Senikov_POE 3к

угольнике, определяемой тремя переменными. Например, возьмем следующие 6 смесей из 3-х компонент (см. табл.10.6).

Таблица 10.6. Шесть смесей из трех компонент А, B, C

Сумма для каждой смеси равна 1, т.е. значения компонент в каждой смеси могут интерпретироваться как пропорции. Если нанести эти данные на график в виде обычной 3-х мерной диаграммы рассеяния, станет очевидно, что точки образуют треугольник в 3-х мерном пространстве. Только точки внутри треугольника, где сумма значений компонент равна 1, представляют настоящие смеси. Следовательно, можно просто наносить данные только в треугольник (в данном случае двумерный), чтобы изображать значения компонент (пропорции) для каждой смеси (см. рис.10.2).

C

Рис.10.2. Треугольные координаты

Чтобы определить координаты точки в треугольном графике, необходимо соединить прямой линией точку с вершинами треугольника.

Вершина, соответствующая конкретному фактору представляет собой чистую смесь, то есть состоящую только из данной компоненты. Так что координата соответствующей вершине компоненты равна 1 (или 100% или любой другой величине в зависимости от шкалирования) и равна 0 (нулю) для всех других компонент. На стороне, противоположной соответствующей вершине, значение данной компоненты равно 0 (нулю), а для других компонент 0,5 (или 50% и так далее).

51

Тернарные поверхности и контуры. Можно теперь добавить четвертое измерение и нанести на график значения параметра оптимизации для каждой точки внутри треугольника. Поверхность отклика может быть представлена либо в 3-х мерном пространстве, где параметр оптимизации наносится, как расстояние поверхности от плоскости треугольника, либо в виде контурной диаграммы, где контуры равной высоты наносятся на 2-х мерном треугольнике (см. рис.10.3).

Рис.10.3. Два способа отображения параметра оптимизации в треугольных координатах: в виде поверхности (слева) или в виде контуров равного уровня (справа)

Виды полиномов для смесей. При составлении полиномов для смесей накладывается ограничение, состоящее в том, что сумма значений компонент должна быть постоянной. Рассмотрим простую линейную модель с двумя факторами

y = a0 + aAxA + aBxB,

где y – параметр оптимизации, a0, aA и aB - коэффициенты регрессии, xA и xB - значения факторов.

Предположим, что xA и xB должны в сумме давать 1, тогда можно умножить a0

на 1=(xA + xB):

y = (a0xA + a0xB) + aAxA + aBxB

или:

y = a'AxA + a'BxB,

где a'A = a0 + aA и a'B = a0 + aB.

Таким образом, оценивание в этой модели сводится к подгонке модели множественной регрессии без свободного члена.

Примеры моделей для смесей:

52

Линейная модель

y = a1x1 + a2x2 + a3x3.

Квадратичная модель

y = a1x1 + a2x2 + a3x3 + a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3.

Специальная кубическая модель:

y = a1x1 + a2x2 + a3x3 + a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3 + a123x1x2x3.

Полная кубическая модель:

y = a1x1 + a2x2 + a3x3 + a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3 + d12x1x2(x1 - x2) + d13x1x3(x1 - x3) + +d23x2x3(x2 - x3) + a123x1x2x3.

Коэффициенты dij также являются параметрами модели.

Обычно используются два типа стандартных планов экспериментов для смесей. Оба они оценивают поверхности отклика в вершинах треугольника и в центрах сторон. Иногда в эти планы добавляют дополнительные внутренние точки.

Симплекс-вершинные планы. При этом размещении точек плана m+1 для каждого фактора или компоненты в модели тестируются равноразмещенные точки:

xi = 0, 1/m, 2/m, ..., 1 i = 1,2,...,q а также все их комбинации. Получающийся план называется симплекс-вершинным планом. Например, симплекс-вершинный план с {q=3, m=2} включает следующие смеси (см. табл.10.7 и 10.8).

53

Симплекс-центроидные планы. Другой способ размещения факторов является так называемым симплекс-центроидным планом. При его применении точки плана соответствуют всем перестановкам чистых смесей (например, 1 0 0; 0 1 0; 0 0 1), перестановкам бинарных смесей (Ѕ Ѕ 0; Ѕ 0 Ѕ; 0 Ѕ Ѕ), перестановкам с тремя одинаковыми по пропорции компонентами и так далее. Например, для 3-х факторов сим- плекс-центроидный план состоит из точек (вершины, центры сторон, центр треугольника) (см. табл.10.9):

Добавление внутренних точек. Подобные планы иногда дополняются внутренними точками. Например, для 3-х факторов можно добавить следующие внутренние точки (см. табл. 10.10):

Таблица 10.10. Внутренние точки

Если эти точки нанести на диаграмму рассеяния в треугольных координатах, можно увидеть, как ровно эти планы заполняют экспериментальную область, определенную на треугольнике.

