Senikov_POE 3к

ние между экспериментальными и расчетными данными будут минимальными, а, в идеальном случае, равны нулю. Процесс оптимизации носит итерационный характер и длится до тех пор, пока либо функция ошибки не снизится до заданного уровня, либо пока не исчерпается количество заданных итераций алгоритма оптимизации. В качестве функции ошибки используется сумма квадратов разностей измеренных и расчетных на данной итерации значений.

Рис.6.2. Алгоритм «подгонки» модели в динамике: а – в начале работе алгоритма коэффициентам модели присваиваются случайные или заданные пользователем значения, б и в – изменение оценок коэффициентов модели в ходе работы алгоритма, г – оценки коэффициентов модели приближаются к оптимальным, д – конец работы алгоритма, оценки коэффициентов достигли оптимальных значений.

Достоинством нелинейного МНК является его универсальность. Его можно применять для большинства существующих планов эксперимента, в том числе для нахождения коэффициентов линейных моделей. Используется в большинстве программных пакетов для обработки результатов эксперимента. Метод требует наличия средств вычислительной техники. Метод наименьших квадратов применяют только при обработке ненасыщенных и насыщенных планов эксперимента, и он не применим для сверхнасыщенного планирования.

7. МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Эксперимент весьма требователен к точности измерений при фиксировании факторов и при оценке значений критериев оптимизации в отдельных опытах. Задачей измерения является не только определение значения самой измеряемой величины, но и также и оценка погрешности, допущенной при измерении (ошибки измерения).

7.1.Виды ошибок измерений

Грубые ошибки (промахи) – результат измерений резко отличается от других. Причины появления. Нарушения условий измерений: неверные показания

прибора, невнимательность исследователя.

Меры борьбы. Проверить измерения другим исследователем, которому неизвестны результаты, полученные первым. Повтор измерений спустя некоторое время.

31

Систематические ошибки – воздействие факторов, которые проявляются одинаково при многократном повторении одних и тех же измерений.

Причины появления. Например, при измерениях прибором с неправильной регулировкой, приведшей к смещению начала отсчета.

Меры борьбы. Измерения разными приборами или разными методами одних и тех же величин. После обнаружения устраняются путем введения необходимых поправок, если ошибка известной природы и известной величины. Рандомизация – перевод систематических ошибок в случайные, если ошибки известного происхождения, но неизвестной величины либо ошибки неизвестного происхождения.

Случайные ошибки – воздействие факторов, которые неодинаковы при каждом измерении и не могут быть учтены в отдельности.

Причины появления. Случайные ошибки связаны с суммарным эффектом влияния многих факторов, например, изменение погодных условий, разница показателей различных партий сырья и т.д.

Меры борьбы. Бороться со случайными ошибками трудно, но их величину можно оценить.

При обнаружении грубой ошибки рекомендуется сразу же отбросить соответствующий результат измерения. При проведении исследований, связанных с планированием эксперимента, до начала обработки экспериментальных данных все возможные грубые и систематические ошибки должны быть выявлены и устранены.

Случайные ошибки обычно характеризуются определенным законом их распределения. Очень часто распределение случайных величин, в том числе случайных ошибок измерения, подчиняется закону Гаусса, который относится к так называемому нормальному распределению. При оценке результатов измерений важно знать не только точность, но и надежность результатов. Степень надежности полученного результата можно оценить, если известна его доверительная вероятность. На практике очень часто принимают доверительную вероятность a равную 0,95 (или 95%). При этом доверительные границы для среднего значения результата измерений можно найти по выражению

y= y± Δy= y±1,96 σ , n

где y - среднее арифметическое случайной величины; б – средняя квадратичная ошибка; n – число повторных измерений.

Величину y , которая считается наиболее вероятным значением измеряемой величины, находят по формуле

u

yi

y= i=1 , n

где: yi - измеряемые значения, i – номер опыта.

Среднюю квадратичную ошибку определяют из выражения

32

N

(yi y)2

n 1

Величина f = n-1 называется степенью свободы, под которой понимается число независимых сравнений или число независимых измерений (общее число измерений минус число наложенных связей). В нашем случае на измерения наложена одна связь (для вычислений требуется знание среднего значения) и поэтому f = n-1.

