3114

6.В первом ящике из 20 деталей 4 бракованных, во втором из 30 деталей 5 бракованных. Из первого во второй переложили две детали. Найти вероятность того, что деталь, извлеченная после этого из второго ящика, бракованная.

7.Стрелковое отделение получило 10 винтовок, из которых 8 пристрелянных, две нет. Вероятность попадания в цель из пристрелянной винтовки равна 0,6, а из не пристрелянной 0,4. 1) Какова вероятность, что стрелок из наудачу взятой винтовки попадет в цель при одном выстреле? 2) Стрелок поразил цель. Какова вероятность, что он стрелял из пристрелянной винтовки?

8.Для посева заготовлены семена 4 сортов пшеницы. Причем 20% всех семян 1-го сорта, 30% - 2-го сорта, 10% - 3-го сорта и 40% - 4-го сорта. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 40 зерен, для первого сорта равна 0,5, для второго - 0,3, для третьего – 0,2, для четвертого

-0,1. Найти вероятность того, что наудачу взятое зерно даст колос, содержащий не менее 40 зерен.

9.Из 25 студентов группы 5 студентов знают все 30 вопросов программы, 10 студентов выучили по 25 вопросов, 7 студентов — по 20 вопросов, трое — по 10 вопросов. Случайно вызванный студент ответил на два заданных вопроса. Какова вероятность, что он из тех трех студентов, которые подготовили только по 10 вопросов?

10.Запасная деталь может находиться в одной из трех партий с

вероятностями p1 = 0,2 , p2 = 0,5 , p3 = 0,3. Вероятности того, что деталь

проработает положенное время без ремонта, равны соответственно 0,9; 0,8 и 0,7. Определить вероятность того, что: а) взятая наудачу деталь проработает положенное время; б) деталь, проработавшая. Положенное время, взята из второй партии.

11.Имеются 2 урны. В первой 4 белых и 6 черных шара, во второй - по 2 белых и 3 черных шара. Случайно выбирается урна, и из нее извлекается шар. Какова вероятность того, что была выбрана первая урна, если извлеченный шар оказался белым?

12.В первой бригаде производится в три раза больше продукции, чем во второй. Вероятность того, что производимая продукция окажется стандартной для первой бригады, равна 0,7, для второй-0,8. Определите вероятность того, что взятая наугад единица продукции будет стандартной. Взятая наугад единица продукции оказалась стандартной. Какова вероятность, что она из второй бригады?

13.Покупатель с равной вероятностью посещает 3 магазина. Вероятность того, что он купит товар в первом магазине, равна 0,4, во втором – 0,3, в третьем – 0,2. Определить вероятность того, что покупатель купил товар. Какова вероятность, что это был второй магазин?

14.Вероятность того, что клиент банка не вернет займ в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса - 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического

41

роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

15.Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию

встране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени как 0,15, 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,6, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,3, когда ситуация «посредственная», и с вероятностью 0,1, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния изменился. Какова вероятность того, что экономика страны на подъеме?

16.На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 5; 4; 2%: а) какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный; б) случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведён первой машиной?

17.Руководитель компании решил воспользоваться услугами двух из трех транспортных фирм. Вероятность несвоевременной доставки груза для первой, второй, и третьей фирмы равна соответственно 0,05; 0,1 и 0,07. Сопоставив эти данные с данными о безопасности грузоперевозок, руководитель пришел к выводу о равно значимости выбора, и решил сделать его по жребию. Найти вероятность того, что отправленный груз будет доставлен своевременно.

18.На складе телевизионного ателье имеется 70% кинескопов, изготовленных заводом №1, остальные кинескопы изготовлены заводом №2. Вероятность того, что кинескоп не выйдет из строя в течение гарантийного срока службы, равна 0,8 для кинескопа завода №1 и 0,7 для кинескопа завода №2. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

19.На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй - 46% и третьей - 34%. Известно также, что средний процент нестандартных изделий для 1-й фабрики равен 5%, для 2-й - 2% и для 3-й - 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось стандартным.

20.В магазин поступают лампочки, изготовленные на 3 заводах. С первого завода поступают 50% всех лампочек, со второго - 30% и с третьего -~ 20%. Среди лампочек, изготовленных I заводом - 80% 1 сорта, в продукции II завода лампочки 1 сорта составляют 70%, а продукции III - 60%. Какова вероятность того, что купленная в этом магазине лампочка окажется 1 сорта?

