Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ивановский Государственный Энергетический Университет им. В.И. Ленина

Предмет:

Спецглавы математики

Файл:

Лабораторная работа - Организация расчетов в системе Maple. Часть 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

2.44 Mб

Скачать

☆

1 / 151 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Ивановский государственный энергетический университет имени В. И. Ленина"

А. Р. Горнушкин, И. В. Тетеревков

Организация расчетов в системе Maple. Часть 2

Лабораторный практикум по курсу "Специальные главы математики"

Иваново 2014

УДК 622.69 Г 67

Горнушкин А. Р., Тетеревков И. В. Организация расчетов в систем Maple. Часть 2: Лабораторный практикум / ФГБОУВПО "Ивановский государственный энергетический университет имени В. И. Ленина". – Иваново,

2014. – 144 с.

В лабораторном практикуме рассмотрены вопросы орагинзации расчетов в системе Maple. Приведены основные форматы команд и функций Maple, предназначенных для расчета производных и интегралов, работы с матрицами, функциональными и тригонометрическими рядами, а также вопросы решения линейных, нелинейных и дифференциальных уравнений и их систем. Большое внимание уделено как аналитическим, так и численным способам получения решения.

Лабораторный практикум предназначен для студентов, обучающихся по направлению подготовки 140100 "Теплоэнергетика и теплотехника" (профиль "Автоматизация технологических процессов и производств").

Табл. 48. Библиогр.: 7 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета ФГБОУВПО "Ивановский государственный энергетический университет им. В. И. Ленина"

НАУЧНЫЙ РЕДАКТОР Е. Н. Бушуев

РЕЦЕНЗЕНТ С. Б. Плетников

Лабораторная работа № 9. ПРОИЗВОДНЫЕ

Цель работы

Изучение теоретических основ работы с производными, включая как аналитические, так и численные способы нахождения производных.

Получение навыков по работе с производными в программе Maple.

Создание собственных расчетных модулей для реализации численных методов нахождения производных.

Сравнение различных численных методов расчета производных с точки зрения их точности и сложности организации вычислений.

Функции Maple, полезные при выполнении лабораторной работы

Основной функцией для вычисления производ-

ных в программе Maple является функция "diff". Общий формат записи выглядит следующим образом:

diff (expr, var1, var2, … , var n);

Здесь "expr" – дифференцируемое выражение или имя функции, которая соответствует дифференцируемому выражению;

"var1", "var2", … , "var n" – набор переменных, по которым последовательно производится дифференцирование.

Отметим, что Maple не делает принципиальных раз-

личий между обычными производными и частными –

фактически любая производная воспринимается как частная. Поэтому для нахождения частной производнойf(x, y)/ x используется та же функция "diff".

Для нахождения производных высокого порядка или смешанных частных производных необходимо указать список переменных, по которым нужно продифференцировать исходное выражение. Следует понимать, что при наличии нескольких переменных, по которым производится дифференцирование, или при нахождении производных высокого порядка вычисления производных выполняются рекурсивно. Так, для вычисления смешанной производной f (x, y)/( x y) необходимо записать

"diff (f, x, y);", что эквивалентно "diff (diff (f, x), y);".

При нахождении производных высоких порядков использование оператора "$" (его необходимо поставить после имени переменной в вызове функции "diff", после чего указать порядок производной) позволяет записать вызов "diff" в более компактной форме.

При получении числового значения производной функции в заданной точке срабатывают все правила вычислений, принятые в Maple. Сначала необходимо получить выражение для производной, а затем подставить в это выражение требуемое значение переменной с помощью функции "subs". Иногда получаемый результат нужно упростить (функция "simplify") или дополнительно преобразовать в формат вещественного числа (функция "evalf").

Заметим, что Maple различает строчные и прописные буквы как при написании имен переменных и операторов, так и при вызове функций. В данном случае это проявляется следующим образом. Запись "Diff" вместо "diff" соответствует так называемой "инертной форме", которая является не вычисляемой, а позволяет отобразить некоторые специальные обозначения в создаваемом тексте.

Для вычисления производных можно также исполь-

зовать дифференциальный оператор "D (f)". При этом необходимо учитывать, что "f" нужно иметь в виде функ-

ции и при этом "f" – это фактически имя функции, в котором не может быть аргумента!

Дополнительные возможности, связанные с графи-

ческим представлением производной, дает применение функции "showtangent" пакета "student" (не забудьте его подключить с помощью функции "with"). Данная функция позволяет построить касательную к графику функции в заданной точке. Формат вызова выглядит следующим образом:

showtangent (f(x), value, <доп. опции>);

Здесь "f(x)" – функция, к которой строится касательная, "value" – абсцисса точки, в которой строится касательная к графику, <доп. опции> – дополнительные опции (необязательный

параметр), задающие параметры построения графика. Функция "implicitdiff" позволяет находить произ-

водную функции, заданной не прямым аналитическим выражением, а в виде некоторого уравнения (то есть в неявном виде). В простейшем случае формат вызова функции следующий:

implicitdiff (f, y, x);

здесь "f" – алгебраическое выражение или уравнение;

"у" – имя переменной, соответствующей дифференцируемой функции; "х" – имя переменной, по которой производится дифференцирование.

Задание на лабораторную работу

Аналитическое вычисление производных в Maple

1.Изучите необходимые теоретические сведения о нахождении производных [2, с. 7–13, 23–32].

2.Выберите вариант задания из табл. 9.1. Найдите первую и вторую производную для функций f1 – f4. При записи попытайтесь также воспользоваться инертной формой записи и применением дифференциального оператора. Постройте графики функций и найденных производных.

