- •2013Год. Оглавление
- •Введение
- •Выбор и обоснование математической модели объекта
- •Выбор и составление плана эксперимента
- •Проверка нормальности распределения выходной величины
- •Определение генеральной совокупности
- •Расчет необходимого числа параллельных опытов.
- •Обработка результатов эксперимента
- •Интерпретация результатов эксперимента
- •Библиографический список
Определение генеральной совокупности
Математическое ожидание My определяется по формуле
Уровень значимости q = 0,05
Число степеней свободы f = n – 1 = 60 – 1 = 59
Распределение Стьюдента определяется по таблице и равен: tqf = 2,00
Расчет необходимого числа параллельных опытов.
Исходными данными для этого расчета служат результаты серии опытов, представленные в таблице.
Пусть требуется найти минимальное число n повторений опытов, при котором среднее арифметическое , найденное по этой выборке, отличалось бы от математического ожидания не более, чем на заданную величину ∆. Для ее решения необходимо знать оценку дисперсииs2. Искомое значение n определяется по формуле
Величину τ отыскивают из таблицы при уровне значимости q и числе степеней свободы f, связанном с оценкой дисперсии s2.
Преобразуем формулу для определения количества повторений опытов, для этого разделим числитель и знаменатель на , тогда получим:
;
где - коэффициент вариации;
-относительная величина ошибки,
Найдём коэффициент вариации
Найдём величину относительной ошибки:
Тогда окончательно:
;
Следовательно необходимое число дублированных опытов равно n=4.
Обработка результатов эксперимента
Условия эксперимента и результаты дублированных опытов представлены в таблице
Условия эксперимента и результаты дублированных опытов.
№ опыта |
Нормализованные значения факторов |
Результаты дублированных опытов |
y |
ŷ | |||||||
x1 |
x2 |
x3 |
Опыт 1 |
Опыт 2 |
Опыт 3 |
Опыт 4 |
|
| |||
1 |
– 1 |
– 1 |
– 1 |
15.34 |
18.68 |
15.98 |
16.29 |
16,57 |
12,940313 | ||
2 |
+1 |
– 1 |
– 1 |
18.07 |
22.15 |
20.31 |
21.09 |
20,41 |
18,599688 | ||
3 |
– 1 |
+1 |
– 1 |
12.89 |
17.03 |
16.12 |
13.75 |
14,95 |
16,892188 | ||
4 |
+1 |
+1 |
– 1 |
17.38 |
19.83 |
18.39 |
18.52 |
18,53 |
18,647813 | ||
5 |
– 1 |
– 1 |
+1 |
13.24 |
14.36 |
14.26 |
13.95 |
13,95 |
14,286563 | ||
6 |
+1 |
– 1 |
+1 |
22.51 |
23.49 |
23.17 |
23.83 |
23,25 |
21,757188 | ||
7 |
– 1 |
+1 |
+1 |
10.32 |
14.08 |
13.15 |
11.49 |
12,26 |
14,238438 | ||
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
19.92 |
20.98 |
23.95 |
24.05 |
22,00 |
25,805313 |
Номер опыта |
Значение факторов |
Результаты эксперимента МПа |
Результаты расчётов | |||||||
x1 |
x2 |
x3 |
yj1 |
yj2 |
yj3 |
yj4 |
y1 |
s2j | ||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 | |
1 |
0,13 |
1 |
6 |
15,34 |
18,68 |
15,98 |
16,29 |
16,57 |
2,130 | |
2 |
0,38 |
1 |
6 |
18,07 |
22,15 |
20,31 |
21,09 |
20,41 |
2,992 | |
3 |
0,13 |
5 |
6 |
12,89 |
17,03 |
16,12 |
13,75 |
14,95 |
3,793 | |
4 |
0,38 |
5 |
6 |
17,38 |
19,83 |
18,39 |
18,52 |
18,53 |
1,011 | |
5 |
0,13 |
1 |
18 |
13,24 |
14,36 |
14,26 |
13,95 |
13,95 |
0,256 | |
6 |
0,38 |
1 |
18 |
22,51 |
23,49 |
23,17 |
23,83 |
23,25 |
0,316 | |
7 |
0,13 |
5 |
18 |
10,32 |
14,08 |
13,15 |
11,49 |
12,26 |
2,820 | |
8 |
0,38 |
5 |
18 |
19,92 |
20,08 |
23,95 |
24,05 |
22,00 |
5,339 |
Расчёт для среднего значения:
и.т.д
Расчёты для оценки дисперсии:
и.т.д.
