4.7. Нелинейная регрессия

Используя подходы, изложенные ранее, можно построить практически любые формы нелинейной связи. С этой целью в инженерной практике очень часто используют линеаризующие преобразования.

Таблица 4.1

Функции и линеаризующие преобразования

		Линеаризующие преобразования
№ п/п	Функция	Преобразование переменных		Выражения для величин b0и b1
		y’	x’	b0‘	b1’
1		y	1/x	b0	b1
2		1/y	x	b0	b1
3		x/y	x	b0	b1
4		lg(y)	x	lg(b0)	lg(b1)
5		ln(y)	x	ln(b0)	b1
6		1/y	e-x	b0	b1
7		lg(y)	lg(x)	lg(b0)	b1
8		y	lg(x)	b0	b1
9		1/y	x	b1/b0	1/b0
10		1/y	1/x	b1/b0	1/b0
11		ln(y)	1/x	ln(b0)	b1
12		y	xn	b0	b1

В табл. 4.1. приведены часто встречающиеся парные зависимости и линеаризующие преобразования переменных. Качество преобразования результатов проверяют с помощью уравненияПосле вычисления коэффициентов b₀’ и b₁’, в частности по методу наименьших квадратов, как для линейной зависимости от одного фактора (см. п. 4.2) выполняют обратные преобразования, т.е. по b₀’ и b₁’ определяют b₀и b₁. Аналогичный подход обычно широко используют и при множественном нелинейном регрессионном анализе. 5. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

5.1. Оценка погрешностей определения величин функций

Необходимость в определении погрешности величин-функций по известным значениям погрешностей их аргументов (факторов) возникает при оценке точности результатов математического эксперимента, а также результатов так называемых косвенных измерений. Под косвенным измерением понимаются такое, в результате которого значение искомой величины yрассчитывают по известной зависимости ее от других величин х₁, х₂, ..., х_к, измеренных другим способом, т.е.

(5.1)

где х₁, х₂, ..., х_i,..., х_к– аргументы, определенные независимо друг от друга. В дальнейшем будем полагать, что погрешности определения величиныyобусловлены лишь неточностью численных значений величин х₁, х₂, ..., х_i,..., х_к, входящих под знак функции.

Обозначим истинное значение i-го параметра черезx_i, среднее значение – через, а абсолютную погрешность его измерения – черезх_i. Разложим функциюf(x₁,x₂, ...,x_k) в ряд Тейлора, сохраняя члены с нулевым и первыми степенями погрешностей

где все производные вычислены при значениях.

Тогда

где (5.2)

Следовательно y_i– это составляющие погрешности функции, обусловленные погрешностьюi-го аргументаx_i.

Доверительная вероятность, соответствующая величине y_i, численно равна доверительной вероятности, с которой найдена погрешностьx_i.

Для относительной погрешности вместо соотношения (5.2) используют выражение:

(5.3)

Соотношения (5.2) и (5.3) применимы для расчета как случайных, так и систематических погрешностей.

Общая абсолютная (y_) и относительная (_^*) погрешности определения функции могут быть найдены с помощью выражений

(5.4)

(5.5)

Предполагается, что все составляющие имеют нормальный закон распределения.

Частные производные, входящие в соотношения (5.2) и (5.3), не всегда могут быть взяты аналитически. Часто не удается разрешить искомую задачу в явном виде относительно искомой величины y. В этих случаях полезно использовать численные методы определения производных.

В качестве примера (пример 5.1) рассмотрим погрешность определения массового расхода газового потока стандартным сужающим устройством. При этом будем считать, что случайная составляющая погрешности отсутствует, а поправка на сжимаемость потока равна единице.

Тогда с учетом выражения для определения массового расхода вещества

(5.6)

где F₀ – площадь сужающего устройства;– поправочный множитель на сжимаемость вещества, расход которого измеряется;– плотность потока перед сужающим устройством;h– перепад статического давления на сужающем устройстве.

Используя соотношения (5.2) и (5.4), получим следующую формулу для расчета абсолютной и относительной погрешности определения расхода:

(5.7)

(5.8)

где

Учтем далее погрешности определения плотности потоков. В соответствии с уравнением состояния газа =p/RT, гдеpиT– соответственно абсолютное давление и температура газа перед сужающим устройством. Абсолютная погрешность определения плотности потока без учета погрешности газовой постоянной составит:

(5.9)

где

относительная погрешность

(5.10)

Тогда относительная погрешность определения массового расхода газового потока будет равна:

(5.11)

Здесь p,T,h– значения измеренных параметров;p,T,h– их абсолютные погрешности. Численные значенияp,T,hопределяются в основном инструментальной погрешностью и могут быть вычислены с учетом класса точности используемых приборов для измеренияpиh. Погрешность измеренияTопределяется с учетом вида измерительного устройства температуры.

Абсолютная погрешность определения массового расхода газового потока

(5.12)

где G– значение расхода, измеренное экспериментально.

(5.13)