Распределения дискретных случайных величин

Пусть имеется конечная совокупность, состоящая из N элементов. Предположим, что D (defective) из них обладают нужным нам свойством. Оставшиеся N-D этим свойством не обладают. Случайным образом из общей совокупности выбирается группа из n элементов. Пусть Y - случайная величина, равная количеству выбранных элементов, обладающих нужным свойством. Тогда функция вероятности Y имеет вид:p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y = k) = \frac{C_D^k\, C_{N-D}^{n-k}}{C_N^n},где C_n^k \equiv \frac{n!}{k!\, (n-k)!} обозначает биномиальный коэффициент. Пишем: Y \sim \mathrm{HG}(D,N,n).

Гипергеометри́ческое распределе́ние в теории вероятностей моделирует количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности.

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины (это распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей)[1]. В англоязычной литературе обозначается через \mathbb{E}[X][2] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской — M[X] (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»). В статистике часто используют обозначение \mu.

Следствие 10. Математическое ожидание существует тогда и только тогда, когда .Следствие 11. Если п.н., то .Следствие 12. Если п.н., но , то п.н.Следствие 13. Если п.н., то .

ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ [ dispersion, variance of a discrete random variable ]Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D ( X ) = M ( X - M ( X )) 2. Для вычислений удобнее пользоваться формулой : D ( X ) = M ( X 2 ) - ( M ( X )) 2. Дисперсия обладает следующими свойствами. 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю : D ( C ) = 0. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат : D ( CX ) = C 2D ( X ). 3. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D ( X+Y+Z ) = D ( X )+D ( Y )+D ( Z ). 4. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной - равна дисперсии случайной величины: D ( C+X ) = D ( X ). Дисперсию обозначают также как s 2 с нижним индексом, обозначающим соответствующую случайную величину или без него.

Свойства дисперсииДисперсия постоянной величины с равна нулю.Доказательство: по определению дисперсии[image]

18:28:59

При прибавлении к случайной величине Х неслучайной величины с ее дисперсия не меняется.D[X+c] = D[X].Доказательство: по определению дисперсии[image]

При умножении случайной величины Х на неслучайную величину с ее дисперсия умножается на с2.Доказательство: по определению дисперсии[image]

Среднеквадрати́ческое отклоне́ние (синонимы: среднее квадрати́ческое отклоне́ние, среднеквадрати́чное отклоне́ние, квадрати́чное отклоне́ние; близкие термины: станда́ртное отклоне́ние, станда́ртный разбро́с) — в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. При ограниченных массивах выборок значений вместо математического ожидания используется среднее арифметическое совокупности выборок.

Непрерывные случайные величины. Кроме дискретных случайных величин, возможные значения которых образуют конечную или бесконечную последовательность чисел, не заполняющих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал. Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе. Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей р(х). Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х). Эта функция определяется точно так же, как и в случае дискретной случайной величины: - See more at:http://www.toehelp.ru/theory/ter_ver/3_3/#sthash.5QA9..

Законы распределения непрерывных случайных величинЗакон распределения непрерывной случайной величины нельзя задать также, как для дискретной. Он неприменим в силу того, что нельзя перечислить все бесконечное несчетное множество значений, а вероятности каждого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равны нулю.Для описания закона распределения непрерывной случайной величины Х предлагается другой подход: рассматривать не вероятности событий Х=х для разных х, а вероятности события Х<х. При этом вероятность P(X<x) зависит от текущей переменной, т. е. является некоторой функцией от х.Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х:.Функцию F(x) называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.Способ задания непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Необходимо определить некоторую функцию, отражающую вероятности попадания случайной точки в различные участки области возможных значений непрерывной случайной величины. Т. е. представить некоторую замену вероятностям pi для дискретной случайной величины в непрерывном случае.Такой функцией является плотность распределения вероятностей. Плотностью вероятности (плотностью распределения, дифференциальной функцией) случайной величины Х называется функция f(x), являющаяся первой производной интегральной функции распределения:

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.

F_X непрерывна справа:[1]\lim\limits_{\varepsilon \to 0+} F_X(x+\varepsilon) = F_X(x)F_X не убывает на всей числовой прямой.\lim\limits_{x \to -\infty} F_X(x) = 0.\lim\limits_{x \to +\infty} F_X(x) = 1.Распределение случайной величины \mathbb{P}^X однозначно определяет функцию распределения.Верно и обратное: если функция F(x) удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что F(x) является её функцией распределения.По определению непрерывности справа, функция F_X имеет правый предел F_X(x+) в любой точке x\in \mathbb{R}, и он совпадает со значением функции F_X(x) в этой точке.В силу неубывания, функция F_X также имеет и левый предел F_X(x-) в любой точке x\in \mathbb{R}, который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция F_X либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Плотность распределенияПусть имеется непрерывная случайная величина с функцией распределения , которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от до :

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция:.Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения есть неубывающая функция.2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:.Это следует из формулы (5.4.4) и из того, что .Геометрически основные свойства плотности распределения означают, что:1) вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;2) полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал? Это одна из самых известных и простейших задач теории вероятностей, которая в Wolfram|Alpha решается довольно просто.Вероятность попадания случайной величины X в числовой интервал (a; b) с помощью математической символики записывается следующим образом:Эта вероятность зависит от того, какое распределение вероятностей имеет данная случайная величина. Это важно понимать, и обязательно нужно учитывать при вычислениях.Вузовские пособия и курсы по высшей математике и теории вероятностей чаще всего подробно рассматривают вопрос о вычислении вероятности попадания в заданный интервал, лишь для нормально распределенной случайной величины, а также для дискретных случайных величин, которые имеют биномиальное распределение вероятностей. Потому-то о том, как искать вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал, когда она имеет какое-либо иное распределение вероятностей, большинство студентов имеет лишь отдаленное представление.Однако же, в курсах математического моделирования, в технических, экономических дисциплинах возникает необходимость вновь обращаться к этой задаче. Причем, здесь нельзя ограничиться только лишь нормальным или биномиальным распределением вероятностей.Как найти вероятность попадания в заданный интервал для любой случайной величины? Ответ на этот вопрос также даст Wolfram|Alpha. Достаточно лишь ввести систему соответствующий запрос на вычисление вероятности. При этом нужно указать распределение случайной величины и параметры этого распределения