- •А.А. Хусаинов н.Н. Михайлова дискретная математика
- •Введение
- •1. Множества и отношения
- •1.1. Способы задания множеств
- •1.2. Операции и их свойства
- •Предложение. Пусть u – множество. Тогда для любых его подмножеств a, b и c верны равенства:
- •1.3. Решение уравнений с неизвестным множеством
- •1.4. Перечисление подмножеств
- •1.5. Отношения и функции
- •Операции над бинарными отношениями. Бинарным отношением между элементами множеств a и b называется произвольное подмножество r ab. Запись aRb (при a a, b b ) означает, что (a,b) r .
- •Обозначим IdA через Id. Легко видеть, что имеет место следующее
- •Нижняя грань обозначается через . Двойственно, как наименьший элемент множества , определяетсяверхняя грань .
- •Лемма 1. Если конечное частично упорядоченное множество (X,) является нижней полурешеткой и имеет наибольший элемент, то оно будет решеткой.
- •Теорема 1. Пусть X – конечное множество. Множество отношений эквивалентности на X с отношением включения является решеткой.
- •1.7. Математическое моделирование баз данных
- •Определение 1. (1nf) Файл находится в первой нормальной форме, если для него задано некоторое положительное целое число n и последовательность множеств (a1, , An) таких, что
- •Определение 2.
- •Определение 3. (2nf) Файл с первичным ключом находится во второй нормальной форме, если он находится в первой нормальной форме, и для любого атрибут Ak функционально полно зависит от атрибутов .
- •Третья нормальная форма
- •2. Комбинаторика
- •2.1. Размещения
- •2.2. Сочетания
- •Теорема 2. Число сочетаний из n по k равно .
- •Пример 2. Число неубывающих сюръекций n 1 равно .
- •Лемма 1. Пусть - число сочетаний с повторениями изn по k. Тогда равно числу неубывающих функций{1,2, , n-1} {0,1,2, , n}
- •Теорема 7. .
- •Следствие 1. Равно числу неубывающих функций
- •Формула включения и исключения Перечисление элементов объединения подмножеств. Обобщим формулу
- •Теорема 1. (Формула включения-исключения)
- •Теорема 2.
- •2.4. Разбиения
- •Лемма 1. .
- •Теорема 1.
- •Пример 2. Число s(4,2) равно 7, ибо все разбиения множества {1,2,3,4, 5, 6, 7} на два блока исчерпываются следующими:
- •Теорема 2. Имеют место следующие свойства чисел Стирлинга второго рода:
- •Теорема 3. ,n 0 .
- •2.5. Упражнения
- •Упорядоченные разбиения
- •Формула включения и исключения
- •Неупорядоченные разбиения
- •3. Производящие функции
- •3.1. Свойства производящих функций
- •3.2. Разбиения чисел
- •Лемма 1. Число разбиений p(n) равно количеству решений
- •Замечание. Частное от деления любых двух многочленов является производящей функцией некоторой возвратной последовательности, порядок которой равен степени знаменателя.
- •Получаем . Следующий шаг – разложение знаменателяK(X) в произведение (1 1x) (1 2x). В данном случае это можно сделать с помощью формулы Виеты. Поскольку имеют место равенства
- •3.5. Упражнения Свойства производящих функций
- •Решение рекуррентных уравнений
- •4.1. Эйлеровы графы
- •Теорема 1. Граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда нечетную степень имеют не более двух вершин.
- •4.2. Простые графы и их свойства
- •Замечание. Теорема Эйлера имеет место и для графов, не являющихся простыми.
- •4.3. Хроматическое число и хроматическая функция графа
- •Теорема 1. Следующие свойства графа равносильны
- •Теорема 3. Хроматическая функция f (q) конечного графа с n вершинами является многочленом степени не более, чем n.
- •Число последовательностей из n-2чисел принадлежащих множеству{1, 2, ∙ ∙ ∙, n}равноnn-2, значит число нумерованных деревьев равноnn-2.
- •Для всякого элемента aa слово a есть терм;
- •В нормальной форме Бэкуса-Наура определение будет следующим:
- •Теорема 1. Числа Каталана равны .
- •4.6. Плоские графы Эйлерова характеристика. Двумерной клеткой мы будем называть часть поверхности, ограниченную некоторым криволинейным многоугольником.
- •Графы Куратовского. Далее мы рассмотрим следующие две задачи.
- •Следствие 1. Граф k5 не плоский.
- •Следствие 2. Граф k3,3 не плоский.
- •Лемма 2. Пусть (V,e) – плоский конечный граф. Тогда существует вершина VV такая, что d(V) 5. Здесь d(V) – степень вершины V.
- •Теорема 4. Для плоского связного графа существует правильная раскраска вершин в 5 цветов.
- •Теорема 5. Пусть p – число вершин, q – число ребер, r – число граней правильного многогранника. Тогда возможен один из следующих случаев, рассмотренных в таблице 4.1.
- •4.7. Упражнения Свойства графов
- •Хроматическое число и хроматическая функция графа
- •20.Найти хроматическую функцию графа An , приведенного на рис. 4.16.
