3114

б) Событие В – только третий стрелок промахнулся, а значит первый и второй попали.

P(B) = p1 p2 p3 = 0,6 0,7 0,1 = 0,042 .

в) Событие С – только один стрелок попадет в цель, т.е. или только первый (второй и третий при этом промахнутся (событие С1 )), или только

второй (первый и третий при этом промахнутся (событие С2 )) или только третий (первый и второй при этом промахнутся (событие С3 )). Т.к. С1 , С2 и С3

- несовместные события, то по формулам (2.1) и (2.9) получаем

P(C) = P(C1 ) + P(C2 ) + P(C3 )

P(C) = p1 p2 p3 + p1 p2 p3 + p1 p2 p3 = 0,6 0,3 0,1+ 0,4 0,7 0,1+ 0,4 0,3 0,9 = 0,018+ 0,028+ 0,108 = 0,154.

г) Событие D – хотя бы один стрелок попадет. Событие определяется

словами «хотя бы один», значит, используем противоположные события D - ни один не попадет в мишень, т.е. все три промахнутся:

P(D) = p1 p2 p3 = 0,4 0,3 0,1 = 0,012 .

По формуле (2.6) получаем

P(D) = 1 − P(D) = 1 − 0,012 = 0,988 .

д) Событие Е – хотя бы один стрелок промахнется. Рассмотрим

противоположное событие Е - ни один не промахнется, т.е. все три попадут в мишень

P(Е) = p1 p2 p3 = 0,6 0,7 0,9 = 0,378 .

P(Е) = 1− P(Е) = 1− 0,378 = 0,622 .

е) Событие F – не более 2-х (т.е. два и менее) стрелков попадут. Событие состоит из следующих несовместных событий:

F1 - только два стрелка попадут (один при этом промахнется); F2 - только один стрелок попадет (два при этом промахнутся); F2 - ни один не попадет (все три промахнутся).

Вычислим вероятности этих событий:

P(F1) = p1 p2 p3 + p1 p2 p3 + p1 p2 p3 = 0,6 0,7 0,1+ 0,6 0,3 0,9 + 0,4 0,7 0,9 = 0,042 + 0,162 + 0,252 = 0,456.

P(F2 ) = P(C) = 0,154 (см. пункт в)).

P(F3 ) = P(D) = 0,012 (см. пункт г)).

Итак, получаем:

31

P(F) = P(F1 ) + P(F2 ) + P(F3 ) = 0,456 + 0,154 + 0,012 = 0,622 .

ж) Событие G – не менее 2-х (т.е. два и более) стрелков попадут. Событие состоит из следующих несовместных событий:

G1 - два промахнутся (при этом один попадет); G2 - все три промахнутся.

P(G) = P(G1 ) + P(G2 ) = P(C) + P(D) = 0,154 + 0,012 = 0,166 .

Ответ: P(A) = 0,028 , P(B) = 0,042 , P(C) = 0,154, P(D) = 0,988 , P(Е) = 0,622 , P(F) = 0,622 , P(G) = 0,166 .

3.1. В урне (ящике с отверстием) находятся 10 белых, 6 черных и 4 красных шаров. Наудачу без возвращения извлекают 3 шара. Найти вероятность следующих событий:

а) А - все извлеченные шары одного цвета; б) В - все извлеченные шары разного цвета; в) С - среди извлеченных шаров один красный; г) D - среди извлеченных шаров два белых и один черный.

Решение: Всего в урне 20 шаров. Общее число способов выбора из 20 шаров трех

а) Событие А (все шары или белые, или черные, или красные). Число исходов, благоприятствующих наступлению этого события

б) Событие В (один из шаров белый, другой черный, третий красный) – имеет место одновременное наступление (совмещение) этих простейших событий.

Один из белых шаров можно выбрать C101 = 10 способами, один из черных C61 = 6 способами, а один красный C41 = 4 способами.

Число возможных вариантов выбора трех шаров разного цвета

mB = C101 C61 C41 = 10 6 4 = 240

P(B) = mnB = 1140240 ≈ 0,210 .

в) Событие С (один из трех шаров - красный, два остальных могут быть любыми некрасными шарами).

Выбрать из общего количества шаров один красный можно C41 = 4

способами, а два других из 16 некрасных шаров C162 = 1416!2!! = 120 .

Общее число вариантов (исходов) при совмещении этих простейших событий

32

mС = C41 C162 = 4 120 = 480 P(С) = mnС = 1140480 ≈ 0,421.

