Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ивановский Государственный Энергетический Университет им. В.И. Ленина

Предмет:

Спецглавы математики

Файл:

Лабораторная работа - Организация расчетов в системе Maple. Часть 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

2.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Таблица 9.3. Задания к теме "Производные" (часть 3)

№

ax2 by2

(a b)2 ;

ax2 by3 (a b)2 ;

9 x8 8 y9 3 a2 ;

8 x7 9 y8 a;

y cos(2x y)

y cos(3x 2y)

ax3 by2

(a b)3;

ax3 by3 a b;

7 x6 6 y7 a;

6 x5 5 y6 a;

y sin(4x 3y)

y cos(5x 4y)

ax by3 (a b)3;

ax3 by a2 b3;

5 x4 4 y5 a;

7 x3 3 y7 a;

y sin(6x 5y)

y cos(7x 6y)

ax4 by2 a b3;

ax3 by a2 b3;

5 x2

y5 a;

4 x3 3 y4 a;

y sin(8x 7y)

y cos(9x 8y)

ax3 by2 a3 b2 ;

ax4 by a3 b;

3 x2

y3 a;

5 y3 a;

y sin(10x 9y)

y cos(11x 10y)

ax2 by2

(a b)3;

ax3 by2 (a b)3;

8 x9 9 y8 a;

9 x8 8 y7 a;

y sin(2x y)

y cos(3x 2y)

ax2 by3

(a b)2 ;

ax3 by3 (a b)2 ;

6 x7 7 y6 a;

5 x6 6 y5 a;

y sin(4x 3y)

y cos(5x 4y)

ax3 by a b;

ax by3 a3 b2 ;

4 x5 5 y4 a;

3 x7 7 y3 a;

y sin(6x 5y)

y cos(7x 6y)

Окончание табл. 9.3

№

ax2 by4 a b3;

ax4 by a2 b3;

x5 5 y2 a;

3 x4 4 y3 a;

y sin(8x 7y)

y cos(9x 8y)

ax4 by3 a3 b2 ;

ax by4 a b3;

x3 / 2 y2 / 3 a;

x3 / 5 y1/ 3 a;

y sin(10x 9y)

y cos(11x 10y)

Таблица 9.4. Задания к теме "Производные" (часть 4)

№

Функция

2cos

; y

1 t

y 5sin

x 4 cos t;

; y

3sin3 t

1 t

7sin

; y

4cos

1 t

5cos

; y

1 t

2sin

1 t

7 cos

; y

y 6sin

1 t

x 2 cos t;

5sin2 t

; y

1 t

7sin

; y

3cos t

1 t

4 cos

; y

3sin t

1 t

Окончание табл. 9.4

№

Функция

x sin

; y

y 5cos t

1 t

x 6 cos t;

; y

1 t4

y 5sin t

x 3sin

; y

y 8cos

1 t

9cos

; y

1 t

2sin

1 t

x 7 sin t;

y 3cos4 t

; y

1 t

x 6 cos

; y

y 5sin

x 3sin

; y

1 t

y 5cos

x 4 cos

; y

1 t

y 7 sin

1 t

x 5sin t;

y 2 cos3 t

; y

1 t

3cos

; y

y 2sin

1 t

x 5sin

; y

y 2 cos t

1 t

4 cos

; y

y 3sin t

1 t

Численное нахождение производных в Maple

1. Изучите необходимые теоретические сведения о численных способах оценки значений производных

[2, с. 14–22 и 33–40].

Выберите один из вариантов задания из табл. 9.5.

2.Получите аналитическое выражение первой и второй производной выбранной функции, рассчитайте их значение в заданной точке. Постройте график рассматриваемой функции и касательную к нему в заданной точке.