- •Деревья
- •5. Конечные частично упорядоченные множества
- •5.1. Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества
- •Пример 1. На рис. 5.1 показана диаграмма Хассе множества p({0,1,2}) подмножеств множества {0,1,2}, упорядоченное отношением .
- •5.2. Функция Мебиуса
- •Определение 1. Функцией Мебиуса : XXz называется функция, определенная по формуле
- •5.3. Формула обращения
- •5.5. Упражнения Диаграмма Хассе
- •Функция Мебиуса
- •Расчетно-графическое задание
- •Пример решения задачи 1
- •Контрольная работа
- •Варианты заданий
- •Примеры решения задачи 1
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 2
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 3
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 4
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 5
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 6
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 7
- •Экзаменационные вопросы и задачи Вопросы
- •Литература
- •Содержание
1. Множества и отношения
Эта глава посвящена операциям над множествами, перечислительным задачам, отношениям и их приложениям.
Множеством называется совокупность некоторых объектовx, которая рассматривается как отдельный объектA. Объектыxназываются его элементами. ЗаписьxAбудет означать в дальнейшем, чтоx– элемент множестваA.
Ниже мы будем применять следующие стандартные обозначения:
N– множество неотрицательных целых чисел0, 1, 2, 3, …,
Z– множество целых чисел,
Q– множество рациональных чисел, гдеm– целое число, аn– положительное целое число,
R– множество вещественных чисел,
C– множество комплексных чисел.
Для знакомства с отношениями и их приложениями рекомендуем книгу [1]. Лучше всего связь отношений с базами данных описана в [8].
1.1. Способы задания множеств
Пусть AиB– множества. МножествоAназываетсяподмножествоммножестваB, если каждый элементxмножестваAявляется элементом множестваB. В этом случае применяется обозначениеAB.
Множество можно задавать перечислением его элементов, или как подмножество элементов, обладающих некоторым свойством, или как образ некоторого множества относительно отображения:
M = { a1 , a2 , ∙∙∙ , ak }, нет равных элементов ai и aj ,при i ≠ j.
M = { x A: P(x) },где P(x) – некоторое свойство, выполнение которого зависит от элемента x множества A.
M = { f (x): x A },где A – множество.
Свойство P(x) может быть получено из простейших формул вида u =v иu vс помощью логических операций: & (и), (или), ~ (не), (следует) и кванторов (для всех), (существует). Например, свойство P(x) , выраженное формулой
P(x) = (x Z) & (x>0) & (y)((y Z)& (x=y+y)),
имеет место, если и только если x – положительное целое число, кратное 2. В этом случае M = { x Z: P(x) } будет множеством, состоящим из чисел 2, 4, 6, 8, … .
1.2. Операции и их свойства
Будем предполагать, что рассматриваемые далее множества A,B,C, …,Ai,I, над которыми выполняются операции, являются подмножествами некоторого множестваU, которое называетсяуниверсумом. Ниже через{x: P(x)}будет обозначать множество элементовxU, удовлетворяющих условиюP(x).
Определим операции с помощью следующих формул:
AB={x: xA & xB} называется пересечением множеств A и B,
AB={x: xA xB} – объединением,
A\B={x: xA & ~(xB)} – теоретико-множественной разностью множеств,
AB= A\B B\A – симметрической разностью,
=U\A – дополнениеммножества A,
Ai ={x :(iI)xAi} -- объединением семейства множеств,
пересечение семейства множеств Ai ={x:(iI) xAi} ,
Через |A| будем обозначать количество элементов конечного множества.
Предложение. Пусть u – множество. Тогда для любых его подмножеств a, b и c верны равенства:
AB=BA, AB= BA, (коммутативность).
A( BC) = (A B)C, A(BC)=(AB)C, (ассоциативность).
A(AB) = A(AB)= A (закон поглощения).
A(BC) = (AB)(AC),
A(BC) = (AB)(AC) (дистрибутивность).
, .
AA=A, AA=A.
AU=U, A=.
A=A, AU=A.
.
,(законы де Моргана).
Доказательство. Докажем, например, первое из свойств дистрибутивности (равенство 4). Для этой цели нужно доказать, что левая часть равенства содержится в правой, и наоборот. Пусть x A(BC). ТогдаxAиx BC. И значит(xA и x B)или(xA и xC). Следовательноx(AB)(AC).
Эти свойства иллюстрируются с помощью показанных на рис.1.1 диаграмм Эйлера-Венна. Точки прямоугольников соответствуют элементам универсума U. Точки кругов – подмножествамA, B, C. Слева элементы множествBиCзаштрихованы вертикальными линиями. Отсюда область, заштрихованная вертикальными линиями будет соответствовать объединениюBC. Элементы изAзаштрихованы горизонтальными линиями. Следовательно, областьA(BC)будет заштрихована в клетку. Справа областьBзаштрихована косыми линиями, а областьA– горизонтальными. ОбластьABбудет заштрихована косыми и вертикальными. Аналогичное верно для областиAC. Из рис.1.1 видно, что область, показанная слева и заштрихованная горизонтальными и вертикальными линиями равна области, показанной справа, заштрихованной косыми и горизонтальными линиями. Значит, соответствующие множестваA(BC)и(AB)(AC)равны.
B C
A
B C
A
Рис. 1.1. Диаграммы Эйлера-Венна