токи или напряжения в соответствующих ветвях. Рассмотрим сущность метода узловых по­тенциалов на примере резистивной цепи, изображенной на рис. 2.9, а. Примем потенциал Vз ⁼ 0 (базисный узел) и с помощью (1.31) пре­образуем источники напряжения в эквивалентные источники тока

Проводимости G₁₁ и G₂₂ представляют собой арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, подсоединенных соответственно к узлам 1 и 2; они называются собственными проводимостями уз­лов 1 и 2. Проводимости G₁₂ = G₂₁ равны арифметической сумме проводимостей всех ветвей, включенных между узлами 1 и 2, и называются взаимными проводимостямиузлов 1 и 2. Алгебраиче­скую сумму задающих токов I_y1и I_У2 источников тока подключен­ных соответственно к узлам 1 и 2 называют задающими узловыми токами узлов 1 и 2. Задающие токи источников в алгебраической сумме берутся со знаком «+», если положительное направление за­дающего тока источника ориентировано к соответствующему узлу, и «—», если от узла. Например, для узлового тока I_y1 со знаком «+» берется ток I_Г1 так как ориентирован по направлению к узлу 1, и знак «—» берется для I_Г2, так как он ориентирован от узла 1.

Решив систему (2.26) относительно V₁ и V₂ определим узловые потенциалы цепи. Искомые токн находим по закону Ома.

Полученный результат можно обобщить на произвольную резистивную схему с п узлами. Если принять п-й узел за базисный, то система уравнений по методу узловых потенциалов приобретает вид

Из уравнений (2.29) так же как из уравнений (2.14), следует, что   узловые   потенциалы   определяются   алгебраической   суммой

частичных узловых потенциалов, обусловленных действием каждого задающего узлового тока в отдель­ности, т. е. как и в методе контур­ных токов уравнения (2.29) от­ражают принцип наложения, ха­рактерный для линейных электри­ческих цепей.

Рассмотренный   метод   составле­ния узловых напряжений справедлив и при наличии в цепи зависимых источников типа ИТУТ и ИТУН. В цепи, изображенной на рис. 2.10, содержится кроме независимого ис­точника напряжения U_Г1 зависимый ИТУН с задающим током Jз = = HGU₁. Определим токи в цепи методом узловых потенциалов.

В соответствии с вышеизложенным 'методом примем за базис­ный узел V₂ = 0. Тогда для узла / получим

 

Запишем уравнение по метолу узловых потенциалов в матрич­ной форме. Умножим элементы редуцированной структурной матрицы Ао на потенциалы V соответствующих узлов, в результа­те получим матрицу напряжения ветвей:

Умножим левую и правую часть матричного уравнения (2.17) на матрицу Ао и учитывая ЗТК в матричной форме (1.18) и ра­венство (2.30), получим

получим матричную форму уравнений равновесия узловых потен­циалов:

где Gy — квадратная матрица узловых проводимостей, I_у — мат­рица-столбец узловых токов.

Пример. Составим уравнение узловых потенциалов в матричной форме для схемы, изображенной на рис. 2.8, а. Примем за базис нулевой узел Vo ⁼ 0. Структурная матрица Ао в этой цепи в соответствии с правилом, изложенным в § 1.3, имеет вид

Подставив G_y и I_У в (2.33), получим уравнение узловых потен­циалов в матричной форме. После определения матрицы узловых потенциалов V_y найдем матрицу напряжений ветвей согласно (2.30) и токи ветвей по закону Ома (2.17).

Для решения матричных уравнений в (2.23) или (2.33) обычно используют ЭВМ (см. § 2.7).