2. Динамика вращательного движения материальной точки и твердого тела Краткая теория

Эффективность воздействия силы на тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, определяется векторным произведением:

, (2.1)

где - радиус-вектор точки приложения силы, - момент силы относительно оси вращения (рис. 2.1). На рис. 2.1. ось вращения проходит через точку О перпендикулярно плоскости рисунка. Модуль момента силы можно представить в виде:

,

где -плечо силы относительно точки О (т. е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила). Рисунок 2.1 выполнен в предположении, что точка О, относительно которой берется момент силы , и векторлежат в плоскости рисунка. Векторперпендикулярен к плоскости рисунка и направлен от нас.

Для отдельно взятой частицы момент импульса относительно точки О (рис. 2.2) определяется векторным произведением:

, (2.2)

где - импульс частицы. Модуль вектора момента импульса можно представить в виде:

г

O

де- длина перпендикуляра, опущенного из точкиО на прямую, вдоль которой направлен импульс частицы. Эта длина называется плечом импульса относительно точки О.

l

Р

2.1

Рис.2.2. Наглядное изображение момента импульса частицы массойm относительно точки О

исунок 2.2. выполнен в предположении, что точкаО, относительно которой берется момент импульса , и векторлежат в плоскости рисунка. Векторперпендикулярен к плоскости рисунка и направлен от нас.

Момент инерции J материальной точки относительно оси вращения равен произведению m массы точки на квадрат расстояния r от этой точки до оси вращения:

. (2.3)

Момент инерции твердого тела относительно неподвижной оси называется физическая величина, характеризующая способность данного тела запасать количество вращательного движения (т. е. момента импульса ):

, (2.4)

где w- угловая скорость. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения зависит от распределения массы данного тела вокруг выбранной оси и может быть рассчитан по формуле:

,

где r_i – расстояние элемента массы от оси вращения. То же в интегральной форме:

.

Если тело однородно, т. е. его плотность одинакова по всему объемуV, то:

. (2.5)

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

Тело	Ось, относительно которой определяется момент инерции	Формула момента инерции
Однородный тонкий стержень массой m и длиной l	Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню
	Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню
Тонкие кольцо, обруч, труба радиусом R и массой m	Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания
Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой m	Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания
Однородный шар массой m и радиуса R	Проходит через центр шара

Теорема Штейнера. Момент инерции J тела относительно произвольной оси:

, (2.6)

где J₀ – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси; - расстояние между осями;m – масса тела.

При вращении вокруг закрепленной оси выполняются законы, аналогичные первому и второму законам Ньютона для прямолинейного движения.

Первый закон Ньютона для вращательного движения: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного вращения c постоянной угловой скоростью если равнодействующая всех моментов сил, действующих на тело, равна нулю:

():. (2.7)

Второй закон Ньютона для вращательного движения: под действием момента внешних сил тело приобретает угловое ускорение

, (2.8)

Основное уравнение динамики вращательного движения для изолированной материальной точки:

, (2.9)

где - результирующий момент внешних сил, действующих на материальную точку, - момент импульса материальной точки.

Разбив тело на элементарные массы m_i, можно представить его как систему материальных точек, взаимное расположение которых остается неизменным. Любая из этих элементарных масс может находиться под воздействием как внутренних сил, обусловленных ее взаимодействием с другими элементарными массами рассматриваемого тела, так и внешних сил. Тогда основное уравнение динамики вращательного движения для материальной точки, входящей в систему точек имеет вид:

, (2.10)

где - результирующий момент внешних сил, действующих на-ю точку системы;- момент внутренних сил, действующих со стороны-ой точки на-ю;n - число точек в системе; -момент импульсаi-ой точки, входящей в состав системы.

Основное уравнение динамики вращательного движения системы материальных точек:

, (2.11)

где =главный момент внешних сил, действующих на систему материальных точек, = -момент импульса системы точек.

Частный случай системы материальных точек – твердое тело. Для твердого тела расстояние между точками не изменяется. Поэтому уравнение (2.11) справедливо и для твердого тела. В последнем случае есть момент импульса тела, - сумма моментов внешних сил, действующих на тело.

ТАБЛИЦА АНАЛОГИЙ

ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ	ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