komplexnum
.pdfА. А. КИРСАНОВ
КОМПЛЕКСНЫЕ
ЧИСЛА
ПСКОВ 2002
1
ББК 517.3 К435
Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского совета ПГПИ им. С.М. Кирова
Рецензент: Медведева И.Н., кандидат физ. мат. наук,
доцент кафедры алгебры и геометрии ПГПИ им. С.М. Кирова.
Кирсанов А.А.
К435 Комплексные числа. Псков: ПГПИ, 2002 - 28 с.
Учебно-методические рекомендации для самостоятельного изучения темы «Комплексные числа»
в курсе линейной алгебры.
К435
Издано в авторской редакции.
©Псковский государственный педагогический институт им. С.М. Кирова, 2002
(ПГПИ им. С.М.Кирова), 2002
©Кирсанов А.А., 2002
2
1. Понятие числового поля
Одним из простейших числовых множеств является мно-
жество натуральных чисел N :
N= {1,2,3,...}.
Внём всегда выполнимы два основных алгебраических действия: сложение и умножение.
Это означает, что для любых натуральных чисел m и n
m + n и m × n
есть снова натуральные числа.
При этом выполнены следующие аксиомы:
1.m + n = n + m - коммутативный закон сложения;
2.(m + n)+ l = m + (n + l) - ассоциативный закон сложения;
3. |
m × n = n × m - коммутативный закон умножения; |
|
4. |
(m × n)× l = m × (n × l) - |
ассоциативный закон умножения; |
5. |
(m + n)× l = m × l + n × l |
- дистрибутивный закон умножения |
относительно сложения.
Операции вычитания и деления на множестве натураль- ных чисел N в общем случае невыполнимы, так, например
3-5, 2-2, 4:7, 11:3
не являются натуральными числами.
Для выполнения действия вычитания множество натураль- ных чисел N расширяют до множества всех целых чисел Z :
Z = {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}.
Числовое множество в котором всегда выполнимы опера- ции сложения и умножения в соответствии с аксиомами 1-5, а также операция вычитания называется кольцом.
Таким образом множество всех целых чисел образует кольцо.
Для того, чтобы сделать выполнимой операцию деления следует
добавить к множеству всех целых чисел Z множество всех обыкновенных дробей вида
3
m
n , n ¹ 0 ,
где m и n - произвольные целые числа.
В результате такого расширения мы получили множество всех рациональных чисел Q .
Очевидно, что в таком множестве выполнены действия сло- жения, умножения, вычитания и деления при n ¹ 0 .
Множество чисел в котором всегда выполнимы действия сложения и умножения в соответствии с аксиомами 1-5, а также действия вычитания и деления при n ¹ 0 , называется полем рациональных чисел.
Заметим, что множество иррациональных чисел поля не образует, так как 2 × 2 = 2 , 2 - 2 = 0 не являются ирраци-
ональными числами.
Объединив множества рациональных и иррациональных чисел мы получим множество вещественных чисел R кото- рое образует поле вещественных чисел.
2. Комплексные числа
Полученное нами множество вещественных чисел R не по- зволяет нам извлекать корни из отрицательных чисел, напри-
мер, |
|
|
, |
|
, 4 |
|
и т.д. |
|
-1 |
- 2 |
-16 |
||||
|
В поле вещественных чисел R не разрешимы уравнения |
||||||
вида |
x2 + 1 = 0 , x4 + 16 = 0 и т.д. |
||||||
|
Перед математикой встала задача: расширить поле веще- |
ственных чисел R путём присоединения к нему новых чисел, таких, чтобы расширенное множество образовало числовое поле, в котором было бы всегда выполнимо действие извлече- ния корней.
Каким же должно быть это поле?
4
Во первых, оно должно содержать в себе поле веществен- ных чисел R . Далее, в этом поле должно быть решено урав-
нение
x2 = −1.
Число, квадрат которого равен -1, будем обозначать бук- вой i и назовём его мнимой единицей.
Итак,
i2 = −1 или −1 = i .
