7.16. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Математическое ожидание непрерывной случайной величины обладает свойством, схожим с тем, которое мы рассмотрели для дискретной:

математическое ожидание непрерывной случайной величины – это абсцисса центра тяжести, но не закона распределения, а плотности распределения.

Для полноты изложения материала без пояснений запишем формулу для вычисления математического ожидания по известной плотности распределения p(x). Правда, обозначения в ней будут понятны только тем, кто со школы помнит, что такое интеграл. Она во многом похожа на формулу для дискретной случайной величины, которую мы вывели строго:

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется так:

.

После подстановки в эту формулу функции p(x) и вычисления определённого интеграла получается число, которое также имеет ясное физическое толкование.

Это число указывает абсциссу центра тяжести фигуры p(x).

Т.е. если имеется вырезная из листа железа фигура, описываемая функциейp(x), и для неё вычислено математическое ожидание , то, подвесив эту фигурку за отверстие, проделанное на вертикальной линии, поднятой из точки, мы увидим, что эта фигура не покосится набок.

Это и означает, что нами найдена абсцисса её центра тяжести.

Таким образом, и для непрерывной случайной величины математическое ожидание соответствует абсциссе центра тяжести.

Практическое значение математического ожидания.

Как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин может быть рассчитана единая числовая характеристика: математическое ожидание.

Она позволяет сравнивать любые случайные величины между собой в том, каково их среднее значение.

Мы уже знакомы с двумя видами непрерывных случайных величин: равномерно распределённой и нормально распределённой.

Узнаем, чему у них равны математические ожидания.

Равномерно распределённая случайная величина имеет такую математическую запись плотности вероятности

Вычислим математическое ожидание, как это делалось в школе (кто помнит, что такое интеграл, тот поймёт),

Математическое ожидание совпадает с серединой отрезка [a; b], как и полагается абсциссе центра тяжести.

Нормально распределённая случайная величина имеет следующую плотность вероятности

Оказывается, что, несмотря на сложность записи, математическое ожидание совпадает со значением параметра m, который входит в формулу для распределения

.

Т.к. нормальное распределение симметрично, то m – совпадает с его абсциссой оси симметрии, на которой расположен максимум.

Бывают и несимметричные распределения, скошенные набок. Для них математическое ожидание может с максимум не совпадать.

Примеры сравнения.

Случайные величины с распределениями «1» и «2» имеют различное математическое ожидание.

Случайные величины с распределениями «3» и «4» имеют одинаковое математическое ожидание. Но, очевидно, что они различны, т.к. случайная величина «4» имеет меньший разброс.

Таким образом, математическое ожидание не несёт в себе полной информации о случайной величине.

Очень часто важна ещё и степень рассеяния.

Обобщим, что мы знаем об отличии математического ожидания от среднего арифметического.

Среднее арифметическое – это значение, получаемое в результате обработки эмпирических или опытных данных. Поэтому его ещё называют эмпирическим средним.

Математическое ожидание является вероятностным обобщением среднего арифметического при неограниченном возрастании количества опытов. Но реально так значение математического ожидания не получают.

Оно находится по закону распределения или плотности распределения с помощью алгебраических действий, на бумаге, т.е. теоретически. Поэтому, по сути, это – теоретическое среднее.

Теперь о том, почему теоретическое среднее называют математическим ожиданием. Возможно, это потому, что математическое ожидание – это наиболее вероятное или ожидаемое значение, полученное с помощью математики.