критерии Коши
.pdf1.8.Теоремы о существовании предела последовательности
1.8.1.Критерий Коши. Изучим в этом параграфе одну из важнейших теорем математического анализа, имеющую многочисленные аналоги в других разделах математики (и самого математического анализа).
Определение 1.8.1. Последовательность называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если для любого числа ε > 0 найдется такой номер N N, что из n > N и m > N следует выполнение неравенства |xm − xn| < ε. Условие, которому удовлетворяет фундаментальная последовательность,
называется условием Коши.
Пример 1.8.1. Пусть |
xn |
= |
1 |
. Покажем, что |
эта последовательность |
||||||||
|
|||||||||||||
фундаментальна. Учитывая, что |
|
n |
|
|
|
указать |
|||||||
lim xn = 0, можно для любого ε > 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
ε |
ε |
||||
номер N N, что из n > N и m > N следует 0 < xn < |
|
, 0 < xm < |
|
. Тогда |
|||||||||
2 |
2 |
||||||||||||
|
ε |
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|xm − xn| 6 |xm| + |xn| < |
|
+ |
|
|
= ε. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема 1.8.1 (критерий |
Коши |
сходимости последовательности). Числовая |
последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
Доказательство. Покажем сначала необходимость, т.е. что из существования
предела последовательности вытекает ее фундаментальность. |
|
|
|
|
||||
Пусть lim xn = A. Из определения предела следует, что для |
ε > 0 существует |
|||||||
n→∞ |
ε |
|
|
|
|
|||
номер N такой, что при n > N выполняется |xn − A| < |
|
и при m > N также |
||||||
2 |
||||||||
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|xm − A| < |
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ε |
|
ε |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|xm − xn| = |(xm − A) + (A − xn)| 6 |xm − A| + |A − xn| < |
|
+ |
|
= ε, |
||||
2 |
2 |
т.е. условие Коши выполнено.
Перейдем к доказательству достаточности условия Коши для сходимости последовательности {xn}.
Пусть {xn} фундаментальна. Разобьем доказательство на три этапа.
1)Покажем ограниченность фундаментальной последовательности. Для любого
ε> 0 существует номер N такой, что из k > N, m > N следует
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|xk − xm| < |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
или |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
ε |
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
||
− |
< xk − xm < |
|
, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
3 |
|
|||||||||
или |
|
|
ε |
|
|
|
ε |
|
||||
|
|
|
|
|
|
(1.8.1) |
||||||
xm − |
|
< xk < xm |
+ |
|
|
. |
||||||
3 |
3 |
Пусть теперь ε = 1, а m = N +1. Тогда xN+1 − 13 < xk < xN+1 + 13. Подчеркнем, что
в последнем неравенстве k произвольно (k > N), а xN+1 − 13 и xN+1 + 13 есть некоторые
константы. Это означает, что последовательность {xk}, k > N, ограничена. Но элементов, имеющих номера k 6 N, конечное число, значит вся последовательность
ограничена.
2)Построение последовательности вложенных отрезков.
–28 –
Пусть
an = inf xk, bn = sup xk |
|
k>n |
k>n |
|
(указанные величины существуют, так как последовательность {xn} ограничена). Из определений точной верхней и точной нижней границ вытекает, что an 6 an+1 6 bn+1 6 bn. Таким образом, последовательность [an, bn] образует последовательность вложенных отрезков. Покажем, что длина этих отрезков стремится к 0 при n → ∞. Из неравенства (1.8.1) при m = N + 1 получаем, что
x |
− |
ε |
6 inf x |
|
= a |
|
6 b |
sup x |
|
6 x |
|
+ |
ε |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
N+1 |
3 |
k>n |
k |
|
n |
|
n = k>n |
k |
|
N+1 |
|
3 |
|
откуда длина отрезка [an, bn], n > N, оценивается величиной ε, так как bn − an 6
23ε < ε.
3) Используем принцип Кантора о вложенных отрезках [an, bn].
Пусть A единственная точка, принадлежащая всем этим отрезкам, т.е. an 6 A 6 bn. Но элементы последовательности xk с номерами k > n также принадлежат отрезку [an, bn]. Действительно,
an = inf xk 6 xk 6 sup xk = bn. |
|
k>n |
k>n |
|
|
Тогда |A − xk| 6 bn − an < ε при k |
> n > N, что и говорит о сходимости |
последовательности {xn} к числу A. |
2 |
Рассмотрим примеры, в которых необходимо изучить сходимость
последовательности {xn}, используя критерий Коши. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пример 1.8.2. Последовательность |
|
|
xn |
|
= |
sin n |
. Пусть |
ε > 0 фиксировано. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin m |
|
|
|
sin n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Оценим величину |xm − xn| = |
|
|
m |
|
|
− |
|
|
n |
|
. Пусть для определенности m > n. |
||||||||||||||||
Тогда |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
m − |
n |
|
|
|
|
|
m |
|
+ |
|
|
6 m + n < |
|
2n. |
||||||||||||
|
= |
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
m |
sin n |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
sin n |
|
1 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в качестве N взять величину |
2ε |
и потребовать, чтобы n > N (тем более |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m > N), то |xm −xn| < ε и последовательность оказалась фундаментальной, а значит,
и сходящейся по критерию Коши.