Анализ экспериментов для смесей похож на множественную регрессию со свободным членом, равным нулю. Основное ограничение: сумма всех компонент должна быть постоянной – может быть реализовано в подгонке модели множественной регрессии, не включающей свободный член. Для нахождения коэффициентов модели можно использовать метод наименьших квадратов для нелинейных моделей (см. раздел 6.4.)

54

10.5. Планирование экспериментов при наличии неоднородностей

При проведении многофакторных экспериментов в неоднородных условиях возникает задача исключения или существенного уменьшения влияния источников неоднородностей на результаты, полученные в виде математической модели.

Источниками неоднородностей являются, например: номинально одинаковые партии используемого сырья, лабораторные животные, стенды, технологическое оборудование, операторы и прочее. Они образуют группу факторов, не входящих в матрицу планирования и могут быть непрерывного или дискретного типа.

Источники непрерывного типа характеризуются изменением свойств объекта (его дрейфом) во времени или по какой-либо другой переменной . В случае невысоких (по сравнению с продолжительностью проведения всех опытов эксперимента) скоростей дрейфа можно использовать обычные методы ПОЭ. При высоких скоростях дрейфа применяют специальные планы, построенные, например, на основе ортогональных полиномов Чебышева и т.п. [7].

Источники дискретного типа: различие в сырье, технологических аппаратах, способах проведения процессов, исполнителях и т. д. В данном случае задача ПОЭ заключается в сокращении числа оцениваемых возможных сочетаний изучаемых факторов, т.е. относится к классу комбинаторных задач. Последние решают с помощью планов, основанных на специальных правилах размещения факторов по уровням в каждом опыте. Существует множество способов организации таких планов, из которых наиболее распространены планы, использующие свойства латинских и гре- ко-латинских квадратов, кубов и др.

Одним из возможных методов, применяемых в таких ситуациях, является разбиение плана эксперимента на ортогональные блоки. Задача заключается во введении в план эксперимента дополнительного фактора (нескольких факторов, которые называются блоками) таким образом, чтобы все главные эффекты были ортогональными ко всем главным эффектам остальных факторов плана.

Под блоками понимается множество опытов плана, которым соответствует один и тот же уровень блокового фактора, если их несколько – одно и то же сочетание уровней блоковых факторов (см. рис.10.4).

55

средства на устранение источников неоднородностей и на какие из них направить усилия в первую очередь.

Заключение

Высокий уровень абстракции теории планирования и организации эксперимента позволяет достаточно просто реализовывать программы обработки результатов эксперимента и применять их совершенно в различных областях человеческой деятельности. Существуют следующие варианты реализации обработки экспериментальных данных программным путем [12…15].

1.Использование электронных таблиц или универсальных математических пакетов: Excel, Open/StarOffice, Gnumeric, MatLab, MathCAD, Octave, SciLab, FreeMat, Maxima, Mathematica и т.п. Достоинства такого подхода: доступность, относительно невысокая стоимость. Недостатки: генерировать план и осуществлять обработку необходимо вручную: для электронных таблиц – путем написания макросов, для математических пакетов – путем написания программ на встроенном языке.

2.Использование надстроек над электронными таблицами: Excel + SigmaXL. Достоинства: процедуры генерации плана эксперимента и обработки измерений уже осуществлены. Недостатки: как правило, узкий круг решаемых задач и ощутимая стоимость такой надстройки.

3.Использование специализированного статистического ПО: Statistica, MiniTab, SPSS, MODDE, ПРИАМ. Достоинства: наличие алгоритмов генерации планов, автоматическая обработка результатов измерений, визуализация результатов, реализация алгоритмов «подгонки» моделей к экспериментальным данным, генерация отчетов, хорошая документация. Недостатки: высокая цена, необходимость освоения.

Рекомендуемая литература

1.Адлер Ю.П. Введение в планирование эксперимента. М., 1969. – 213 с.

2.Адлер Ю.П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий.

М.:Наука, 1976. – 293 с.

3.Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976. – 280 с.

4.Боровиков С.М. Теоретические основы конструирования, технологии и надежности. – Минск: Дизайн ПРО, 1998. – 336 с.

5.ГОСТ 24026-80. « Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения. М.,1980. – 22 с.

6.ГОСТ 8.207-76. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения. ИПК Издательство стандартов, 2001. – 33 с.

7.Калайда В.Т. Планирование эксперимента. Методы обработки результатов эксперимента и основы математической теории планирования эксперимента. Учебное пособие: Томск. Изд-во Томского университета, 1997. – 70 с.

8.Лапач С.Н., Чубенко А.В., Бабич П.Н. Статистика в науке и бизнесе. – К.: МО-

РИОН, 2002. – 640 с.

