b

g2

(y)

(x, y)dx , если область интегрирования

2. ∫∫ f (x, y)dS = ∫dy

∫ f

D

a

g1

(y)

можно представить в виде

a ≤ y ≤ b

.

g1 (y)≤ x ≤ g2 (y)

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Если

границы

области

D ,

по которой

вычисляется

двойной

интеграл, можно задать только различными уравнениями, то

область интегрирования D разбивается на две или более частей.

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Вычислять

повторный

интеграл,

например

интеграл

b

g2 (x)

∫dx

∫ f (x, y)dy , следует,

начиная с частного интегрирования

a

g1(x)

g 2 (x)

y

по

внутреннего интеграла

∫ f (x, y)dy . После подстановки

g1 (x)

x . Ее

пределов интеграции получится функция переменной

области D , по которой

берется

двойной

интеграл.

Область D

находится в полосе между прямыми

х = 0

и х = 2

и ограничена

снизу линией у =

3х

, а сверху линией у = 4 − (х −1)2 (рис.1).

2

у

у=4-( х-1)2

D

3х

у

=

2

-1

0

1

2

3

х

Рис. 1.

4

границы области

D , решим уравнение параболы

у = 4 − (х −1)2

относительно х.

Получим

х =1 ± 4 − у , причем линия АВ

определяется уравнением х =1 −

4 − у ,

а линия ВС уравнением

х =1 + 4 − у .

Уравнение

прямой

у =

3х

также решим

2

относительно х и запишем в виде:

х =

2 у

.

3

у

В

4

D2

А

С

х=1- 4-у3

D1

х=1+ 4-у

-1

0

1

2

3

х

Рис. 2.

Из рисунка 2 видно, что левая и правая граница области

интегрирования

D состоит из двух линий.

Следовательно, область

D следует разбить на две части

D1 и

D2 . Эти области задаются

неравенствами:

D :

0 ≤ у ≤ 3

D

:

3 ≤ у ≤ 4

2 у

2

1

0 ≤ х≤

,

1 − 4 − у ≤ х≤1 + 4 − у.

3

2

4−(х−1)2

3

2

у

4

1+

4− у

3

∫dx

∫ f

(x, y)dy = ∫dу ∫ f (x, y)dх+ ∫dу

∫ f (x, y)dx .

0

3

x

0

0

3

1−

4− у

2

Решение задачи 1.2

Прежде чем расставлять пределы интеграции в другом порядке,

выясним, по какой области ведется интегрирование в каждом

интеграле.

Учитывая пределы интеграции, можно выписать следующие

неравенства для областей D1 и D2 :

− 2 2 ≤ y ≤ −2

− 2 ≤ y ≤ 2

(D1 ) и

(D2 ).

− y2 ≤ x ≤ 8 − y2

≤ x ≤

8 − y2

− 8

y

Следовательно, область D1 ограничена кривыми:

y = −2

y = −2 2, y = −2

,

= ±

8 − y2

или

8

x

x2 + y2 =

а область D2 ограничена кривыми (рис.3. а):

y

= −2, y = 2

y = −2

x

= y

или

x = y

.

2

+ y

2

= 8

x = 8 − y2

x

y

y

2

x

y =

8

−

x

2

=

y

2 D2

D2

−2

x

x

D1

2

2

−2

−2

D1

−2 2

2

x

−

−

8

=

y

Рис. 3. а

Рис.3. б

Если поменять порядок интегрирования, то область придется

разбить на две области прямой

x = 2

(рис. 3. б). Тогда области

интегрирования D1 и D2 можно задать неравенствами:

6