21.На склад поступают одинаковые электрические утюги. I завод поставляет 80%, II - 20% всего количества. Известно, что I завод выпускает 90% продукции, способной прослужить положенный срок, а II - 95%. Какова вероятность, что наугад взятый утюг прослужит положенный срок?

22.Устройство содержит два узла. Работа каждого узла необходима для работы устройства в целом. Вероятность выхода из строя первого узла равна 0,01, второго – 0,03. Вышел из строя один из узлов. Какова вероятность, что вышел из строя первый узел?

42

23.В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 3% брака, 2-й - 1% и 3-й - 2%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата поступило соответственно 500,200, 300 деталей.

24.Известно, что в партии из 600 электрических лампочек 200 лампочек изготовлены на I заводе, 250 - на II и 150 - на III. Известны также вероятности 0,97; 0,91 и 0,93 того, что лампочка окажется стандартной при изготовлении ее соответственно I, II и III заводами. Какова вероятность того, что наудачу выбранная из данной партии лампочка окажется стандартной?

25.На заводе болты изготавливаются на трех станках; они производят соответственно 25, 30 и 45% всего количества болтов. В продукции станков брак составляет соответственно 4, 3 и 2%. Какова вероятность, что болт, случайно взятый из всей поступившей продукции, окажется дефектным?

26.Для участия в спартакиаде из первой группы выделено 4 студента, из второй -5, из третьей 3 студента. Вероятность того, что отобранный студент из одной из этих групп попадет в сборную университета, равны соответственно 0,4, 0,3 и 0,5. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную команду. К какой из этих трёх групп он вероятнее всего принадлежит?

27.Среди поступающих на сборку деталей с первого станка 0,2% бракованных, со второго – 0,1%, с третьего 0,3%. Производительности их относятся как 3:4:3 соответственно. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена: а) на втором станке; б) на третьем станке.

28.На склад поступает продукция трех фабрик, причем первая фабрика поставляет 35%, вторая 40%, третья 25%. Средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 4, для третьей 2%. Со склада наудачу выбирают одно изделие. а) Найти вероятность того, что изделие окажется стандартным. б) Изделие оказалось нестандартным. Найти вероятность, что оно было изготовлено на второй фабрике.

29.В первой урне 2 белых шара и 1 черный шар. Во второй 3 белых и 3 черных шара. Из второй урны в первую перекладывают 2 шара, после чего из нее извлекают один шар. Найти вероятность того, что извлеченный из первой урны шар черный.

30.Проверка изделия на стандартность осуществляется одним из трёх товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому, равна 0,25, ко второму – 0,30 и к третьему – 0,45. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,98, вторым – 0,95, третьим 0,97. Найти вероятность того, что стандартное изделие проверено третьим товароведом.

Задание 5. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве М1 , М2 и

М3 штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с

43

вероятностями соответственно р1, р2 и р3 . Рабочий берет случайно один

электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом-изготовителем.

Значения параметров вычислить по следующим формулам: k = 14 − V ,

р1 = 0,99 − 100k , р2 = 0,9 − 100k , р3 = 0,85 − 100k , М1 = 5 + k , М2 = 20 − k , М3 = 25 − k .

Решение типового варианта

1.На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с 3-

хзаводов в количестве: 15 с первого завода, 25 со второго, 40 с третьего. Вероятности качественного изготовления изделий на первом заводе 0,9; на втором 0,8; на третьем 0,7. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?

Решение. Событие А – случайным образом извлеченное изделие оказалось качественным.

Вероятность этого события зависит от количества изделий с каждого завода в общем количестве 15+25+40=80.

Рассмотри гипотезы:

H1 - извлеченное изделие изготовлено на первом заводе;

H2 - извлеченное изделие изготовлено на втором заводе;

H3 - извлеченное изделие изготовлено на третьем заводе.

При этом P(H1 ) = 1580 = 163 , P(H2 ) = 8025 = 165 , P(H3 ) = 8040 = 12 .

Замечание. Т.к. гипотезы образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей должна быть равна единице:

163 + 165 + 12 = 1.

Выпишем условные вероятности P(АH1) = 0,9 , P( АH2 ) = 0,8 , P( АH3 ) = 0,7 . Используя «формулу полной вероятности» (3.1) вычислим:

Ответ: P(A) = 0,769.

