3114

б) Событие A2 : 70 ≤ m ≤ 80 . Используем интегральную теорему Лапласа (4.3):

По таблице значений функции Ф(х) (см. приложение 2) находим

Ф(х1 ) = Ф(−0,745) = −Ф(0,745) ≈ −0,2719 , Ф(х2 ) = Ф(2,98) ≈ 0,4986 . P(A2 ) = P80 (70,80) ≈ 0,4986 − (−0,2719) ≈ 0,770.

Ответ: P(A1) ≈ 0,113, P(A2 ) ≈ 0,770.

61

II.СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

5.Общие законы распределения случайной величины

Определение: Величину X называют случайной, если в результате испытания она примет то или иное возможное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин. Случайные величины бывают дискретные и непрерывные.

Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют такую величину,

множество возможных значений которой либо конечно, либо бесконечно, но счетное.

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют такую случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала.

Законом распределения ДСВ Х называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Как правило, он задается в виде таблицы:

n

где ∑ pi = 1

i=1

Если множество возможны значений ДСВ Х бесконечно (счетно), то

n

ряд∑ pi сходится и его сумма равна 1.

i=1

Закон распределения в виде таблицы нельзя построить для НСВ Х. С целью иметь единый способ описания поведения СВ любого характера вводят понятие о функции распределения вероятности СВ F(x) .

Функцией распределения вероятностей называют функцию F(x) ,

определяющую для каждого значения х вероятность того, что СВ Х примет значение, меньше х:

F(x) = P(X < x) , где − ∞ < x < ∞ .

Свойства функции распределения:

1.0 < F(x) < 1,

2.F(x2 ) ≥ F(x1 ) , если x2 ≥ x1 ,

3.P(α < x < β ) = F(β ) − F(α ) ,

Для ДСВ график функции F(x) является разрывной случайной функцией.

Производную от функции распределения НСВ Х называют плотностью вероятности СВ Х и обозначают f (x).

f (x) = F ' (x)

62

График плотности вероятности называется кривой распределения СВ. Свойства функции плотности вероятностей:

1. f (x) ≥ 0 (неотрицательная функция),

+∞

2. ∫ f (x)dx = 1,

−∞

β

3. P(α < x < β ) = ∫ f (x)dx ,

α

x

4. F(x) = ∫ f (x)dx .

−∞

6. Основные числовые характеристики случайной величины

Важнейшими числовыми характеристиками СВ Х являются:

а) Математическое ожидание М(X ) – некоторое среднее значение СВ, вокруг которого группируются ее возможные значения;

б) Дисперсия D(X ) - математическое ожидание квадрата отклонения СВ Х от ее математического ожидания (характеризует рассеяние (разброс) значений СВ около ее математического ожидания);

в) Среднеквадратическое отклонение σ (X ) , имеет размерность СВ и

определяет среднеквадратичный интервал рассеивания, симметричный относительно М(X ) .

Таблица формул для вычисления этих числовых характеристик СВ Х

Свойства математического ожидания:

1.M (C) = C , C -const,

2.M (CX ) = C M (X ) ,

63

3.M (X ± Y ) = M (X ) ± M (Y ) ,

4.M (XY ) = M (X ) M (Y )

где х и y независимые случайные величины.

Свойства дисперсии:

1.D(X ) = 0 ,

2.D(СX ) = С2 D(X ) ,

3.D(X ± Y ) = D(X ) + D(Y ) .

Существует так же ряд других характеристик СВ Х:

а) Начальный момент.

Начальным моментом порядка к СВ Х называется математическое ожидание величины X К .

n

Для ДСВ ν К = М(X К ) , находится по формуле ν К = ∑ хК рi .

i=1

+∞

Для НСВ ν К = ∫ xK f (x)dx .

−∞

б) Центральный момент.

Центральным моментом порядка К СВ Х называется математическое ожидание к-й степени отклонения СВ Х от ее математического ожидания.

μК = М[Х − М(X )]К

n

Для ДСВ μК = ∑(xi − M (X ))K pi .

i =1

Для НСВ μ К = +∞∫ (xi − M (x))K f (x)dx

−∞

или μ2 = ν 2 −ν12 ,

μ3 = ν 3 − 3ν 2ν1 + 2ν13 ,

μ4 = ν 4 − 4ν 3ν 1 + 6ν 2ν12 − 3ν 14 .

в) Асимметрия.

Асимметрией (скошенностью) теоретического распределения называется отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения

AS = μ3

σ 3

(служит для характеристики рассеяния).

г) Эксцесс.

Эксцессом (крутизной) теоретического распределения называется величина,

определяемая равенством

ЕК = σμ44 − 3

(служит для характеристики крутости).

64

7. Основные законы распределения случайной величины

Примеры дискретных распределений СВ

1. Биноминальное распределение.

ДСВ Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностью: Pn (m) = Cnm pmqn−m , где p + q = 1 - называется распределением по

биноминальному закону.

Ряд распределения СВ Х будет иметь вид:

M (X ) = np , D(X ) = npq .

2. Распределение Пуассона.

ДСВ Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения с

M (X ) = D(X ) = λ .

Примеры непрерывных распределений СВ

1. Нормальное распределение.

Одно из наиболее часто встречающихся распределение НСВ Х.

