32. Логика как метод математики. Доказательство, аксиоматика, интуиция.

Дедукция - метод научного познания, который заключается в переходе от некоторых общих посылок к частным результа­там-следствиям.

Основы дедуктивной логики были заложены еще в трудах древнегреческих философов и математиков. Здесь можно назвать такие славные имена, как имена Пифагора и Платона, Аристотеля и Евклида. Позднее формулировки дедуктивной логики все более оттачиваются, детализируются у стоиков, в средневековой схоластике.

В 20-м веке дедуктивная логика становится разделом математики и начинает называться "математической логикой". Основные идеи и методы дедуктивного подхода получают совершенно строгое выражение средствами языка математики. С этих пор начинается бурный рост математической логики как нового направления математического знания, получившего название "метаматематика". Такое бурное и успешное развитие дедуктивной логики привело к формулировке понятия формальной дедуктивной (аксиоматической) системы, к рассмотрению структуры которой мы ниже вкратце и обратимся. Дедуктивная система - это область мышления и языка, в высокой степени обработанная средствами дедуктивной логики и получающая в связи с этим некоторый законченный и организованный вид.

В первую очередь формальная дедуктивная система представляет из себя некоторый искусственный язык, специально приспособленный для описания определенной математической структуры. 

Доказательство — это логическая операция обоснования истинности утверждения с помощью фактов и других истинных связанных с ним суждений. Познание отдельных фактов, предметов, их свойств происходит посредством форм чувственного познания (ощущений и восприятий) и высказывания вспомогательных суждений и утверждений. 

В математике, интуиция помогает постичь связь между целым и частями, прежде каких-либо логических рассуждений. Логика играет решающую роль в анализе готового доказательства, в расчленении его на отдельные элементы и группы таких элементов. Синтез же частей в единое целое и даже отдельных элементов в более крупные группы или блоки, достигается с помощью интуиции.

Попытки машинного моделирования деятельности человека оказываются вторичными по отношению к интуитивной деятельности человека, опирающейся на синтез частей и целого.

Следовательно, понимание математических рассуждений и доказательств не сводится лишь к логическому анализу, а всегда дополняется синтезом, причем такой синтез, основанный на интеллектуальной интуиции, отнюдь не менее значим, чем анализ.

Интуитивная гипотеза не следует логически из фактов, она в основном опирается на творческое воображение. Кроме того, интуицией является и «способность видеть цель издалека».

Заметная роль в разработке вопросов, связанных с местом интуиции в области математики, принадлежит так называемому интуиционизму, основоположником которого считается выдающийся голландский математик, логик, методолог науки Л.Э.Я. Брауэр (1881–1966). Интуиционизм, претендующий на роль общематематической теории, оказал огромное воздействие на: а) поддержание устойчивого интереса к проблеме интуиции среди математиков; б) стимулирование серьезных философских исследований по изучению феномена интуиции; и, наконец, в) они дали блестящие образцы получения математических результатов принципиальной значимости на интуитивной основе.

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД - способ организации научного (в особенности, теоретического) знания, сущность которого состоит в выделении среди всего множества истинных высказываний об определенной предметной области такого его подмножества (аксиом), из которого логически следовали бы все остальные истинные высказывания (теоремы и единичные истинные высказывания). Идеал аксиоматического построения научного знания, начало реализации которого было положено построением геометрии в Древней Греции (VII — IV вв. до н. э.), оказался наиболее подходящим для организации систем математического знания, где огромный вес в познании принадлежит не только эмпирически-абстрагирующей деятельности рассудка, но и конструктивно—созидательной деятельности разума. В естествознании, социально-гуманитарных и инженерно—технических науках аксиоматический метод организации знания занимает подчиненное положение по сравнению с другими формами когнитивной организации.