г) Событие D (среди трех шаров два белых и один черный, красные шары отсутствуют). Общее число вариантов реализации события D является совмещение (одновременное наступление) трех простейших событий, поэтому

mD = C162 C161 C40 = 45 6 1 = 270, C40 = 04!4!! = 1

P(D) = mnD = 1140270 ≈ 0,237 .

Ответ: P(A) ≈ 0,126 , P(B) ≈ 0,210 , P(С) ≈ 0,421, P(D) ≈ 0,237 .

3.2. Работниками супермаркета установлено, что в среднем каждые три из десяти посетителей совершают какую - либо покупку. Найти вероятность того, что из трех вошедших в супермаркет посетителей: а) два совершают покупки; б) все три совершают покупки; в) ни один не совершит покупки; г) по крайней мере, два совершат покупки; д) хотя бы один купит товар.

Решение: Обозначим события: А = {из трех посетителей, два совершат покупки}; B= {все три посетителя совершат покупки}; С = {ни один не совершит покупку}; D = {пo крайней мере, из трех два совершат покупки}; Е {хотя бы один купит товар}.

Введем в рассмотрение следующие независимые (элементарные) события: Ai = {i-ый посетитель совершит покупку}; Аi = {i-ый посетитель не

совершит покупку}; где i=1,2,3.

а) Событие А (любые два из трех посетителей могут приобрести товар, а

третий - нет). Модель ситуации: A = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 .

По условию задачи P(Ai ) = 0,3 , тогда вероятности противоположных

событий P(Ai ) = 1 − P(Ai ) = 1 − 0,3 = 0,7

P(A) = P(A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ) = P(A1 A2 A3 ) + P(A1 A2 A3 ) + P(A1 A2 A3 ) =

= 0,3 0,3 0,7 + 0,3 0,7 0,3 + 0,7 0,3 0,3 = (0,3)2 0,7 3 = 0,189.

б) Событие В (покупки совершили и первый, и второй, и третий посетители -совмещение элементарных событий А).

Модель ситуации: B = A1 A2 A3 .

P(B) = P(A1 A2 A3 ) = P(A1 ) P(A2 ) P(A3 ) = (0,3)3 = 0,027 .

в) Событие С. C = A1 A2 A3 , P(C) = (0,7)3 = 0,343

г) Событие D (покупки совершат любые два покупателя из трех, или все трое). D = A + B , где события А и В рассмотрены выше.

P(D) = P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,189 + 0,027 = 0,216 .

д) Событие Е (покупки совершат: или один из трех посетителей, или два из трех, или все трое).

33

E = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A + B .

Проще использовать противоположный процесс E = {ни один из трёх не купит товар}

E = A1 A2 A3 ,

P(E) = P(C) = (0,7)3 = 0,343, P(E) = 1 − P(E) = 1 − 0,343 = 0,657 .

Ответ: P(A) = 0,189 , P(B) = 0,027 , P(C) = 0,343, P(D) = 0,216 , P(E) = 0,657 .

3.3. Экзаменационный билет по теории вероятностей и математической статистике содержит два вопроса и задачу. Вероятность того, что студент ответит на каждый из вопросов билета равна 0,9, решит задачу - 0,8. Найти вероятность того, что студент успешно сдаст экзамен, если для этого необходимо: а) ответить на оба вопроса и решить задачу (событие А); б) ответить хотя бы на один вопрос и при этом решить задачу (событие В).

A = A1 A2 A3 , P(A) = P(A1 A2 A3 ) = P(A1 )P(A2 )P(A3 ) = 0,9 0,9 0,8 = 0,648.

б) Событие В - «студент ответит хотя бы на один вопрос и при этом решит задачу».

B = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ,

P(B) = P(A1 A2 A3 ) + P(A1 A2 A3 ) + P( A) = 0,9 0,1 0,8 + 0,648 = 0,792 . Ответ: P(A) = 0,648, P(B) = 0,792.

4. В ремонтную мастерскую поступило 15 тракторов. Известно, что 6 из них нуждается в замене двигателя, а остальные - в замене отдельных узлов. Случайным образом отбирается два трактора. Найти вероятность того, что замена двигателя необходима; а) в двух тракторах; б) в одном тракторе; в) хотя бы в одном тракторе.