Пример 1.8.3. Последовательность xn = (−1)n. Уже было показано, что последовательность {xn} расходящаяся, т.е. она не является фундаментальной.
Проведем все же формальную проверку этого факта. Сформулируем прежде всего отрицание того, что последовательность {xn} фундаментальная.
Числовая последовательность {xn} не удовлетворяет условию Коши, если существует ε > 0 такое, что при любом N N найдутся числа n, m больше N, для которых |xn − xm| > ε или, в формальной логической записи,
ε > 0 N N n > N m > N |xn − xm| > ε.
Для последовательности xn = (−1)n положим ε = 1.
n = N + 1, m = N + 2 будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)N+1 |
|||||||||
|xn − xm| = |
(−1)N+1 − (−1)N+2 |
= |
||||||||||||||||
= |
|
|
( |
− |
1) |
|
|
= 2 |
· |
|
( |
− |
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
N+1 |
|
|
|
|
|
|
|
N |
+1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
= 2 > |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 – |
|
|
|
|
|
|
Тогда при любом N N и
+ (−1)N+1 =
1 = ε.
Пример 1.8.4. Последовательность xn = 1 + 12 + · · · + n1 . Покажем, что и
эта последовательность не является фундаментальной, а поэтому расходится. По аналогии с предыдущим примером проверим, что выполняется условие отрицания
определения фундаментальности. Пусть ε = |
|
1 |
и m = 2k, n = k, где k произвольное |
||||||||||||||
4 |
|||||||||||||||||
натуральное число. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||||||
|x2k − xk| = |
|
+ · · · + |
|
|
|
> |
|
|
|
+ · · · + |
|
= |
|||||
k + 1 |
k + k |
k + k |
k + k |
||||||||||||||
|
|
= |
k |
= |
1 |
|
> |
1 |
. |
|
|
|
|||||
|
|
k + k |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
1.8.2. Теорема Вейерштрасса.
Определение 1.8.2. Последовательность называется
возрастающей, если для любого n N выполнено неравенство xn 6 xn+1; строго возрастающей, если для любого n N выполнено неравенство xn < xn+1; убывающей, если для любого n N выполнено неравенство xn > xn+1;
строго убывающей, если для любого n N выполнено неравенство xn > xn+1.
Последовательности этих четырех видов называются монотонными.
Иногда возрастающие последовательности называют неубывающими, строго возрастающие возрастающими, убывающие невозрастающими, а строго убывающие убывающими. Поэтому в случае непонимания нужно обращаться к определению.
Пример 1.8.5. Пусть x1 = 0; x2 = 0, α1; x3 = 0, α1α2; . . . ; xn = 0, α1α2 . . . αn−1;
. . . , где αi произвольная цифра. Легко видеть, что указанная последовательность
возрастающая.
Определение 1.8.3. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует число M такое, что n N xn < M. Аналогично определяется
последовательность, |
ограниченная снизу. |
|
|
|
|
||
Пример 1.8.6. Последовательность |
sin n |
|
ограничена сверху (M = 1, |
sin n |
< |
||
|
|
||||||
n |
n |
||||||
1). Она ограничена и снизу. |
|
|
|
|
|
||
Теорема |
1.8.2 |
(Вейерштрасс). |
Для |
того чтобы возрастающая |
последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.
Доказательство.
Необходимость. Так как любая сходящаяся последовательность ограничена, то она ограничена сверху.
Достаточность. Нужно доказать существование предела у возрастающей последовательности, ограниченной сверху. Обозначим эту последовательность {xn}. По условию xn 6 M для всех n N и для некоторого M. Тогда существует и точная верхняя граница этого множества B = sup{xn}. По определению точной верхней
n N
границы для любого ε > 0 найдется элемент xN {xn} такой, что B − ε < xN 6 B. Но так как последовательность {xn} возрастающая, то при любом n > N получим
B − ε < xN 6 xn 6 B, т.е.
|B − xn| = B − xn < ε.
– 30 –
Таким образом, доказано, что lim xn = B. |
|
|
|
2 |
||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
Заметим, что мы доказали: |
|
|
|
|
|
|
lim x |
n = |
sup x |
. |
|||
n |
→∞ |
n |
N{ |
n} |
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1.8.1. Аналогичную теорему можно сформулировать и доказать для убывающей последовательности, ограниченной снизу. В этом случае
lim xn = inf {xn}.
n→∞ n N
Замечание 1.8.2. Ограниченность сверху (снизу) возрастающей (убывающей) последовательности на самом деле, очевидно, равносильна ограниченности этой последовательности.