Так как новое множество должно быть полем, оно наряду с вещественным числом b и мнимой единицей i должно содер- жать их произведение bi , а также и сумму
a + bi ,
где a,b R , i - мнимая единица.
Число
z = a + bi
назовём комплексным числом и обозначим множество всех ком-
плексных чисел символом C .
Число a ÎR называется вещественной (действительной)
частью комплексного числа |
z |
и обозначается как |
|
|
a = Re z . |
|
|
Число bÎ R называется коэффициентом при мнимой еди- |
|||
нице и обозначается как |
|
|
|
|
b = Im z . |
|
|
Заметим, что 0 + bi = bi |
- |
мнимое число, |
а a + 0 × i = a - ве- |
щественное число. |
|
|
|
Два комплексных числа |
z1 = a1 + b1i и |
z2 = a2 + b2i будем |
считать равными, если равны их действительные части и коэф- фициенты при мнимой единице, т.е.
z1 = z2
если
5
a1 = a2 и b1 = b2 .
Для вещественных чисел мы можем установить понятие “больше” или “меньше”, например:
7 < 9 , 12 > 6 .
Для неравных комплексных чисел такое соотношение ус- тановить нельзя. Мы, например, не можем сказать в каком от-
ношении находятся два неравных комплексных числа
6 + 9i и 2 - 9i .
3. Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i
будем называть комплексное число
z = (a1 + a2 )+ (b1 + b2 )i . |
(1) |
Таким образом при сложении двух комплексных чисел надо сложить их действительные части и коэффициенты при мни- мой единице.
В области вещественных чисел имеется число “нуль”, та- кое, что
a + 0 = a .
В области комплексных чисел такую роль будет играть
0 + 0 × i .
(a + bi)+ (0 + 0i)= (a + 0)+ (b + 0)i = a + bi .
Комплексное число - a - bi будем называть противопо- ложным комплексному числу a + bi .
Примеры.
1)(2 + i)+ (5 + 6i)= (2 + 5)+ (1 + 6)i = 7 + 7i ,
2)(5 + 7i)+ (2 − 6i)= (5 + 2)+ (7 − 6)i = 7 + i ,
3)(6 − 4i)+ (−15 − 2i)= (6 −15)+ (− 4 − 2)i = −9 − 6i ,
6
4)(- 4i)+ (9)= (0 - 4i)+ (9 + 0i)= 9 - 4i .
5)Решить уравнение (5x + 3yi)+ (2y - xi)= 9 + 5i .
Сложив комплексные числа в левой части уравнения по-
лучим
(5x + 2y)+ (- x + 3y)i = 9 + 5i .
Два комплексных числа равны, если равны их действитель- ные части и коэффициенты при мнимой единице, т.е.
ì5x + 2y = 9,
íî- x + 3y = 5.
Нетрудно показать, что решением данной системы урав- нений будет x =1 и y = 2 .
Упражнения
Вычислить |
|
|
|
1) (3 + 6i)+ (- 3 - 5i), |
2) (2 + 3i)+ (5 - 3i), |
||
3) |
(− 9 − 4i)+ (− 2 − 3i), |
4) |
(− 3)+ (2i), |
5) |
(1 + 6i)+ (1 − 6i), |
6) |
(4 + i)+ (− 4 + i), |
7)(2x − 5yi)+ (3y + 2xi)=13 − i ,
8)7 (3x + 2yi)+ (2y − i)=19 + 3 .
4. Вычитание комплексных чисел
Разностью двух комплексных чисел
z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i
будем называть комплексное число
z = z1 − z2 = (a1 − a2 )+ (b1 − b2 )i .
7
Пример
1) (5 + 6i)- (3 + 7i)= (5 - 3)+ (6 - 7)i = 2 - i .