а) Обозначим через А событие, состоящее в том, что выбранный трактор требует замены двигателя. Согласно условиям задачи, вероятность того, что

первым будет отобран трактор, требующий замены двигателя, P( A) = 156 = 0,4 .

Вероятность того, что второй выбранный трактор также потребует замены двигателя, P(A) = 145 . Тогда вероятность события, состоящего в том, что первый и

второй отобранные тракторы потребуют замены двигателя, p = 52 145 = 17 .

34

б) Обозначим через В событие, состоящее в том, что только один из двух выбранных тракторов требует замены двигателя. Это событие заключается в том, что первый трактор нуждается в замене двигателя, а второй - лишь в замене отдельных узлов, либо первый трактор требует замены, отдельных узлов, а второй - замены двигателя;

P(B) = 52 149 + 159 146 = 1835 .

в) Обозначим через С событие, состоящее в том, что ни один трактор не потребует замены двигателя. Вероятность того, что первый трактор не потребует замены двигателя, равна 9 15 = 3 5 . Вероятность того, что второй трактор также

не потребует замены двигателя, 8 14 = 4 7 . Тогда вероятность того, что оба

трактора не потребуют замены двигателя,

P(C) = 53 74 = 1235

Вероятность того, что хотя бы для одного трактора потребуется замена двигателя,

p= 1 − P(C) = 1 − 1235 = 3523 .

5.В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй – 5 белых и 7 черных. Из первой урны взяли случайно 3 шара, а из второй – 2 шара. Найти вероятности того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета; б) только три белых шара; в) хотя бы один белый шар.

Решение. Испытанием является извлечение трех шаров из первой урны и двух из второй.

а) событие А – все шары одного цвета. Рассмотрим несовместные события:

А1 - все шары белые (т.е. из 1-ой урны 3 белых и из 2-ой 2 белых),

А2 - все шары черные (т.е. из 1-ой урны 3 черных и из 2-ой 2 черных).

P( A) = P(A1 ) + P(A2 ) = 0,025 + 0,011 = 0,036 .

б) событие В – только три белых шара. Рассмотрим несовместные события:

B1 - все три белых шара из первой урны, тогда из второй урны два черных,

B2 - два белых и один черный из первой урны, тогда из второй урны один белый и один черных,

35

B3 - один белый и два черных шара из первой урны, тогда из второй урны два белый.

P(B) = P(B1 ) + P(B2 ) + P(B3 ) = 0,053 + 0,256 + 0,045 = 0,363.

в) событие С – хотя бы один белый шар.

Рассмотрим противоположное событие С - среди извлеченных шаров нет ни одного белого, т.е. все пять черные

P(C) = P(A2 ) = 0,011,

P(C) = 1 − P(C) = 1 − 0,011 = 0,989 . Ответ: P(A) = 0,036 , P(B) = 0,363, P(C) = 0,989 .

3. Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Если об обстановке опыта можно сделать n взаимоисключающих предположений (гипотез) H1, H2 ,..., Hn и если событие А появится только при

одной их этих гипотез, то его вероятности P(A) вычисляются по формуле полной вероятности:

P(A) = P(H1 ) P(A H1 ) + P(H2 ) P(A H2 ) + ... + P(Hn ) P(A Hn ) .

или

Если до опыта вероятности гипотез были P(H1) , P(H2 ) ,…, P(Hn ), а в

результате опыта появилось событие А, то с учетом этого события «новые», т.е. условные, вероятности гипотез вычисляются по формуле Бейеса:

36

Формула Бейеса дает возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом появившегося результата опыта.

АЗ – 1.3

1. Имеются 3 одинаковые с виду урны. В первой 5 белых и 4 черных шара; во второй 2 белых и 4 черных; в третьей все шары белые. Из выбранной наугад урны вынимают шар. Найти вероятность того, что он белый.

Ответ: P(A) = 1723 .

2.Прибор может работать в 2-х режимах: нормальном (в 80% случаев) и усиленном (в 20%). Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1; в усиленном - 0,7. Найти вероятность выхода

прибора из строя за время t.

Ответ: P(A) = 0,22 .

3.По самолету производится 3 выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4; при втором – 0,5; при третьем – 0,7. Для того, что сбить самолет достаточно 3-х попаданий; при 2-х попаданиях самолет выходит из строя с вероятностью – 0,6; при одном с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из

строя.

Ответ: P(A) = 0,458.

