- •1. Эксперимент как предмет исследования
- •1.1. Классификация видов экспериментальных исследований
- •1.2. Погрешности результатов исследований
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей и математической статистики
- •2.1. Вероятность случайных событий, их характеристики
- •2.2. Нормальный закон распределения
- •3.1. Вычисление характеристик эмпирических распределений
- •3.2. Статистические гипотезы
- •3.3. Отсев грубых погрешностей
- •3.4. Определение доверительных интервалов для исследуемых величин
- •3.4.1. Оценка доверительного интервала для математического ожидания
- •3.4.2. Оценка доверительного интервала для дисперсии
- •3.5. Сравнение двух рядов наблюдений
- •3.5.1. Сравнение средних значений
- •3.5.2. Сравнение двух дисперсий
- •3.5.3. Проверка однородности нескольких дисперсий
- •3.6. Определение необходимого количества измерений
- •3.7. Проверка гипотезы нормального распределения
- •3.8. Преобразование распределений к нормальному
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента. Эмпирические зависимости
- •4.1. Характеристика видов связей между рядами наблюдений
- •4.2. Определение коэффициентов уравнения регрессии
- •4.3. Определение тесноты связи между случайными величинами
- •4.4. Линейная регрессия от одного фактора
- •4.5. Регрессионный анализ
- •4.5.1. Проверка адекватности модели
- •4.5.2. Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии
- •4.6. Линейная множественная регрессия
- •4.7. Нелинейная регрессия
- •5.1. Оценка погрешностей определения величин функций
- •5.2. Обратная задача теории экспериментальных погрешностей
- •5.3.Определение наивыгоднейших условий эксперимента
- •6. Методы планирования экспериментов. Логические основы
- •6.1. Основные определения и понятия
- •6.2. Пример хорошего и плохого эксперимента
- •6.3. Планирование первого порядка
- •6.3.1. Выбор основных факторов и их уровней
- •6.3.2.Планирование эксперимента
- •6.3.3. Определение коэффициентов уравнения регрессии
- •6.3.4. Статистический анализ результатов эксперимента
- •6.3.5. Дробный факторный эксперимент
- •6.3.6. Разработка математической модели гидравлического режима методической печи
- •6.4. Планы второго порядка
- •6.4.1. Ортогональные планы второго порядка
- •6.4.2. Ротатабельные планы второго порядка
- •6.5. Планирование экспериментов при поиске оптимальных условий
- •6.5.1. Метод покоординатной оптимизации (Гаусса - Зейделя)
- •6.5.2. Метод крутого восхождения (Бокса-Уилсона)
- •6.5.3. Симплексный метод планирования
- •7. Компьютерные методы статистической обработки результатов инженерного эксперимента
- •7.1. Статистические функции Microsoft Excel
- •7.2.1. Общая структура системы
- •7.2.2. Возможные способы взаимодействия с системой
- •7.2.3. Ввод данных
- •7.2.4. Вывод численных и текстовых результатов анализа
- •7.2.5. Статистические процедуры системы statistica
- •7.2.6. Структура диалога пользователя в системе statistica
- •7.2.7. Примеры использования системы statistica
3.6. Определение необходимого количества измерений
Увеличение количества измерений (числа проб, образцов и т.п., как видно из выражений (3.18), (3.21) даже при неизменной их точности (x=const, Sx=const) может увеличить надежность доверительной оценки (P) или сузить доверительный интервал для определения действительного значения измеряемой величины (математического ожидания).
Необходимое количество измерений (образцов, проб и т.п.) n для достижения требуемой точности и заданной надежности Р можно определить заранее в том случае, когда известно действительное значение среднеквадратичного отклоненияx, а экспериментальные данные (измерения) подчиняются нормальному закону распределения.
Действительно, при этих допущениях число измерений можно определить из выражения (3.18)
(3.37)
Таким образом, число измерений n определяется требуемой надежностью Р (доверительной вероятностью ) и относительным (по отношению к среднеквадратичному отклонению) значением доверительного интервала (x/), т.е. требуемой точностью определения измеряемой величины. Так при Р=0,95,()=1,96 и при=xчисло измерений равно 4. При увеличении необходимой точности измерений в 2 раза, т.е. сужении доверительного интервала до величины=(1/2)x, необходимое число измерений составит 16.Нетрудно заметить, что необходимое число измерений с увеличением точности возрастает в квадратичной зависимости.
Как правило, действительное значение среднеквадратичной ошибки (x) неизвестно, а имеется только ее оценка (Sx). В этом случае следует воспользоваться соотношением (3.21), т.е. критерием Стьюдента. Необходимое число измерений следует определять из следующего соотношения
(3.38)
При расчетах по этому уравнению следует иметь в виду, что теоретическое значение критерия Стьюдента зависит не только от доверительной вероятности , но и числа степеней свободы m, последние же определяются числом измерений. В связи с этим уравнение (3.38) следует решать методом последовательных приближений. В качестве начального приближения можно задать, в частности, число измерений, рассчитанных по формуле (3.37). Так, если решить последнее уравнение методом последовательных приближений, то можно показать, что при P=0,95 (=0,05) для определения доверительного интервала с точностью=Sxтребуется 7 измерений, а с точностью=0,5Sx – 19. С повышением необходимой точности различие в числе измерений, рассчитанных по соотношениям (3.37) и (3.38) уменьшается и, как показывают расчеты, при величине0,2Sxони практически совпадают.
Таблица 3.4
Необходимое
количество измерений
/Sx
P=0,90
P=0,95
P=0,99
1
5
7 (4)
11
0,5
13
19 (16)
31
0,4
19
27 (24)
46
0,3
32
46 (48)
78
0,1
273
387 (384)
668