Senikov_POE 3к

формируются строки матрицы случайного баланса. При этом, очевидно, возможна ситуация, когда некоторые строки матрицы ПФЭ будут встречаться в общей матрице несколько раз, в то время как другие – ни разу (см. табл.9.1).

Таблица 9.1. Матрица плана и результаты эксперимента МСБ

На следующем этапе полученный экспериментальный материал анализируется с помощью диаграмм рассеивания результатов наблюдений по отдельным факторам (см. рис.9.2) С этой целью для каждого исследуемого фактора на графике проводится своя ордината. Слева от неё отмечаются точками те значения выходной величины Y, которые соответствуют положению данного фактора на нижнем уровне «–» варьирования, а справа - полученные при положительных уровнях «+» данного фактора.

Далее находятся медианы отдельно для точек, расположенных слева и справа от ординаты каждого фактора. Разность между медианой уровня «+» и медианой «– » называется вкладом данного фактора (эффекта) и обозначается Вхi. Чем больше разность между медианами, тем больше воздействие соответствующего фактора.

41

почти ортогональных) планов. Таким образом, создались все предпосылки для модификации МСБ.

9.5. Планы Плакетта-Бермана

Плакетт и Берман расширили класс насыщенных ортогональных планов эксперимента за счет конструирования специальных матриц плана. Число экспериментов в этих матрицах кратно четырем (N=4k), и с их помощью можно исследовать влияние (4k-1) факторов (k=2 (1) 25, k≠23). При 4k=2n планы Плакетта-Бермана совпадают с насыщенными регулярными дробными факторными планами. Поскольку эти планы являются ортогональными, линейные эффекты факторов находятся независимо друг от друга.

В Приложении 2 приведены первые строки матриц планов, содержащих от 8 до 72 экспериментов. Полные матрицы планов конструируются следующим образом: исходя из заданной первой строки, вторую и последующие строки получают путем сдвига всех элементов предыдущей строки на одну позицию вправо (или влево) и перестановки последнего (первого) элемента на первую (последнюю) позицию. Этот процесс повторяется (N-2) раз. Последняя строка состоит только из элементов -1 (-). Матрица плана имеет размерность N(N–1).

Таблица 9.2. Пример плана Плакетта-Бермана для 15-ти факторов

Чтобы получить план Плакетта–Бермана для N=16, выбирается первая строка плана из Приложения 2 и применяется сформулированное правило. Кроме того, добавляется еще строка с элементами «–».

Вслед за реализацией плана эксперимента производится обработка его результатов, которая состоит из следующих операций:

43

1. Расчет эффектов отдельных факторов.

Оценка эффекта Bi равна разности между суммами значений целевой функции для фактора xi на уровнях +1 и -1, поделенной на N/2:

Из матрицы плана следует, что оценки эффектов могут быть рассчитаны независимо друг от друга (свойство ортогональности). Значения âi равны половинам соответствующих оценок эффектов.

2. Проверка значимости параметров.

Для выявления существенных факторов используется t-критерий и проверяется условие

| âi |≥tКРsi,

где tКР – критическое значение t-распределения для уровня значимости α и φ степеней свободы; s2i –оценка дисперсии коэффициента âi.

Дисперсия ошибок наблюдений оценивается с помощью специальных экспериментов, например дублированием наблюдений или введением в план фиктивных факторов от xi+1 до xN-1. Если, например, план строится для анализа 12 факторов, то можно добавить к нему 3 фиктивных фактора и применить план типа N=16. Эффекты этих фиктивных переменных будут равны нулю лишь в том случае, если не имеется взаимодействий и измерения являются абсолютно точными. Поскольку на практике это обычно не выполняется, их можно использовать для расчета оценки дисперсии наблюдений.

Обозначим

s2l=4k(â2i+1+ â2i+2+…+ â2N+1)/(4k-l-1)

и

sl=sqrt(s2l)

Уровень значимости обычно выбирают равным α=0,05 и из таблиц t- распределения находят значение t0,05[4k-l-1]. Дисперсия оценок параметров âi равна

s2i=s2l/4k.

Значимость параметров проверяется обычным способом путем проверки неравенства

| âi |≥tКРsi.

44

где tγ – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности γ (см. табл.1 Приложения 1).

3.Проводятся опыты пассивного эксперимента. Проведение опытов включает:

наблюдение (измерение) значений факторов для объекта исследования;

регистрацию (измерение) значения выходного параметра, соответствующего наблюдаемым значениям факторов.

Результаты опытов рекомендуется сводить в таблицу вида (см. табл.10.1).

Таблица 10.1. Рекомендуемая форма записи результатов пассивного эксперимента

Такая таблица удобна тем, что приводимая в ней информация, может сразу вводиться для обработки в ЭВМ, без переписывания и систематизации условий и результатов опытов.

4.Выполняется статистическая обработка результатов опытов. В общем случае сложность математической обработки зависит от того, коррелированны ли между собой факторы.

Статистическая обработка в настоящее время, как правило, выполняется на ЭВМ с использованием библиотечных программ.

По результатам статистической обработки строят модели в виде уравнения регрессии. Часто вначале строят линейную модель

y=a0+a1x1+…+akxk, ()

где y – параметр оптимизации; x1,…,xk – факторы; k – количество факторов, принятых во внимание; a0, a1,…,ak – коэффициенты модели, получаемые из эксперимента.