Была проведена проверка однородности дисперсий опытов. Поскольку в данном случае имеется равномерное дублирование, здесь использовался критерий Кохрена. Максимальной из дисперсий оказалась дисперсия седьмого опыта . Поэтому:
Для уровня значимости q=0,05, числа степеней свободы каждой выборки f=n-1=3, количество выборок m=8 находим:
Полученное соотношение Gрасч <Gтабл позволяет принять гипотезу об однородности дисперсий.
Находим оценку дисперсии воспроизводимости экспериментов как среднее арифметическое дисперсий опытов:
Регрессивною модель объекта отыскиваем в виде неполного квадратного уравнения
yj=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b12x1x2+b13x1x3+b23x2x3+b123x1x2x3;
№ |
х1 |
х2 |
х3 |
yср |
Х1yср |
Х2yср |
Х3уср |
x1*x2*y |
x2*x3*y |
x1*x3y |
x1*x2*x3*y |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
16,57 |
-16,572 |
-16,572 |
-16,572 |
16,572 |
16,572 |
16,572 |
-16,572 |
2 |
1 |
-1 |
-1 |
20,405 |
20,405 |
-20,405 |
-20,405 |
-20,405 |
20,405 |
-20,405 |
20,40 |
3 |
-1 |
1 |
-1 |
14,9475 |
-14,947 |
14,9475 |
-14,947 |
-14,947 |
-14,947 |
14,947 |
14,947 |
4 |
1 |
1 |
-1 |
18,53 |
18,53 |
18,53 |
-18,53 |
18,53 |
-18,53 |
-18,53 |
-18,53 |
5 |
-1 |
-1 |
1 |
13,9525 |
-13,952 |
-13,952 |
13,952 |
13,952 |
-13,952 |
-13,952 |
13,952 |
6 |
1 |
-1 |
1 |
23,25 |
23,25 |
-23,25 |
23,25 |
-23,25 |
-23,25 |
23,25 |
-23,25 |
7 |
-1 |
1 |
1 |
12,26 |
-12,26 |
12,26 |
12,26 |
-12,26 |
12,26 |
-12,26 |
-12,26 |
8 |
1 |
1 |
1 |
22,00 |
22 |
22 |
22 |
22 |
22 |
22 |
22 |
∑ |
|
|
|
141,917 |
26,452 |
-6,442 |
1,0075 |
0,192 |
0,557 |
11,622 |
0,692 |
Построим вспомогательную таблицу для расчета коэффициентов регрессии:
b0= |
b1= |
b2= |
b3= |
b12= |
b23= |
b13= |
b123= |
17,73969 |
3,306563 |
-0,8053 |
0,12593 |
0,02 |
0,07 |
1,45 |
0,09 |
Определяем коэффициенты регрессии (n-число параллельных опытов N-число опытов):
Окончательно уравнение регрессии принимает вид:
y=17,74+3,307x1-0,805x2+0,126x3+0,02x1x2+0,07x2x3+1,45x1x3 +0,09x1x2x3
СКО для каждого коэффициента регрессии составляет:
Для оценки значимости коэффициентов регрессии найдём значения коэффициентов Стьюдента при уровне значимости q=0,05 и числе степеней свободы fy связанным с дисперсией воспроизводимости. Поскольку имеет место равномерное дублирование опытов число степеней свободы определяем:
fy=N(n-1)=8(4-1)=24
Из таблиц получено fтабл=2,06. Следовательно
Коэффициенты
b12: <1,285
b3: <1,285
b23: 0,07<1,285
b123: 0,09<1,285
были признаны незначимыми.
Регрессионная модель после отбрасывания незначимых членов получена в виде
y=17,74+3,307x1-0.805x2+1,45x1x3
Определяем доверительные интервалы для каждого коэффициентов регрессии, в общем виде уравнения имеет вид:
Теперь проверяем адекватность математической модели. Дисперсию адекватности определяем по формуле:
Здесь p-число коэффициентов E-регрессии анализируемой модели равное 7;
-значение отклика в j-ом опыте.
Затем находим значение критерия Фишера:
Табличный критерий Фишера при q=0,05 и числе степеней свободы fад=24 было найдено значение Fтабл=2,51. Поскольку Fрасч>Fтабл гипотеза об адекватности модели не принимается. Это связанно либо с экспериментальными ошибками, либо с неправильно выбранной моделью.