2. В урне 4 белых и черных шара. К ним прибавляют 2 белых шара. После этого из урны случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность того,

44

что все вынутые шары белые, предполагая, что все предположения о первоначальном содержании урны равновозможны.

Решение. Событие А – случайно вынимают 3 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, каким был первоначальный состав шаров в урне. Рассмотрим гипотезы:

H1 - в урне было 4 белых шара;

H2 - в урне было 3 белых и 1 черный шар;

H3 - в урне было 2 белых и 2 черных шара;

H4 - в урне было 1 белый и 3 черных шара; H5 - в урне было 4 черных шара.

По условию вероятности этих гипотез равны, т.е.

P(H1 ) = P(H2 ) = P(H3 ) = P(H4 ) = P(H5 ) = 15 .

Найдем условные вероятности события А при различных условиях:

P(АH1 ) = 1,

P(АH2 ) = 56 54 34 = 12 ;

P(АH3 ) = 64 53 24 = 15 ;

P(АH4 ) = 63 52 14 = 201 ; P(АH5 ) = 0 .

По «формуле полной вероятности» (3.1) вычислим

P( A) = 15 1 + 15 12 + 15 15 + 15 201 + 15 0 = 207 . Ответ: P(A) = 207 .

3. В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой 4 белых и 8 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают два шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают три шара. Найти вероятность того, что шары, вынутые из второй урны, белые.

Решение. Испытание происходит в два этапа: на первом вынимают шары из первой урны и опускают во вторую; а затем случайно вынимают шары из второй урны.

Событие А – все три шара, вынутые из второй урны белые. Рассмотрим гипотезы:

H1 - из первой урны взяли 2 белых шара (и положили их во вторую

урну);

H2 - из первой урны взяли 1 белый и 1 черный шар; H3 - из первой урны взяли 2 черных шара.

Найдем вероятности этих гипотез:

45

P(H1 ) = 115 104 = 112 ; P(H2 ) = 115 106 2 = 116 , P(H3 ) = 116 105 = 113 .

3

Контроль: ∑ P(Hi ) = 1.

i=1

Найдем условные вероятности P(АHi )

P(АH1 ) - вероятность достать 3 белых шара из урны при условии, что туда добавили 2 белых

P(АH1 ) = 146 135 = 0,165 ,

P( АH2 ) = 145 134 = 0,110;

P(АH3 ) = 144 133 = 0,066 .

По формуле (3.1) вычисляем

P( A) = 112 0,165 + 116 0,11 + 113 0,066 = 0,03 + 0,06 + 0,09 = 0,18 . Ответ: P( A) = 0,18 .

4. Расследуются причины аварии на железнодорожном транспорте, о которой были высказаны четыре предположения (гипотезы) H1 , H2 , H3 , H4 .

разрушение рельсового пути (событие А). Условные вероятности события А согласно той же статистики, равны: P(АH1 ) = 0,9 , P(АH2 ) = 0 , P(АH3 ) = 0,2 ,

P( АH4 ) = 0,3 . Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях?

Решение: Событие А наступило и необходимо установить вероятности всех четырех предположений (гипотез) реализации этого события, чтобы выделить наиболее вероятную причину аварии.

Используем формулу вероятности гипотез Байеса. Полная вероятность события А

4

P( A) = ∑ P(Hi ) P(АHi ) = 0,2 0,9 + 0,4 0 + 0,3 0,2 + 0,1 0,3 = 0,027.

i=1

Вероятности гипотез после того, как событие А наступило:

P(Hi A) = P(Hi ) P( АHi ) P(A)

P(H1 A) = 0,2 0,9 ≈ 0,667 , 0,27

P(H2 A) = 0,1 0,3 ≈ 0,111, 0,27

46

P(H3 A) = 0,3 0,2 ≈ 0,222, 0,27

P(H4 A) = 0,4 0 ≈ 0 . 0,27

4

∑ PA (Hi ) = 0,667 + 0 + 0,222 + 0,111 = 1.

i=1

Ответ: Вероятнее всего разрушение рельсового пути произошло в результате реализации первого предположения (гипотезы H1 ).

5. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели названных заводов соответственно в количестве 19, 6 и 11 шт., которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0,85, 0,76 и 0,71. Рабочий берет случайно один двигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом-изготовителем.