|
Пример 1.8.7. Доказать, что |
|
lim |
|
n |
= 0, если q > 1. Проверим сначала, что |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n→∞ qn |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
последовательность |
|
убывает. Действительно, если xn = |
|
|
и xn+1 = |
|
, то |
|||||||||||||||||||||||||||
qn |
qn |
qn+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
xn+1 |
= |
n + 1 |
, n N. Покажем, что |
n + 1 |
< 1, начиная с некоторого номера N. А |
||||||||||||||||||||||||||||
|
xn |
nq |
|
|
nq |
|||||||||||||||||||||||||||||
это будет означать, что с этого номера xn+1 < xn. Для этого убедимся, что предел |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
n + 1 |
< 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n→∞ n · q |
|
|
n→∞ |
n |
|
· |
|
q |
|
|
n→∞ |
n |
· n→∞ q |
= 1 · q |
= q |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
n→∞ n · q |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
|
n + 1 |
= lim |
n + 1 |
|
1 |
|
|
= lim |
n + 1 |
lim |
1 |
1 |
|
|
1 |
< |
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Таким образом, |
при n |
> |
N будем иметь xn+1 < |
xn, т.е. |
после |
члена |
xN |
наша последовательность монотонно убывает. Поскольку конечное число членов последовательности, как видно из определения предела, не влияет на сходимость последовательности и ее предел, то достаточно теперь найти предел убывающей
последовательности xN+1 > xN+2 > . . . |
|
|
|
n |
|
|||||||
Ограниченность снизу указанной последовательности очевидна: xn = |
> 0 для |
|||||||||||
qn |
||||||||||||
всех n N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Значит, по теореме 1.8.2 исследуемая последовательность имеет предел. |
|
|||||||||||
Осталось установить величину этого предела. |
|
|
||||||||||
Пусть lim xn = A. Рассмотрим уже известное равенство |
|
|
||||||||||
n→∞ |
|
|
xn+1 |
|
|
n + 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n · q |
|
|
||||
или |
|
|
xn |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n + 1 |
для всех n N. |
|
|
||||||||
xn+1 = |
|
|
|
· xn |
|
|
||||||
n |
· |
q |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдем к пределу при n → ∞ в этом соотношении. Предел левой части
lim xn+1 = A. Предел правой части |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n→∞ |
n→∞ |
n · q · |
n |
n→∞ n · q |
· |
n→∞ |
n = q |
· |
|
|||||||||
|
|
lim |
|
n + 1 |
x |
= lim |
|
n + 1 |
|
|
lim x |
1 |
|
A, |
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
отсюда A = |
|
· A, что возможно только при A = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
q |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Упражнение 1.8.1. Показать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
lim |
an |
= 0 |
для любого |
a. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
n→∞ n! |
– 31 – |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнение 1.8.2. Показать, что |
|
|
||
lim √ |
|
= 1. |
||
n |
||||
n |
|
|
||
n→∞ |
|
|
||
1.8.3. Число e. Пример 1.8.8. |
|
Доказать, что существует предел |
||
1 |
|
n |
||
последовательности {αn}, где αn = 1 + |
|
. |
||
n |
||||
Этот предел играет важнейшую роль в курсе математического анализа. |
Покажем, что последовательность {αn} возрастающая (даже строго возрастающая). Для этого вычислим αn и αn+1 по формуле бинома и сравним их:
α |
|
= |
1 + |
|
1 |
|
|
n |
= 1 + n |
1 |
|
+ |
n(n − 1) |
|
1 |
|
+ |
n(n − 1)(n − 2) |
|
1 |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 · 2 n2 |
|
|
|
1 · 2 · 3 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
1) . . . (n |
|
|
|
(n |
|
1)) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
+ · · · + |
|
( |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 + 1 + |
|
|
1 − |
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
· |
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
nn |
|
2! |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
+ |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
+ |
|
|
|
+ + |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
. . . 1 |
|
n − 1 |
|
; |
|||||||||||||||||||||||
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− n |
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! − n |
− |
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
αn+1 = 1 + 1 + |
1 |
|
1 − |
|
1 |
|
|
+ |
1 |
|
|
1 − |
|
1 |
|
|
|
1 − |
|
2 |
|
|
+ · · · |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2! |
n + 1 |
3! |
n + 1 |
n + 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
1 − |
|
. . . 1 − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(n + 1)! |
n + 1 |
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из полученных разложений для αn и αn+1 следует, что αn < αn+1. Действительно, слагаемые в разложении αn меньше соответствующих слагаемых
в разложении αn+1. Например, |
< |
3! · 1 − n + 1 |
· 1 − n + 1 . |
||||||||||||||||||||||||||
3! |
· 1 − n · |
1 − n |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||
К тому же количество слагаемых в разложении |
|
|
αn+1 |
|
на единицу больше, чем в |
||||||||||||||||||||||||
разложении αn. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, |
|
|
|
|
1 − n + |
3! · |
1 − n |
· |
1 − n |
+ · · · + nn < |
|||||||||||||||||||
αn = 2 + 2! · |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
< 2 + |
|
|
+ |
|
+ · · · + |
|
< 2 + |
|
+ |
|
|
+ · · · + |
|
< |
|||||||||||||
|
|
2! |
3! |
n! |
2 |
22 |
2n−1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
< 2 + 1 = 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. αn < 3 для всех n N.
На основании теоремы 1.8.2 предел последовательности αn существует. Его стандартное обозначение e. Оно равно e = 2, 718281828459045 . . .
– 32 –