57

9.Маркова Е.В., Лисенко А.Н. Планирование эксперимента в условиях неоднород-

ностей. М.,1973. – 174 с.

10.Налинов В.В., Чернова Н.А. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. М.: Наука, 1965 – 280 с.

11.Федоров В.В. Теория оптимальных экспериментов (при выяснении механизма явлений), М., 1971. – 242 с.

12.Хикс Ч. Основные принципы планирования эксперимента. М.: Мир, 1965 г. – 127 с.

13.www.statsoft.ru – электронный учебник по статистике и программа «Statistica». 14.http://minitab.ru/ – Сайт программы «MiniTab».

15.http://www.umetrics.com/ – Сайт программы Modde. 16.http://www.sigmaxl.com/ – Сайт расширения Excel «SigmaXL».

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………

1.Планирование эксперимента как раздел теории эксперимента………………

1.1.Термины и определения теории планирования эксперимента…………….

1.2.Классификация экспериментов……………………………………………...

1.3.Основные требования к эксперименту………………………………………

1.4.Другие требования к эксперименту…………………………………………

1.5.Основные этапы подготовки измерительного эксперимента………………

1.6.Выбор средств измерения……………………………………………………

2.Параметр оптимизации…………………………………………………………

2.1.Требования, предъявляемые к параметру оптимизации…………………..

2.2.Задачи с несколькими параметрами оптимизации…………………………

2.3.Обобщенный параметр оптимизации……………………………………….

2.4.Простейшие способы построения обобщенного отклика………………….

3.Факторы………………………………………………………………………….

3.1.Количество факторов…………………………………………………………

3.2.Характеристика факторов……………………………………………………

3.3.Формализация процесса отбора факторов………………………………….

3.4.Кодирование факторов………………………………………………………

3.5.Выбор нулевого (основного) уровня……………………………………….

3.6.Выбор интервалов варьирования факторов……………………………….

4.Регрессионный анализ как основа планирования эксперимента…………..

4.1.Уравнение регрессии………………………………………………………..

4.2.Примеры регрессионных моделей………………………………………….

4.3.Проверка значимости коэффициентов регрессии…………………………

5.Планы экспериментов типа 2K и 2(K-L)………………………………………..

5.1.Полный факторный эксперимент типа 2K…………………………………

5.2.Свойства полного факторного эксперимента типа 2K…………………….

5.3.Расчет коэффициентов регрессии………………………………………….

5.4.Физический смысл взаимодействий……………………………………….

5.5.Дробный факторный эксперимент – план типа 2(K-L)…………………….

5.6.Минимизация числа опытов……………………………………………….

58

5.7.Дробная реплика…………………………………………………………….

5.8.Выбор полуреплик. Генерирующие соотношения и определяющие контра-

сты…………………………………………………………………………………

6. Планы экспериментов типа 3K и 3(K-L)……………………………………….

6.1.Планирование экспериментов типа 3(K-L)………………………………….

6.2.Планы Бокса-Бенкена……………………………………………………….

6.3.Планы для факторов на 2-х и 3-х уровнях…………………………………

6.4.Метод наименьших квадратов для нелинейных моделей…………………

7. Методы повышения качества проведения эксперимента……………………

7.1.Виды ошибок измерения…………………………………………………….

7.2.Рандомизация…………………………………………………………………

7.3.Параллельные опыты…………………………………………………………

8. Анализ качества модели……………………………………………………….

8.1.Необходимость анализа качества полученной модели……………………

8.2.Дисперсии, используемые в регрессионном анализе……………………..

8.3.Анализ информативности модели………………………………………….

8.4.Анализ адекватности модели……………………………………………….

8.5.Анализ предсказывающих свойств модели……………………………….

9. Планирование отсеивающих экспериментов………………………………..

9.1.Назначение отсеивающих экспериментов…………………………………

9.2.Априорное ранжирование факторов (психологический эксперимент)….

9.3.Насыщенные и сверхнасыщенные планы…………………………………...

9.4.Метод случайного баланса……………………………………………………

9.5.Планы Плакетта-Бермана…………………………………………………….

10. Специальные планы…………………………………………………………..

10.1.Применение пассивных экспериментов…………………………………..

10.2.Латинские, греко-латинские, гипер-греко-латинские квадраты…………

10.3.Методы Тагути: робастное планирование эксперимента………………..

10.4.Планы для смесей…………………………………………………………..

10.5.Планирование экспериментов при наличии неоднородностей………….

Заключение………………………………………………………………………..

Рекомендуемая литература………………………………………………………

Приложение 1. Справочные таблицы……………………………………………

Приложение 2. Исходные данные для генерации планов………………………

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ

Таблица 1. Критические значения коэффициента Стьюдента (t-критерия) для различной доверительной вероятности p и числа степеней свободы f

59

60