НСВ Х имеет нормальное распределение, если плотность распределения вероятности f (x) имеет вид

где a = M (X ) , σ = D(X ) .

2. Показательное (экспоненциальное) распределение – широко применяется в теории массового обслуживания и теории надежности.

Плотность вероятности этого закона имеет вид

0, x < 0

Функция распределения

65

= 1− e−λx , x ≥ 0

F(x)

0, x < 0

M (X ) = λ1 , D(X ) = λ12 .

3. Равномерное распределение.

НСВ Х распределена по равномерному (прямоугольному) закону, если все значения ее лежат внутри некоторого интервала и равновероятный (обладают одной плотностью вероятности)

8. Система двух случайных величин

Двумерную случайную величину обозначают через (X ;Y ) , каждая

величина X и Y называется компонентой (составляющей). Обе величина X и Y , рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Закон распределения двумерной случайной величины обычно задается в виде таблицы.

66

m n .

∑ ∑ pij = 1

i=1 j−1

Корреляционным моментом СВ Х и Y (или ковариацией) называется

математическое ожидание произведений их отклонений.

μ xy = M {[X − M (X )][Y − M (Y )]}

или

μ xy = M (XY )− M (X ) M (Y ).

Для непосредственного вычисления используется формула:

n m

μ xy = ∑∑ xi y j pij − M (X ) M (Y ).

i=1 j =1

Корреляционный момент двух независимых случайных величин Х и Y равен 0.

Коэффициентом корреляции СВ Х и Y называется отношение их корреляционного момента к произведению средних квадратичных отклонений этих величин.

Линейная регрессия

Пусть (X ;Y ) двумерная СВ, где Х и Y – зависимые случайные величины.

Оказывается возможным приближенное представление величины Y в виде линейной функции величины X :

АЗ – 2.1

1. В экзаменационном билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна – 0,8; второй – 0,7; третьей – 0,9. составить закон распределения правильно решенных задач в билете. Построить многоугольник распределения. Найти M (X ) , D(X ) , σ (X ) .

Ответ: M (X ) = 2,4 .

2. Устройство состоит из трех независимых работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Найти F(x) и

построить график.

3.В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 4 детали. Составить закон распределения ДСВ Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти M (X ) , D(X ) . Построить F(x) .

4.Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины х:

Найти интегральную функцию F(x) , построить f (x) и F(x) .

8. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Найти центральные моменты μ3 и μ4 .

Ответ: μ3 = −0,12 , μ4 = 1,33.

10.Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х. распределенной равномерно в интервале (2;8).

Ответ: M (X ) = 5 , D(X ) = 3

11.Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и

2.Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение,

заключенное в интервале (12;14).

Ответ: Р(12 < x < 14) = 0,1359 .

12.Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному

попадает в интервал (0,13;0,7).

Ответ: Р(0,13 < x < 0,7) = 0,555.

13.Длительность времени безотказной работы элемента имеет

Ответ: а) А – событие отказа элемента: Р(А) = 0,394 ; б) А - элемент не откажет: Р(А) = 1− Р(А) .

69

Работа 5

Задание 1.

1.Из ящика с шестью деталями, из которых четыре стандартные, наудачу извлечены три детали. Составить закон распределения случайной величины X – числа стандартных деталей среди извлеченных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

2.Вероятность выигрыша на один лотерейный билет 0,2. Определить закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – количество выигрышей из 3-х лотерейных билетов.

3.В урне 8 белых и 5 чёрных шаров. Из урны случайным образом извлекают 2 шара. Составить ряд распределения случайного события Х- количество белых шаров в паре шаров, извлечённых из урны. Найти математическое ожидание и дисперсию.

4.Трижды подбрасывается монета. Случайная величина Х – число выпавших гербов. Составить закон распределения данной случайной величины, найти математическое ожидание и дисперсию Х.

5.Среди изготовляемых рабочим деталей в среднем 3% брака. Случайная величина Х – число бракованных деталей среди пяти деталей. Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

6.Из урны, содержащей 2 белых и 4 чёрных шара, случайным образом достают 3. Случайная величина Х – число белых шаров в выборке. Составить закон распределения случайной величины, найти математическое ожидание и дисперсию.

7.Стрелок производит по мишени 3 выстрела. Вероятность попадания 0,4. Случайная величина Х – число попаданий при трёх выстрелах. Составить закон распределения СВ, найти математическое ожидание и дисперсию.

8.Составить закон распределения случайной величины Х – число выигрышных билетов среди 4-х взятых из 10 билетов, если там два выигрышных. Найти математическое ожидание и дисперсию.

9.Производится стрельба по удаляющейся цели из орудия. При первом выстреле вероятность попадания равна 0,8; при втором 0,4. Случайная величина Х – число попаданий в цель при двух выстрелах. Составить закон распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

10.Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 4 библиотеки. Найти математическое ожидание

идисперсию.

11.В урне лежат 15 шаров, из них 5 белых. Из урны вынимают наудачу 4 шара. Составить закон распределения случайной величины Х – число вынутых белых шаров. Найти математическое ожидание и дисперсию.

12.Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,6. Производится 4 выстрела. Составить закон распределения числа попаданий. Найти математическое ожидание, дисперсию.

70