Вычисления облегчаются при использовании таблицы 7.1, в которой приводятся доверительные вероятности a для величины Δy, выраженных в долях средней

Таблица 7.1. Вспомогательная таблица для нахождения доверительной вероятности a

До сих пор речь шла о доверительных вероятностях для отдельного измерения yi. На практике важнее знать о допустимых отклонениях среднего арифметического

y от истинного значения y. Соответствующие задачи могут быть решены, если Δy определяется из следующего соотношения:

Δy=±

ts

n

где t – критерий Стьюдента; s – средняя квадратичная ошибка; n – число измерений. Критерий Стьюдента – характеристика, сходная с θ. Этот критерий играет роль θ в тех случаях, когда число измерений, учитываемых при определении средней квадратичной ошибки, не очень велико. Значения критерия Стьюдента при разных a и n приведены в табл.1 Приложения 1. С учетом последнего выражения доверительные границы для среднего значения результата измерения можно записать в следующем виде:

7.2. Рандомизация

Термин «рандомизация» происходит от английского слова random – случайный. Чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызванных внешними условиями (переменой температуры, сырья, исполнителей и т.д.), рекомендуется случайная последовательность при постановке опытов, запланированной матрицей.

33

Рассмотрим матрицу планирования эксперимента типа 22. Предположим, что, начиная с третьего опыта, в измеренных данных появилась систематическая ошибка

е (см. табл.7.2).

Таблица 7.2. Матрица планирования эксперимента 22

Рассчитаем в коэффициенты модели с учетом ошибки:

a’0=(y1+y2+y3+e+y4+e)/4=a0+e/2, a’1=(-y1-y2+y3+e+y4+e)/4=a1+e/2, a’2=(-y1+y2-y3-e+y4+e)/4=a2, a’12=(y1-y2-y3-e+y4+e)/4=a12.

Изменим порядок опытов (таблица 7.3) и снова рассчитаем коэффициенты мо-

дели.

Таблица 7.3. Рандомизированная матрица планирования эксперимента 22

a’0=(y1+y2+e+y3+e+y4)/4=a0+e/2, a’1=(-y1-y2-e+y3+e+y4)/4=a1 a’2=(-y1+y2+e-y3-e+y4)/4=a2 a’12=(y1-y2-e-y3-e+y4)/4=a12-e/2.

Видно, что ошибка сместилась в область менее значимых коэффициентов – взаимодействий. Однако с ошибкой остался постоянный член уравнения регрессии a0. Но, поскольку данная ошибка носит систематический характер, то после построения модели эту ошибку легко устранить введением соответствующей поправки e/2.

На практике неизвестно, на какой именно коэффициент влияет ошибка, поэтому опыты располагают в случайном порядке, используя таблицы, либо датчики случайных чисел. Выбранную случайным образом последовательность опытов не рекомендуется нарушать.

34

Таким образом - рандомизация – придание случайного характера порядку проведения опытов с целью борьбы с систематическими ошибками, когда заранее неизвестно в каких опытах она будет.

7.3. Параллельные опыты

Любой эксперимент сопровождается погрешностями (ошибками воспроизводимости). Для оценки воспроизводимости осуществляют параллельные опыты, т.е. каждый опыт матрицы планирования выполняют в конечном итоге несколько раз. Число серий n характеризует параллельность опытов матрицы планирования. Каждая серия должна включать N неповторяющихся опытов матрицы планирования (см. табл.7.4). Число параллельных опытов, а, следовательно, и число серий опытов n рекомендуется выбирать из условия n≥2-5.

Отметим, что оценка воспроизводимости опытов, по сути, сводится к расчету так называемой дисперсии воспроизводимости. Если эта дисперсия известна априорно или же каким-либо способом может быть оценена до проведения эксперимента, то параллельные опыты не обязательны.

Таблица 7.4. Неправильный и правильный порядок проведения параллельных опытов

8.АНАЛИЗ КАЧЕСТВА МОДЕЛИ

8.1.Необходимость анализа качества полученной модели

Перед использованием модели обязательно следует провести комплексную оценку её статистических и потребительских свойств. В результате анализа делается вывод либо о возможности использования полученной модели, либо, если модели не удовлетворяет требуемым требованиям, о целесообразности построения более сложной модели. Комплексная оценка включает себя проверку: информативности, адекватности, предсказывающих свойств модели [7].