Первым испытанием является выбор электродвигателя, вторым - работа электродвигателя во время гарантийного срока. Рассмотрим следующие события:

А - электродвигатель работает безотказно до конца гарантийного срока; H1 - монтер возьмет двигатель из продукции 1-го завода;

H2 - монтер возьмет двигатель из продукции 2-го завода;

H3 - монтер возьмет двигатель из продукции 3-го завода. Вероятность события А вычисляем по формуле полной вероятности:

P(A) = P(A H1 ) P(H1 ) + P(A H2 ) P(H2 ) + P(A H3 ) P(H3 ) .

Условные вероятности заданы в условии задачи:

P(A H1 ) = 0,85, P(A H2 ) = 0,76 , P(A H3 ) = 0,71.

Аналогично предыдущей задаче найдем вероятности:

P(H1) = 1936 = 0,528 , P(H2 ) =

P( A) = 0,85 1936 + 0,76 366 + 0,71 1136 = 0,792 .

По формуле Бейеса (3.2) вычисляем условные вероятности событий (гипотез)

H1 :

47

4. Повторение испытаний, формула Бернулли. Асимптотические формулы Пуассона и Лапласа

Если производится n независимых опытов в одинаковых условиях, причем в каждом из них событие А появляется с вероятностью p (не появляется с вероятностью q = 1− p ), то вероятность Pn (m) того, что событие А

произойдет в этих n опытах ровно m раз вычисляется по формуле Бернулли:

Для достаточно больших n (n>10) вычисления по формуле (4.1) становятся громоздки, поэтому используют локальную теорему Муавра –

Лапласа

ϕ (− x) = ϕ (x) и ϕ (x > 3,99) ≈ 0. Равенство (4.2) тем точнее, чем больше n и чем p

ближе к 0,5.

Если нужно вычислить вероятность Pn (m1,m2 ) того, что в n независимых испытаниях событие А появится от m1 до m2 раз, используют интегральную

теорему Муавра – Лапласа:

Функция Лапласа Ф(x) - нечетная, т.е. Ф(− x) = −Ф(x), ее значения приведены в приложении 2, причем Ф(x > 5) = 0,5.

Для массовых (n велико), маловероятных (p мало) событий используют

формулу Пуассона:

где λ = n p (0,1 ≤ λ ≤ 10) .

Вероятность того, что в n независимых испытаниях относительная частота события W (A) = mn отклонится от вероятности его появления p по абсолютной величине не более чем на ε вычисляется по формуле:

где Ф(x) - функция Лапласа (прил. 2).

Обозначим m0 - наивероятнейшее число появления события А в n

независимых испытаниях (наивероятнейшая частота события А). Это число вычисляется по формуле:

АЗ – 1.4

1. Вероятность брака изделий на некотором производстве p = 0,3. Найти

2. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход исключен): три партии из четырех или пять из восьми?

Ответ: P4 (3) = 0,25, P8 (5) = 0,22.

49

3. Игральная кость бросается 6 раз. Найти вероятность того, что «5» выпадет:

а) один раз; б) два раза; в) три раза;

г) хотя бы один раз (событие А); д) не менее двух раз (событие В).

4.По данным ОТК завода 0,8 всего объема выпускаемых изделий – первого сорта. Найти вероятность того, что среди взятых наугад для проверки 400 изделий будет:

а) 320 первого сорта; б) 300 первого сорта;

в) 90 не первого сорта.

Ответ: P400 (320) = 0,04986 , P400 (300) = 0,00219, P400 (310) = 0,0228.

5.Вероятность появления события А в каждом из 500 испытаний равно 0,7. Найти вероятность того, что событие А наступит:

а) не менее 340 и не более 370 раз; б) не менее 340 раз;

в) не более 369 раз.

Ответ: P500 (340,370) = 0,8115 , P500 (340,500) = 0,8365 , P500 (0,340) = 0,1635.

6.Вероятность того, что деталь – нестандартная, равна 0,1. Сколько деталей нужно отобрать, чтобы с вероятностью 0,9544 можно было утверждать,

что относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности p = 0,1 по абсолютной величине не более чем на 0,3?

Ответ: 400.

7.Вероятность для стрелка попасть в мишень при одном выстреле 0,78. Чему равно наивероятнейшее число попаданий при 150 выстрелах?

Ответ: 117.

8.Вероятность того, что изделие повредится при перевозке ж/д транспортом равна 0,003. Отправлено 1000 доброкачественных изделий. Найти вероятность того, что потребителю прибудет:

а) 1 негодное изделие; б) 2 негодных изделия; в) 3 негодных изделия;

г) не менее 2-х негодных изделий (Событие А).

50