- •§2. -Мерное аффинное пространство
- •§3. Аффинная система координат
- •§4. -Мерные плоскости
- •§5. Уравнения -мерных плоскостей
- •§6. Определение некоторых фигур аффинного пространства
- •Лекция 2.-мерное евклидово (точечное) пространство §7. Евклидово векторное пространство
- •§8. Евклидово -мерное точечное пространство
- •Раздел VI. Проективная геометрия Лекция 1.Проективное n-мерное пространство. Модели проективной прямой и плоскости
- •§1. Центральное проектирование. Предмет проективной геометрии
- •§2. Аксиоматическое определение проективного пространства. Модели проективной прямой и проективной плоскости
- •Лекция 2. Проективные реперы на прямой и плоскости. Уравнение прямой на проективной плоскости §3. Проективные координаты
- •§4. Однородные аффинные координаты
- •§5. Уравнение прямой на проективной плоскости
- •Лекция 3. Принцип двойственности. Теорема Дезарга §6. Принцип двойственности. Теорема Дезарга
- •Лекция 4. Сложные отношения точек и прямых. Гармонические четверки точек и прямых в полном четырехвершиннике §7. Сложное отношение четырех точек прямой
- •§8. Сложное отношение четырех прямых пучка
- •§9. Гармонические четверки
- •Лекция 5. Проективные отображения. Проективные преобразования. Предмет проективной геометрии §10. Проективные преобразования плоскости
- •§11. Проективные отображения прямых и пучков
- •Лекция 6. Квадрики на проективной плоскости. Полюсы и поляры §12. Линии второго порядка на проективной плоскости
- •§13. Полюсы и поляры. Поляритет
- •§14. Классификация линий второго порядка на проективной плоскости
- •§15. Овальные линии второго порядка
- •Лекция 7. Аффинная и евклидова геометрии с проективной точки зрения §16. Проективная модель аффинной плоскости
- •§17. Проективная модель евклидовой плоскости
- •Раздел VII. Топология Лекция 1. Топологическое пространство. Индуцированная топология. Топологические подпространства §1. Метрические пространства
- •§2. Определение и примеры топологических пространств
- •§3. Индуцированная топология. Топологическое подпространство
- •§4. Замкнутые множества
- •§5. Окрестности. Типы точек. Замыкание
- •Лекция 2. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы. Предмет топологии. Связность и компактность как основные инварианты топологического пространства §6. Непрерывность и гомеоморфизм
- •§7. Примеры топологических инвариантов
- •Лекция 3. Замкнутые поверхности в трехмерном пространстве и их классификация §8. Понятие поверхности. Замкнутые поверхности
- •§9. Ориентируемость поверхности. Эйлерова характеристика
- •§10. Топологические свойства проективной плоскости
- •Литература
§5. Уравнения -мерных плоскостей
Пусть в -мерном аффинном пространствезадана аффинная система координат.
-плоскость задана точкой и направляющим подпространствомс базисом.
Точка принадлежит плоскоститогда и только тогда, когда, то есть тогда и только тогда, когдаили. Получилипараметрические уравнения -плоскости в -мерном аффинном пространстве (вспомните параметрические уравнения прямой и плоскости в геометрическом пространстве).
Из курса алгебры известна теорема о задании подпространства векторного пространства с помощью системы линейных однородных уравнений
Т е о р е м а. Пусть дана система независимых линейных однородных уравнений
с неизвестными. Множество всех векторов-мерного векторного пространства, координаты которых удовлетворяют этой системе, является-мерным векторным подпространством пространства.
Итак, пусть векторное подпространство задано системойнезависимых линейных однородных уравнений. Точкапринадлежит плоскоститогда и только тогда, когда координаты вектораудовлетворяют системе линейных однородных уравнений, задающих. Отсюда имеем
систему независимых линейных уравнений –общие уравнения -плоскости.
Частные случаи:
Прямая на плоскости () – одно линейное уравнение.
Плоскость в трехмерном пространстве () – одно линейное уравнение.
Прямая в трёхмерном пространстве () – система двух независимых линейных уравнений.
Гиперплоскость в -мерном пространстве () – одно линейное уравнение.
Таким образом, любая -плоскость может рассматриваться как пересечениегиперплоскостей.
О п р е д е л е н и е. Две плоскости называются пересекающимися, если они имеют хотя бы одну общую точку.
Если две плоскости пересекаются, то их пересечение есть плоскость, направляющее подпространство которой является пересечением направляющих подпространств этих плоскостей.
Если в -мерном аффинном пространстве плоскостиитаковы, что, где– размерность пересечения направляющих подпространств, то плоскостиипересекаются (рассмотрите случай двух плоскостей, прямой и плоскости в геометрическом пространстве).
О п р е д е л е н и е. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек и направляющее подпространство одной из них содержится в направляющем подпространстве другой.
О п р е д е л е н и е. Две плоскости называются скрещивающимися, если они не имеют общих точек и не параллельны.
Если сумма размерностей плоскостей больше либо равна размерности пространства, то эти плоскости не могут быть срещивающимися (в геометрическом пространстве две прямые могут быть скрещивающимися, а прямая и плоскость не могут быть скрещивающимися).
§6. Определение некоторых фигур аффинного пространства
О п р е д е л е н и е. Пусть три точки одной прямой. Числоназываетсяпростым отношением точек , если.
Т е о р е м а 1. Для любого действительного числа на прямойсуществует единственная точкатакая, что.
О п р е д е л е н и е. Точка лежит между точкамии (), если.
Из теоремы 1 следует, что между точками илежит бесконечно много точек.
Т е о р е м а 2. Если , то.
О п р е д е л е н и е. Отрезком с концами иназывается фигура, состоящая из точекии всех точек, лежащих между ними.
Т е о р е м а 3. Отрезок есть множество всех точектаких, что.
О п р е д е л е н и е. Лучом называется фигура состоящая из точек отрезкаи всех точектаких, что.
О п р е д е л е н и е. Фигура, состоящая из всех точек таких, чтогдеи– линейно независимая система векторов, называется -мерным параллелепипедом, натянутым на точкуи векторы (при имеем отрезок, при– параллелограмм).