Выпуклость функции

Функция у = f(х) называетсявыпуклой вниз(вверх)¹на промежутке Х если для любых двух значений х₁, х₂Х из этого промежутка выполняется неравенство.

Графический смысл выпуклости функции проиллюстрирован рисунком 3.7. В самом деле, в левых частях формул, определяющих выпуклость, находится значение функции в середине отрезка [х₁, х₂]. В правых частях находится ордината середины отрезка, соединяющего точки (х₁,f(х₁)) и (х₂,f(х₂)) на графике функции. Очевидно, что если функция выпукла вниз, то отрезок, соединяющий любые две точки графика, целиком лежит над графиком, а если она выпукла вверх, то под графиком функции.

Можно доказать, что функция выпукла вниз (вверх) тогда и только тогда, когда ее первая производная на соответствующем промежутке монотонно возрастает (убывает). Геометрически это означает, что если f`(x) возрастает (убывает) на промежуткеX, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к ее графику (см. рисунок 3.8).

Достаточное условие выпуклости функции вниз (вверх). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежуткаX, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Доказательство этой теоремы основано на том, что если вторая производная положительна (отрицательна), то первая возрастает (убывает), что говорит о выпуклости функции вниз (вверх).

Заметим, что необходимое условие выпуклости слабее: если функция выпукла на промежутке, то ее вторая производная неположительна (неотрицательна), т.е. может и равняться нулю.

Точкой перегибаграфика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Из сформулированных выше теорем следует, что точки перегиба — это точки экстремума первой производной. Отсюда вытекают теоремы об условиях перегиба.

Необходимое условие перегиба. Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю.

Достаточное условие перегиба². Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то это точка перегиба ее графика.

Геометрическая интерпретация точки перегиба приведена на рисунке 3.9. В окрестности точки х₁функция выпукла вверх и график ее лежит ниже касательной, проведенной в этой точке. В окрестности точки х₂функция выпукла вниз, и график лежит выше касательной. В точке же перегиба х₀график лежит по разные стороны касательной.

Отметим, что если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она есть точка перегиба.

Исследование функции на выпуклость и точки перегибаобычно включает следующие этапы:

1. Найти вторую производную функции f``(х).

2. Найти точки, в которых вторая производная f``(х) = 0 или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4. Найти значения функции в точках перегиба.

Асимптоты графика функции

Асимптотой графика функцииy=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х,f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

На рисунке 3.10. приведены графические примеры вертикальной,горизонтальныхинаклоннойасимптот.

Нахождение асимптот графика основано на следующих трех теоремах.

Теорема о вертикальной асимптоте. Пусть функция у =f(х) определена в некоторой окрестности точкиx₀(исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности, т.е.Тогда прямаяx=x₀является вертикальной асимптотой графика функции у =f(х).

Очевидно, что прямая х = х₀не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке х₀, так как в этом случае. Следовательно, вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения.

Теорема о горизонтальной асимптоте. Пусть функция у =f(х) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции. Тогда прямая у =bесть горизонтальная асимптота графика функции.

Замечание. Если конечен только один из пределов , то функция имеет соответственнолевостороннююлибоправостороннюю горизонтальную асимптоту.

В том случае, если , функция может иметь наклонную асимптоту.

Теорема о наклонной асимптоте. Пусть функция у =f(х) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы. Тогда прямаяy=kx+bявляется наклонной асимптотой графика функции.

Без доказательства.

Наклонная асимптота, так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней, если в базе соответствующих пределов стоит бесконечность определенного знака.

Исследование функций и построение их графиковобычно включает следующие этапы:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность-нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты, исследовав точки разрыва и поведение функции на границах области определения, если они конечны.

4. Найти горизонтальные или наклонные асимптоты, исследовав поведение функции в бесконечности.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.