Глава 12.Устойчивость стержней.
Расчёты на устойчивость
Общие положения
Выше отмечалось, что в сопротивлении материалов рассматривается три вида расчётов: 1) на прочность , 2) на жесткость и 3) на устойчивость.
При рассмотрении напряженно-деформированных состояний растяжения-сжатия, кручения и изгиба решались задачи только по расчётам на прочность и жесткость.
Расчеты на устойчивость в силу их специфики приходятся выделять отдельной темой. Например , что будет показано ниже , при расчётах на устойчивость сжатого стержня необходимо рассматривать одновременно вопросы как сжатия , так и изгиба.
В предыдущих разделах, используя метод сечений для определения внутренних силовых факторов , мы рассматриваем условия статического равновесия отсеченной части стержня. При этом предполагалось , что эта отсеченная часть находится в состоянии устойчивого равновесия. Между тем, в аналитической механике рассматривается три вида равновесия : устойчивое , безразличное и неустойчивое.
Некоторые конструкции , как , например , длинные тонкие стержни , испытывающие сжатие вдоль оси; труба под действием наружной распределенной нагрузки; оболочки под действием сосредоточенной нагрузки при некоторых значениях нагрузки могут перейти из заданного положения равновесия в состояние неустойчивого равновесия. Соответствующие нагрузки получили название критических.
В сопротивлении материалов в качестве примера перехода из состояния устойчивого равновесия в неустойчивое рассматривается сжатие гибкого стержня.
При продольном сжатии стержня может наступить такой момент , когда прямоугольный стержень при разовом воздействии поперечного толчка изогнётся. Такое состояние, когда стержень может иметь как прямолинейную ось, так и изогнутую , получило название «бифуркация». Сжимающая сила, соответствующая такому состоянию , получила название критической силы «Р кр». Задачу по определению критической силы сжатого стержня впервые решил Леонард Эйлер , решая задачу продольного изгиба.
Продольный изгиб
При решении задачи по расчёту длинного тонкого стержня на продольный изгиб Эйлер предполагал , что стержень выполнен из линейно-упругого материала.
Расположим шарнирно опертый стержень в горизонтальном положении , см. рис 12.1. Правый торец стержня опирается на «каток», левый – на неподвижную шарнирную опору.
При действии в сечении «В» критической силы «Р кр» стержень получит боковое выпучивание. Перемещением подвижного шарнира «В» пренебрегаем , считая , что длина стержня 2lостается неизменной. Стержень работает на изгиб. Сечению «Z» соответствует прогиб «V» и кривизна «ρ». Выше было получено выражение для кривизны балки:
В случае потери устойчивости стержень всегда прогибается в плоскости наименьшей жесткости. Поэтому момент инерции не зависимо от обозначения осей при расчете стержней на устойчивость принято обозначать «Jmin». Дифференциальное уравнение упругой линии балки при продольном изгибе записывается следующим образом :
(12.1)
Или:
Дифференциальное уравнение упругой линии балки при продольном изгибе записывается следующим образом :
(12.2)
Прогиб «V» мал , то есть:
И знаменатель левой части уравнения (12.1) можем считать равным единице.
Изгибающий момент может быть определен :
В итоге получаем :
И окончательно дифференциальное уравнение при продольном изгибе получает вид:
(12.3)
Введем обозначение:
(12.4)
Тогда:
(12.5)
Решение уравнения (12.5) ищем в виде:
(12.6)
Постоянные интегрирования определим из граничных условий:
При Z=0 , V(A) = 0;
При Z=l , V(B) = 0
В итоге решение уравнения (7.5) имеет вид:
V(Z)=A·sinKl= 0
Для определения критической силы рассмотрим выражение (12…..). Значение, равное нулю, синус принимает при следующих значениях аргумента :
Kl=O;π;2π;…;nπ.
Минимальное значение аргумента получает вид:
Kl=π
Или:
С учётом (12.4) можем записать:
Окончательно, полученное Л.Эйлером выражение для критической силы имеет вид:
(12.7)
Согласно (12.7) данное значение критической силы имеет место , когда стержень получает прогиб по полусинусоиде. Но это справедливо только для рассматриваемого случая закрепления стержня. Например, при трёх опорах стержень получает прогиб равный одному периоду синусоиды (см. рис. 12.2).
Влияние способов закрепления концов стержня на величину критической силы.
Формула Эйлера для определения критической силы получила применение в XIXвеке при расчете ферм железнодорожных мостов для сжатых поясов и стоек. При этом оказалось, что наряду с удовлетворительными результатами имели случаи конструкций с выпучиванием стержней, что приводило к большим железнодорожным катастрофам.
Было выдвинуто предположение, что так как шарниры в фермах мостов не являются идеальными, необходимо исследовать влияние других способов закрепления концов стержня на величину критической силы.
Были рассмотрены решения дифференциального уравнения упругой линии балки для различных форм закрепления. В нашем курсе удобнее рассмотреть влияние способов закрепления с помощью привидения конфигураций упругой линии балки и основному способу, рассмотренному Эйлером, то есть к полусинусоиде.
На рис. 12.3. показано для каких длин стержней выполняется полусинусоида при различных способах закрепления.
Случай «а)» , полусинусоида на всей длине стержня,
Случай «б)» , полусинусоида на двойной длине стержня,
Случай «в)» , полусинусоида на части длины стержня , равной ≈ 0,7 длина стержня. Подставив этот коэффициент в основную формулу, получим:
Случай «г)» , полусинусоида на половине длины стержня,
В общем виде окончательно выражение критической силы по Эйлеру записывается в следующем виде:
(12.15)
Где µ - коэффициент приведения длины.
Для рассмотренных случаев закрепления концов стержня коэффициенты приведения длины имеют следующие значения:
а) µ=1
б) µ=2
в) 
Понятие о гибкости стержня.
Введение понятия приведенной длины стержня дало слишком незначительную поправку при определении критической силы. Было высказано предположение, что помимо упругих деформаций, как это предположил Эйлер, необходимо учитывать на некотором этапе потери устойчивости стержня возникновении в нем пластических деформаций. С целью учета их возникновений было определено значение критического напряжения. При этом, основываясь на состоянии бифуркации , критическое напряжение было определено для не изогнутого стержня, то есть как при обычном сжатии.