10.2. Латинские, греко-латинские, гипер-греко-латинские квадраты

Планы на латинских квадратах следует применять только, когда интересующие нас факторы имеют более двух уровней, и заранее известно, что между факторами нет взаимодействий или ими можно пренебречь [12].

46

Пусть имеется 3 фактора: x1, x2, x3, каждый из которых может находиться на четырех уровнях. Тогда план на латинских квадратах будет выглядеть следующим образом:

Таблица 10.2 . Латинский квадрат (слева), план на его основе (справа)

Приведенный в табл.10.2 латинский квадрат является лишь одним из трех возможных расположений уровней факторов, позволяющих получить несмещенные оценки коэффициентов модели.

Замечательное свойство латинских квадратов состоит в том, что они могут накладываться друг на друга, образуя Греко-латинские квадраты. Например, латинские квадраты 1 и 2 (см. табл.10.3) в результате наложения дадут греко-латинский квадрат (см. табл.10.4). Если к получившемуся греко-латинскому квадрату добавить еще один латинский квадрат, то можно получить гипер-греко-латинский квадрат

(см. табл.10.5).

Таблица 10.3. Варианты латинских квадратов.

Таблица 10.4. Греко-латинский квадрат (слева) – результат наложения латинских квадратов 1 и 2, план на его основе (справа)

Таблица 10.5. Гипер-греко-латинский квадрат (слева) – результат наложения латинских квадратов 1, 2 и 3, план на его основе (справа)

47

10.3. Методы Тагути: робастное планирование эксперимента

Методы Тагути используются в промышленности для управления качеством продукции. «Робастность» заключается в нахождении таких значений управляющих сигналов – факторов, находящихся под контролем оператора, при которых влияние шума – факторов, находящихся вне контроля оператора, минимально.

Т.о. имеет место максимизация отношения Сигнал/Шум. В идеальном случае процесс или продукт будет реагировать только на сигналы оператора, и не будет реагировать на случайный шум.

Суть робастного планирования эксперимента:

–определяются управляющие факторы, которые могут быть установлены оператором, выбирается количество уровней этих факторов;

–выбирается план эксперимента (в терминологии Тагути – ортогональный массив);

–находится способ измерения интересующей характеристики качества (см. соотношение Сигнал/Шум, предложенные Тагути);

–проводится эксперимент, включая параллельные опыты для оценки воспроизводимости;

–строится диаграмма средних и выявляются факторы, наиболее сильно влияющие на выбранное отношение Сигнал/Шум;

–процесс регулируется до достижения максимального соотношения Сигнал/Шум.

Отношения Сигнал/Шум, предложенные Тагути. Максимизация этих отношений приводит к возрастанию качества:

«Меньше – лучше». Используется, когда необходимо минимизировать число появлений некоторых дефектов

10log10 1/n n (yi2) ,

i 1

где n – число параллельных опытов.

«Больше – лучше». Используется, когда необходимо максимизировать некоторый показатель качества, например прочность

10log10 1/n n (1/ yi2) .

i 1

«Номинальное – наилучшее значение». Используется, когда идеальное качество совпадает с конкретным номинальным значением. Имеет место фиксированная величина сигнала (номинальное значение - Mean), и дисперсия - Variance вокруг этого значения рассматривается как результат действия шумов:

49

10log10 (Mean2 /Variance).

«Цель со знаком». Используется, когда характеристика качества имеет идеальное значение – ноль и могут встречаться как положительные, так и отрицательные значения качества – отклонения от нулевого значения

10log10 (s2) ,

где s – дисперсия характеристики качества по измерениям.

«Доля дефектов». Используется для минимизации отходов, минимизации доли пациентов, у которых развиваются побочные реакции на препарат, и т.д.

10log10 p/ 1 p ,

где p – доля дефектных изделий.

«Упорядоченные категории» (аккумуляционный анализ). Используется, если характеристики качества могут быть получены только в терминах категорий, например, покупатели могут категоризировать товар как превосходный, хороший, средний или ниже среднего. В этом случае максимизируется количество продуктов, оцениваемых как превосходные и хорошие. Обычно результат аккумуляционного анализа представляется в виде гистограммы.

В качестве планов экспериментов Тагути предложил систему табулированных, ортогональных планов, позволяющих оценить максимальное число главных эффектов при помощи минимального числа опытов в эксперименте. В зависимости от числа рассматриваемых управляемых факторов используются: ПФЭ, ДФЭ, Планы Бокса-Бенкена, латинские и греко-латинские квадраты, планы Плакетта-Бермана

[12].

Визуализация итогов эксперимента состоит в нанесении на график средних (см. рис.10.1) по уровням факторов. По этой диаграмме легко могут быть установлены оптимальные значения отношения Сигнал/Шум каждого фактора.

10.4. Планы для смесей

Назначение: используются, когда анализируются смеси компонент, например пищевые продукты, бытовая и промышленная химия, лекарства и т.п [12].

Ограничение: компоненты, участвующие в смеси в сумме должны давать константу, например 100%.

Одним из способов, с помощью которого могут быть представлены пропорции в смеси, являются треугольные диаграммы (диаграммы на треугольнике). Напри-

мер, предположим, что есть смесь, которая состоит из 3 компонент A, B, C. Любая смесь трех компонент может быть представлена точкой в системе координат на тре-

50