3.Реализуйте численный расчет первой производной в заданной точке х0 по формулам (1.15), (1.17), (1.18), (1.28) и (1.29) в [2]. При этом последовательно уменьшайте шаг численного дифференцирования, оцените погрешности для каждого метода и постройте зависимость этих погрешностей от шага численного дифференцирования. Для большей наглядности на одном графике представьте погрешности для расчетов с использованием формул (1.15), (1.17) и (1.18), на втором – с использованием (1.28) и (1.29), на третьем – (1.17) и (1.29). Постройте графики сравнительной эффективности метода центральных разностей по сравнению с методом левых разностей и методом с использованием формулы (1.29). Проанализируйте полученные зависимости, сделайте соответствующие выводы о точности методов.

4.Найдите значения шага расчета для каждого из 5 методов численного дифференцирования, дающие точность расчета первой производной, равную заданной (при этом предположите, что точное значение производной неизвестно).

5.Реализуйте численный расчет второй производной в заданной точке по формулам (1.19)–(1.21) из [2]. Проведите анализ, аналогичный действиям п. 3.

6.Найдите значения шага расчета для каждого из 3 методов численного дифференцирования, дающие погрешность расчета второй производной, равную заданной.

7.Оформите отчет по лабораторной работе.

Таблица 9.5. Задания к теме "Численное дифференцирование"

№			Функция f(x)											Заданная	Заданная
№			Функция f(x)											точка x0	точность
														точка x0	точность

1	2,5ln x 4 sin(2x 1)													1	0,1

2				2x2 6x 5										–1	0,2
2					5x2 x 1									–1	0,2
					5x2 x 1
3			cos x cos3 x											1,5	0,005 – для f '(x);
3							x		2					1,5	0,05 – для f ''(x)
									2						0,05 – для f ''(x)

4	sin2 x /(2 3cos2 x)													0,8	0,01
5		x ln x /(x 1)												3	0,001

6					(arctg x)ln x									2	0,001

7				1 x							1 x			0,2	0,001

							3x
							3x

8					x 3 x									4	0,1
8														4	0,1

					x 2
													3		0,01 – для f '(x);
9	2 4x 3												3	2

															0,001 – для f ''(x)
										x		3	x 1
												3

10				ecos x 3 2										1	0,1

11			ln sin(2x 5)											3,8	0,5 – для f '(x);
11			ln sin(2x 5)											3,8	5 – для f ''(x)
															5 – для f ''(x)
12							x	xx						1,8	0,5
							x
13							x3							–2	0,001 – для f '(x);
13						x2 1								–2	0,0001 – для f ''(x)
						x2 1									0,0001 – для f ''(x)

														Окончание табл. 9.5

№		Функция f(x)											Заданная	Заданная
№		Функция f(x)											точка x0	точность
													точка x0	точность
	x											0, 2
14	x	4 x2		2 arcsin								0, 2	1	0,001
14	2	4 x2		2 arcsin								x	1	0,001
	2											x
15		arctg				2x2							1,6	0,001
15		arctg			1		x4						1,6	0,001
					1		x4

16		ln sin				x tg					x			0,001

17		ln cos		2x 1						2			5 /6	0,001
17		ln cos			7					2			5 /6	0,001
					7
18		(sin x)						5ex					/4	0,001 – для f '(x);
		(sin x)												0,01 – для f ''(x)
														0,01 – для f ''(x)
19				2x									0,1	0,001 – для f '(x);
														0,001 – для f '(x);
														0,01 – для f ''(x)
			x		2		1
					2

20		arcsin						1					1,5	0,001 – для f '(x);
20		arcsin						x	2				1,5	0,01 – для f ''(x)
									2					0,01 – для f ''(x)

Примечание. В некоторых вариантах при получении комплексных значений при оценке производной советуем уменьшить начальный шаг дифференцирования.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте определение производной. Каков ее механический (физический) и геометрический смысл?

2.Какой класс функций шире: непрерывных в точке или дифференцируемых в этой же точке (поясните ответ с помощью примера)?

3.Как вывести формулы производных суммы, произведения и частного двух функций?

4.В чем состоит правило логарифмического дифференцирования?