4.Имеются две урны. В первой 5 белых и 3 черных шара; во второй 2 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй урны берут один шар. Какого цвета вероятнее всего будет этот шар?

Ответ: Р(А – белый шар) = 5621 , Р(В – черный шар) = 5635 .

5. В группе 6 лыжников, 10 велосипедистов и 14 бегунов. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника 0,9; для велосипедиста – 0,8; для бегуна – 0,7. Наудачу выбранный спортсмен выполнил норму. Каким видом спорта, вероятнее всего он занимается?

Ответ: P(H1 A) = 0,23 , P(H2 A) = 0,35 , P(H3 A) = 0,42 .

37

6. В цехе 3 станка штампуют одинаковые детали. Производительность первого станка в два раза больше, а третьего – в два раза меньше производительности второго станка. Вероятность брака для первого станка равна 0,05; для второго - 0,03; для третьего – 0,01. Изготовленные детали складывают в один ящик. Наугад взятая из ящика деталь оказалась бракованной. С какого станка, вероятнее всего, сошла эта деталь?

Ответ: P(H1 A) = 0,74, P(H2 A) = 0,22, P(H3 A) = 0,04 .

7. Два стрелка, независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8; для второго 0,4. После стрельбы в мишени образуется одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.

Решение. Событие А – в мишени одна пробоина. Возможны следующие гипотезы:

H1 - ни первый, ни второй не попадут; H2 - оба попадут;

H3 - первый попадет, а второй нет;

H4 - первый не попадет, а второй попадет.

Вероятности этих гипотез:

P(H1 ) = 0,2 0,6 = 0,12;

P(H2 ) = 0,8 0,4 = 0,32 ;

P(H3 ) = 0,8 0,6 = 0,48;

P(H4 ) = 0,2 0,4 = 0,08 .

Условные вероятности события А при этих гипотезах:

P(A H1 ) = 0, P(A H2 ) = 0 , P(A H3 ) = 1, P(A H4 ) = 1.

Т.о. по формуле (3.2) получаем

Работа 3

Задание 1. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: n1 с первого завода, n2 со второго,

n3 с третьего (табл. 6). Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе p1 , на втором p2 , на третьем p3 . Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?

38

Таблица 6

Задание 2. В урне содержится К черных и белых шаров, к ним добавляют L белых шаров. После этого из урны случайным образом вынимают М шаров. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, предполагая, что все возможныепредположенияопервоначальном содержании урны равновозможны. Значения параметров К, L и М по вариантам приведены в табл. 7.

Таблица 7

Задание 3. В одной урне К белых и L черных шаров, а в другой — М белых и N черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают Р шаров и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают R шаров. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.

Значения параметров К, L, М, N,P и R по вариантам приведены в табл. 8.

39

Таблица 8

Задание 4.

1.Команда стрелков состоит из 5 человек. Трое из них попадают в цель вероятностью 0,8, а двое с вероятностью 0,6. Наудачу из команды берется стрелок и производит выстрел. а) Какова вероятность того, что стрелок попадет? б) Если стрелок попал в цель, то какова вероятность, что это один из трех (один из двух)?

2.При исследовании жирности молока коров все стадо было разбито на три группы. В первой группе оказалось 70%, во второй 23% и в третьей 7% всех коров. Вероятность того, что молоко, полученное от отдельной коровы, имеет не менее 4% жирности, для каждой группы коров соответственно равна 0,6; 0,35 и 0,1. 1) Определить вероятность того, что для взятой наудачу коровы жирность молока составит не менее 4%. 2) Взятая наудачу корова дает молоко жирностью не менее 4%. Найти вероятность того, что эта корова из первой группы.

3.В первой урне 10 деталей, из них 8 стандартных. Во второй 6 деталей, из которых 5 стандартных. Из второй урны переложили в первую одну деталь. Какова вероятность того, что деталь, извлеченная после этого из второй урны, нестандартная?

4.Имеются две урны. В первой - семь красных шаров и три черных, во второй - три красных и четыре черных. Из первой урны переложили во вторую один шар, затем, перемешав шары, из второй урны переложили в первую один шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный после этого из первой урны, окажется красным.

5.Перед посевом 90% всех семян было обработано ядохимикатами. Вероятность поражения вредителями для растений из обработанных семян равна 0,08, для растений из необработанных семян - 0,4. Взятое наудачу растение оказалось пораженным. Какова вероятность того, что оно выращено из партии обработанных семян?

40