7.1.1. Свободные колебания без сопротивления.

В отсутствии вязкого сопротивления и возмущающей силы уравнение (1) принимает вид . (2)

Общее решение этого уравнения – сумма , где постоянныеопределяются из начальных условий.

,и.

Последнее выражение можно записать в виде

,

где собственная частота ,амплитуда иначальная фаза колебаний определяются по формулам

, ,.

7.1.2. Вынужденные колебания без сопротивления при гармоническом воздействии. Резонанс.

На тело действует гармоническая сила с частотойи амплитудой.

Уравнение (1) принимает вид

(3)

Общее решение неоднородного уравнения складывается, как известно, из решения однородного уравнения (2) и частного решения, то есть любой функции, удовлетворяющей уравнению (3). В данном случае частное решение нетрудно угадать: . Подставляя его в (3), получим

.

Итак, общее решение . (3a).

Колебания с частотой вынуждающей силы называются чисто вынужденными колебаниями, поскольку при учете трения колебания с собственной частотой со временем затухают.

В данном случае вынужденные колебания - частное решение

.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты возмущающей силы (амплитудно- частотная характеристика (АЧХ)) представлена на рис.1.

При частоте возмущающей силы, равной собственной частоте, амплитуда колебаний стремится к бесконечности – это явление называют резонансом.

Решение при резонансе получим как предел общего решения (3a) при , найдя предварительно из начальных условий значения постоянныхB и D. Имеем:

,

и общее решение .

Вычисляя при помощи правила Лопиталя предел при , получим

Подчеркнутое слагаемое показывает рост размаха колебаний пропорционально времени (рис.2)..

7.1.3. Вынужденные колебания без сопротивления при произвольном воздействии. Интеграл Дюамеля.

Дифференциальное уравнение имеет вид

(4)

Частное решение можем найти методом вариации произвольных постоянных: решение ищется виде решения однородного уравнения, в котором коэффициенты являются неизвестными функциями времени

. (4a)

Дифференцируя это выражение, получим

Подчеркнутые слагаемые приравниваются нулю; это можно сделать, поскольку искомое частное решение представлено через две функции .

Дифференцируя еще раз и подставляя результат в уравнение (4), получим систему

,

откуда находим

и можем записать в виде

.

Подставляя в (4а) и вносяв подинтегральное выражение, получим

(5)

Интеграл (5) называется интегралом Дюамеля; его смысл выходит за рамки рассмотренной задачи.

В интеграле (5) - координата тела в актуальный момент временипри действии в момент единичного импульса, то есть импульса, сообщающего системе единичную скорость. Действительно, решение уравнения при начальных условияхимеет вид

. Поэтому (5) представляет собой суперпозицию движений линейной системы под действием элементарных импульсов силы .

В любой линейной задаче движение при произвольном воздействии и нулевых начальных условиях может быть найдено в виде

, (6)

где - реакция системы на единичный импульс.