3.Выберите вариант задания из табл. 9.2. Найдите первые, вторые и смешанные частные производные заданных функций.

4.Для функций, приведенных в п. 2, найдите значения производных в точках х = 1,2 и х = 2, постройте касательные к графикам функций в заданных точках.

5.Выберите вариант задания из табл. 9.3. Найдите производную по переменной х для функций у, заданных в неявном виде.

6.Выберите вариант задания из табл. 9.4. Найдите производную dy/dx для функций, заданных параметрически.

Таблица 9.1. Задания к теме "Производные" (часть 1)

№

tg x 4ex

x2 1

x2 x3 1

4x2

xcos x

3x6

x3 1

x x4 2

5x3

sin x

4x5

x4 2

x3 x2 3

Продолжение табл. 9.1

№

6x4

cos x 2x

5x4

x5 3

x3 2

e2x

ctg x

6x3 1

x3 4

x x4 1

3x2

ctg x 2ex

x2 2

x4 1

4x3

sin 3x

2x4

x3 5

x x4 3

5x4

cos 2x

3x3 2

x2 4

x4 3

sin 3x 2x

2x2

x5 2

x3 5

ctg x 3ex

x2 1

x3 1

3x2

e4x

cos 2x

4x 1

x x4 1

x3 2

xsin x

3x6

x2 1

x x4 2

3x3

cos x

4x5

x4 2

x3 x2 3

4x4

sin 2x 3x

5x4

x3 2

x5 3

e3x

ctg 2x

6x3

x3 4

x x4 1

2x2

ctg x 3ex

x3 1

x2 2

Окончание табл. 9.1

№

xcos 2x

2x4 5

x5 3

x x4 3

3x4

sin 3x

3x3 2

x4 5

x2 4

4x2

cos 2x 3x

2x2 5

x3 5

x5 2

5x3

sin 3x

4x 1

x x4 1

x3 2

Таблица 9.2. Задания к теме "Производные" (часть 2)

№

Функции

U x

x y

; U(x; t) (x at)

10 x

2 y2

; 0.3e

;

U x y ln(x y);

U(x; t)

x2 a2t2

U x5x y ; U(x; t) (x 3at)6 ; 0, 4e9 x2 y2 ;

U x2 y tg(x y);

U(x; t)

a2 x2 3t3

U xx 4y ; U(x; t) (ax 4t)5; 0, 5e8 x2 y2 ;

U x y ctg(x y);

U(x; t)

a2 x3 2t

U x3x y ; U(x; t) (x 5t)4a ; 0, 6e7 x2 y2 ;

U x2 y2 sin(x y);

U(x; t)

a2 x4

x4 5t

U xx 2y ; U(x; t) (ax 6t)3; 0,7e6 x2 y2 ;

U x2 y cos(x y); U(x; t)

6t4a

№

Продолжение табл. 9.2

Функции

U xx 6y ; U(x; t) (ax 7t)7 ; 0,8e5 x2 y2 ;

U x2 y ln(x y); U(x; t) a4 x5 x2 7t3

U x5x y ; U(x; t) (ax 8t)6 ; 0, 9e4 x2 y2 ;

U x y tg(x y); U(x; t) at4 x3 8t2

U xx 4y ; U(x; t) (ax 9t)5; 1,1e3 x2 y2 ;

U x2 y2 ctg(x y);	U(x; t)	ax3
		x4 9t

U x3x y ; U(x; t) (ax 10t)4 ; 1, 2e2 x2 y2 ;

U x2 y sin(x y);	U(x; t)	at2
		x 3t	4

U xx 2y ; U(x; t) (ax 11t)3; 1, 3e1 x2 y2 ;

U x2 y sin(3x y); U(x; t) t2 a x 3t4

U x6x y ; U(x; t) (x 2at)8; 0, 3e10 x2 y2 ;

U x y ln(x y); U(x; t) ax5 x 4t4

U xx 5y ; U(x; t) (ax 3t)7 ; 0, 4e9 x2 y2 ;

U x2 y2 tg(2x y);	U(x; t)	t4	a
		x2 3t3

U x4x y ; U(x; t) (x 4at)6 ; 0, 5e8 x2 y2 ;

U x2 y ctg(x y);	U(x; t)	x3
		ax3 2t	2

№

Окончание табл. 9.2

Функции

U xx 3y ; U(x; t) (ax 5t)5; 0, 6e7 x2 2y2 ;

U x2 y sin(2x y);	U(x; t)	t2 a
		x4 5t

U x2x y ; U(x; t) (x 6at)4; 0, 7e6 x2 3y2 ;

U x y cos(5x y);	U(x; t)	x

		ax 6t	4
		ax 6t	4

U x6x 3y ; U(x; t) (ax 7t)8; 0,8e5 x2 2y2 ;

U x2 y2 ln(2x y);	U(x; t)	t5a
		x2 7t3

U xx 5y ; U(x; t) (ax 8t)7 ; 0, 9e4 x2 3y2 ;

U x2 y tg(5x y);	U(x; t)	x4
		ax3 8t	2

U y4x y ; U(x; t) (ax 9t)6 ; 1,1e3 x2 2y2 ;

U x2 y ctg(2x y);	U(x; t)	t3a
		x4 9t

U y3x y ; U(x; t) (ax 10t)5; 1, 2e2 x2 5y2 ;

U x y sin(8x y);

U(x; t)

ax 3t

U y

x 8y

; U(x; t) (ax 11t)

1 x2

12y2

; 1,3e

;

U x2 y2 cos(7x y);

U(x; t)

ax2 4t3

1 / 151 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Спецглавы математики