5.В чем заключается правило дифференцирования сложных функций?

6.Что такое дифференциал функции?

7.Для каких точек графика функции ее дифференциал больше (или меньше) приращения?

8.Для каких функций дифференциал тождественно равен приращению?

9.На чем основано применение дифференциала в приближенных вычислениях?

10.В чем состоит определение производной и дифференциала высших порядков?

11.Каков механический смысл второй производ-

ной?

12.Как находятся первая и вторая производная функций, заданных параметрически?

13.В чем состоит определение возрастающей и убывающей на отрезке функций? Что является доста-

точным признаком возрастающих функций? Как показать, что функции у = ех и у = x + cos x возрастают в любом промежутке?

14.Каково определение точки экстремума функ-

ции?

15.В чем состоит правило для отыскания экстремумов функции? Является ли обращение в некоторой точке производной в ноль достаточным условием наличия экстремума (если нет, то подтвердите это с помощью примера)?

16.Может ли точка иметь экстремум в точке, где она недифференцируема (покажите на примере)?

17.Что такое выпуклость линии вверх/вниз?

18.Какая функция Maple предназначена для вычисления производных?

19.Есть ли разница между обычными и частными производными в системе Maple?

20.Как в Maple высчитать значение производной функции в заданной точке?

21.Как вызвать инертную форму для функции вычисления производной?

22.Как в Maple построит касательную к графику функции в заданной точке?

23.Как в Maple найти производную функции, заданной в неявном виде?

24.Какие формулы применяются для численного нахождения первых и вторых производных в Maple?

25.Как оценить точность численного дифференцирования?

26.В чем состоит основной подход при определении шага численного дифференцирования?

Лабораторная работа № 10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Цель работы

Изучение теоретических основ работы с интегралами, включая как аналитические, так и численные способы нахождения интегралов.

Получение навыков по работе с интегралами в программе Maple.

Создание собственных программных модулей для реализации численных методов расчета интегралов.

Сравнение различных численных методов расчета интегралов с точки зрения их точности и сложности организации вычислений.

Функции Maple, полезные при выполнении лабораторной работы

Стандартной функцией для вычисления определенных и неопределенных интегралов в Maple является функция "int". Формат этой функции для вычисления неопределенного интеграла:

int (expr, var);

Здесь "expr" – подынтегральное выражение или имя функции, описывающей это выражение;

"var" – имя переменной, по которой производится интегрирование.

Так же, как и при нахождении производных, при интегрировании может применяться инертная форма записи функции "int". Для этого нужно при вызове функции "int" записать ее с большой буквы. Применение инертной формы позволяет отобразить специальные символы. Пере-

ход от инертной формы к обычной можно выполнить с помощью функции "value".

Для вычисления определенного интеграла используется та же функция "int", но с другим форматом:

int (expr, var = a .. b, options);

В этом случае "a" и "b" соответствуют нижнему и верхнему пределам интегрирования, а "options" – набор необязательных опций.

В качестве пределов могут выступать не только конечные значения, но и бесконечности (в этом случае мы имеем дело с несобственными интегралами). Напомним,

что для обозначения бесконечности используется служебное слово "infinity" (при необходимости – с указанием знака).

Опция 'continuous' инструктирует функцию "int" не обращать внимание на разрывы в интегрируемой функции.

Опция 'CauchyPrincipalValue' заставляет функцию интегрирования рассматривать пределы слева и справа как два отдельных предела. В этом случае решение, которое до этого отсутствовало, может найтись.

Полезным для понимания процесса интегрирования может быть иллюстрация интегрирования "по частям",

получаемая с помощью функции "intparts" пакета "student" (не забудьте, что его при решении нужно подключать дополнительно с помощью оператора "with"). Формат функции:

intparts (expr, u);

здесь "expr" – выражение в форме Int (u · dv, x);

"u" – фактор в подынтегральном выражении, который должен быть продифференцирован для получения в ответе

v du .

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Спецглавы математики