7.2.2 Устойчивость положения равновесия.

Не обращаясь к традиционному языку математики «(» , скажем, что положение равновесияназывается устойчивым по Ляпунову, если при достаточно малых начальных отклонениях и скоростях система не выйдет за пределы наперед заданной сколь угодно малой окрестности положения равновесия.

Теорема Лежен Дирихле об устойчивости.

Если в положении равновесия потенциальная энергия имеет строгий локальный минимум, то положение равновесия устойчиво по Ляпунову.

Кажется правдоподобным, что если в положении равновесия минимума (x) нет, то положение равновесия неустойчиво, но это в общем случае не доказано; существует множество частных теорем, из которых приведем теорему Ляпунова:

Если в положении равновесия потенциальная энергия не имеет строгого локального минимума, причем это обстоятельство видно из разложения энергии в ряд, в котором сохранены только члены второго порядка, то положение равновесия неустойчиво.

Если потенциальная энергия имеет вид квадратичной формы , то в случае ее положительной определенности положение равновесия устойчиво; если же нет – неустойчиво. Напомним, что квадратичная форма называется положительно определенной, если. Ясно, что положительно определенная форма имеет в точкестрогий локальный минимум и, в соответствии с теоремой Дирихле, положение равновесия устойчиво; в противном случае локального минимума нет и в соответствии с теоремой Ляпунова положение равновесия неустойчиво.

Из линейной алгебры известен критерий Сильвестра:

Необходимым и достаточным условием положительной определенности квадратичной формы является положительность главных диагональных миноров и определителя матрицы, составленной из ее коэффициентов (в данном случае матрицы жесткости )

.

7.2.3. Собственные частоты и формы малых колебаний.

Руководствуясь тем, что ожидаемое движение имеет колебательный характер, частное решение системы (3) (или (4) будем искать в виде

,. (5)

где вектор называется амплитудным вектором.

Подставляя (5) в систему (4), получим

, откуда

(6)

Чтобы однородная система (6) имела ненулевое решение , необходимо, чтобы определитель этой системы был равен нулю:

,или, раскрывая определитель по степеням получим так называемое частотное уравнениестепени относительно

(7)

где, в частности, коэффициенты .

Стандартным в линейной алгебре способом, опирающимся на симметрию матриц , можно показать, что все корничастотного уравнения вещественны, и, более того, если матрица жесткостиположительно определена (т.е. положение равновесия устойчивое), то корни положительные. В этом случаеn корней (c учетом их кратности) называются собственными частотами.

Ортогональность и линейная независимость форм колебаний.

Подставив простую, т.е. кратности «один», собственную частоту в систему (6), получим (n-1) уравнений для n элементов амплитудного вектора , поскольку при равенстве нулю определителя одно уравнение является линейной комбинацией остальных; поэтому из системы мы можем найти только отношения амплитуд к первой, например, амплитуде:

. (8)

Амплитудный вектор (8) , элементами которого являются отношения амплитуд, называется собственной формой колебаний. Колебания, описываемые выражением (5) при подстановке в него собственных частот и форм, называютсяглавными колебаниями.

Покажем, что собственные формы колебаний, соответствующие различным частотам, ортогональны « с весом» матрицы инерции А. Выпишем систему (6) для двух частот и

, (9)

.

Первую из систем (9) умножим слева на , а вторую наи вычтем:

Учитывая симметричность , получим:

откуда получаем ортогональность собственных форм « с весом А» или « в метрике А»: .

Заметим, что из ортогональности с весом из (9) следует и ортогональность с весом:

В случае частоты второй (для определенности) кратности равен нулю не только определитель системы (6), но и миноры порядка , т.е. имеетсяуравнений дляэлементов амплитудного вектора, поэтому он имеет вид

,

где - произвольное число. Это обстоятельство позволяет для частотывторой кратности построить две собственные формы ис числамиии найтииз условия ортогональности.

Из ортогональности форм следует их линейная независимость, то есть равенство

возможно тогда и только тогда, когда все . Действительно, умножив эту сумму на матрицуслева и потом на, получим с учетом ортогональности только одно слагаемое