Выбор и обоснование математической модели объекта

Выбрать модель — это значит выбрать вид функции, записать ее уравнение. Затем спланировать и поставить эксперимент для отыскан ия численных значений коэффициентов этого уравнения.

Моделей бывает много и разных. Выбор модели зависит от предъявляемых к ней требованиям. Наше главное требование к модели —эти способность предсказывать направления дальнейших опытов с требуемого точностью.

Класс нашей выбранной модели — полином, т.е. отрезки степенных рядов. Построение полинома возможно в окрестностях любой ТОЧКИ факторного пространства, так как мы предполагаем, что функция является аналитической.

Эксперимент нужен для получения численных значений коэффициентов полиномов. Поэтому, чем больше коэффициентов, тем больше опытов нужно поставить. Мы же стремимся сократить их Следовательно, надой найти полином, содержащий как можно меньше коэффициентов, но удовлетворяющий требованиям, предъявляемым к модели . При заданном числе факторов, чем ниже степень полинома, тем меньше в нем коэффициентов.

С другой стороны, нужно, чтобы модель предсказывала направление наискорейшего улучшения параметра оптимизации. Такое направление называют направлением градиента. Движение в этом направлении приведет к успеху быстрее, чем движение в любом другом направлении. В этом случае лучше использовать полином первой степени, так как он содержит информацию о направлении градиента, и , кроме того, в нем минимально возможное число коэффициентов при данном числе факторов.

Таким образом, на первой стадии экспериментальных исследований при отсутствии сведений о модели разумно выбирать модель первого порядка.

Выбор и составление плана эксперимента

Для исследователя важно получить математическую модель в той области изменения переменных, где находится интересующий его оптимум, так называемая стационарная область. Отсюда ясна необходимость создания стратегии эксперимента. На первом этапе проводим серию экспериментов, которая укажет, в каком направлении находится стационарная область, т е. как изменить значения исследуемых факторов, чтобы приблизиться к стационарной области.

При простейшем однофакторном эксперименте исследователь выясняет зависимость интересующей его величины от какого-либо одного фактора, по возможности стабилизируя остальные. Проводя аналогичные эксперименты для других факторов, можно по итогам всех экспериментов оценить зависимость исследуемой величины от нескольких факторов. Однако, подобный метод трудоемкий и не надежный.

Шагом вперед по сравнению с этим методом является классический регрессионный анализ. Он по-прежнему ставит своей задачей получения уравнения регрессии - функциональной зависимости некоторого параметра у, подлежащего оптимизации, от k независимых переменных – факторов, х_i ...,х_k.

Понятие оптимизации эксперимента нуждается в пояснении. Эксперимент разумно считать оптимальным в полном смысле, если он удовлетворяет следующим требованиям: оценки дисперсии коэффициентов регрессии должны быть минимальны и однородны; коэффициенты регрессии независимы друг от друга; процедура их вычислений должны быть проста, а число экспериментов минимально. Не существует метода планирования экспериментов, удовлетворяющего всем перечисленным требованиям. В зависимости от того, какие из перечисленных требований оптимальности выполняются, план будет оптимальным в том или ином смысле.

Основываясь на выполнении необходимых требований используем планирование первого порядка (т.е. для линейного уравнения регрессии) этот метод удовлетворяет почти всем перечисленным выше требованиям.

Основной задачей нашего эксперимента является планирование эксперимента с целью математического описания объекта. Поэтому разумно выбрать полный факторный план ПФП 2к. Целью экспериментального исследования при этом является получение эмпирической математической модели объекта, т.е. отыскание зависимости каждой из выходных величин объекта от варьируемых факторов.

Математическая модель процесса формируется здесь исходя из некоторых априорных теоретических соображений. В этом случае цель исследования сводится к тому, чтобы показать, что данная модель достаточно хорошо описывает результаты опытов.

Значения верхних, нижних и основных уровней факторов, а также их интервалы варьирования приведены в таблице.

№ п/п	Наименование факторов	Обозначение	Единица измерения	Диапазоны варьирования факторов
1	Давление прессования	X1	кгс/см2	0,13 – 0,38
2	Скорость шлифования	X2	м/с	1 – 5
3	Зернистость шкурки	X3		6 – 18

Для вычисления основного уровня используется формула:

где Δ_i – интервал варьирования фактора X_i.

После вычисления значения сводим в таблицу:

№ п/п	Наименование факторов	Обозначение			Уровни варьирования факторов				Интервал варьирования
		Натур	Нормализ	верх		нижн	основной
1	Давление прессования (кгс/см2)	X1	x1	0,38		0,13	0,255	0,25
2	Скорость шлифования (м/с)	X2	x2	5		1	2	4
3	Зернистость шкурки	X3	x3	16		8	12	8

Формула, связывающая нормализованные и натуральные значения факторов:

Тогда:

x₁ = (X₁-0.255)/0.25

x₂ = (X₂-2)/4

x₃ = (X₃-12)/8