Упражнения |
|
Вычислить |
|
9) (2 + i)- (9 - i), |
10) (7 + 2i)- (7 + 3i), |
11) (3 + 5i)- (3 - 5i), |
12) (6i)- (6). |
5. Умножение комплексных чисел
Потребуем, чтобы умножение комплексных чисел
z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i
выполнялось по правилу умножения двучленов, т.е.
z= z1 × z2 = (a1 + b1i)× (a2 + b2i)=
=a1a2 + (a1b2 + b1a2 )i + b1b2i2 = i2 = -1 =
=(a1a2 - b1b2 )+ (a1b2 + b1a2 )i.
(a1 + b1i)× (a2 + b2i)= (a1a2 - b1b2 )+ (a1b2 + b1a2 )i. |
(2) |
Примеры
1)(2 + 3i)× (6 - 5i)= (2 × 6 - 3 × (- 5))+ (2 × (- 5)+ 3 × 6)= 27 + 8i ,
2)(1 + i)× (1 + i)=1 + i + i + i2 =1 + 2i -1 = 2i ,
3)(2 + 3i)× (2 - 3i)= 4 - 6i + 6i - 9i2 = 4 + 9 =13 .
4)Найти z если (2 - 3i)× z = -1 - 5i .
8
Пусть x = a + bi , тогда
(2 - 3i)× (a + bi)= (2a + 3b)+ (- 3a + 2b)i = -1 - 5i ,
что равносильно системе уравнений
ì2a + 3b = -1, íî- 3a + 2b = -5.
Решением данной системы уравнений будет a =1 , b = −1 , т.е.
z =1 − i .
Проверим полученное решение
(2 - 3i)× z = (2 - 3i)× (1 - i)= 2 - 2i - 3i + 3i2 = -1 - 5i .
Упражнения |
|
|
|
Вычислить |
|
|
|
13) |
(7 + 4i)2 , |
14) |
(5 + i)× (5 - i), |
15) |
(1 + i)3 , |
16) |
(6 + 4i)× (- 6 + 4i), |
17) |
z × (2 + i)=15 , |
18) |
(2 + 2i)× z = 8i . |
6. Деление комплексных чисел
Соотношение
z = z1 z2
будем понимать в смысле, что
z1 = z × z2 .
Пусть z = x + yi , z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i , тогда
z1 = z × z2 = (x + yi)× (a2 + b2i)= a1 + b1i .
В соответствии с (2) последнее выражение запишется так:
9
a1 + b1i = a2 x - b2 y + (a2 y + b2 x)i ,
что равносильно системе уравнений |
|
|||
ìa |
|
x - b y = a , |
|
|
í |
2 |
2 |
1 |
(*) |
îb2 x + a2 y = b1. |
|
|||
Умножив первое равенство (*) на |
a2 , а втрое - на b2 и сло- |
|||
жив их, получим: |
|
|
|
|
(a2 x - b2 y)a2 + (b2 x + a2 y)b2 = a22 x - a2b2 y + b22 x + a2b2 y =
= (a22 + b22 )x = a1a2 + b1b2.
Откуда
x = a1a2 + b1b2 .
a22 + b22
Умножив первое равенство (*) на b2 , а втрое - на a2 и выч- тя их, получим:
(a2 x - b2 y)b2 - (b2 x + a2 y)a2 = a2b2 x - b22 y - a2b2 x - a22 y =
(- a22 - b22 )y = a1b2 - b1a2.
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
b1a2 - a1b2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
+ b2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z = |
z1 |
= |
a1a2 + b1b2 |
+ |
b1a2 - a1b2 |
i . |
(3) |
|||||||||||||||||
z |
2 |
|
|
a2 + b2 |
|
|
a2 + b2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
Для каждого комплексного числа |
z = a + bi ¹ 0 + 0i |
опреде- |
||||||||||||||||||||||
лим обратное ему число |
z−1 , |
|
такое, |
что |
|
z × z−1 =1 + 0i =1. |
||||||||||||||||||
Используя (3) мы можем записать |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
z−1 = |
1 |
= |
|
1 + 0i |
= |
|
|
|
a |
|
|
|
- |
|
|
b |
|
|
i . |
(4) |
||||
|
z |
|
a + bi |
a |
2 |
+ b |
2 |
|
a |
2 |
+ b |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10