8.2. Дисперсии, используемые в регрессионном анализе

При анализе качества используют некоторые дисперсий:

дисперсия воспроизводимости (S2ВОСПР)

35

N m

Yij Yi 2 / N(n 1 ),

i=1 j=1

остаточная дисперсия (S2ОСТ)

N

Yi Yˆi 2 /(N k),

j=1

общая дисперсия (дисперсия относительно общего среднего)

N

(Yi Y )2 /(N 1 ),

j=1

дисперсия, объясняемая моделью

N

Yˆi Y 2 /(k 1 ),

j=1

где: N – число опытов; k – число членов модели; n – число параллельных опытов в каждом эксперименте, Yij – значение отклика в i-ом эксперименте j-м повторе; Yi - среднее значение по повторным опытам в i-м эксперименте; Yˆi - значение откли-

ка, рассчитанное для i-го эксперимента по модели; Y - общее среднее.

8.3. Анализ информативности модели

Назначение: результат проверки информативности модели отвечает на вопрос: насколько качественно проведен эксперимент, то есть, насколько точно в точках проведения эксперимента измеренные данные совпадают с данными, рассчитанными по полученной модели.

Необходимое условие для оценки информативности: величина множественного коэффициента детерминации R2 должна быть как можно ближе к единице. Величина R2 представляет собой долю общей суммы квадратов, объясняемой моделью

Эмпирически установлено, что для активного эксперимента величина R2 должна быть не менее 0,96-0,97.

Достаточным условием для оценки информативности является проверка значимости коэффициента множественной корреляции по критерию Фишера

S2R

FR = S2ОСТ > Fα ,υR ,υОСТ ,

36

где υR ,υОСТ - степени свободы для дисперсии, объясняемой моделью и остаточной дисперсией соответственно, Fα ,υR ,υОСТ - табличное значения критерия Фишера

(см. табл. 2 Приложения 1).

8.4. Анализ адекватности модели

Проверка адекватности модели отвечает на вопрос: насколько модель соответствует описываемому процессу или объекту, но окончательное решение об адекватности модели следует принимать, исходя из пригодности модели к практическому применению. То есть формально модель может быть неадекватной, а для пользователя, с прикладной точки зрения, процесс описывается адекватно.

Проверка адекватности сводится к проверке по критерию Фишера принадлежности дисперсии воспроизводимости и остаточной дисперсии к одной генеральной совокупности. При положительном ответе (F-табличное меньше F-расчетного) модель считается адекватной с заданным уровнем значимости, при этом различие дисперсий статистически незначимо.

При наличии параллельных опытов адекватность модели проверяют по критерию Фишера

F= S2ВОСП / S2ОСТ <Fα,(n 1 )N,N k .

Вслучае, когда параллельные опыты отсутствуют, модель считается адекватной, если выполняется условие

Расчетное значение F-критерия всегда должно быть больше единицы (то есть это отношение большей дисперсии к меньшей). Если оно оказалось меньше единицы, его необходимо пересчитать.

8.5. Анализ предсказывающих свойств модели

Проверкой предсказывающих свойств является проверка адекватности модели по контрольной выборке. Целью проверки является ответ на вопрос: в состоянии ли полученная модель достаточно точно описывать объект или процесс в точках факторного пространства, находящихся в пределах используемых интервалов варьирования, но не совпадающих с теми, в которых проводился эксперимент. Предсказания по модели с указанными ограничениями являются интерполяцией, а не экстраполяцией.

37

Оценка предсказывающих свойств обычно производится по среднему или максимальному проценту отклонения предсказанных по модели и экспериментальных значений. Для этого необходимо просмотреть таблицу остатков. Для инженерных задач допустимо 10-15 процентное различие экспериментальных и расчетных данных. Разумеется, чем больше количество используемых контрольных точек, тем лучше оценка предсказывающих свойств.

Плохие предсказывающие свойства могут быть обусловлены неправильным выбором модели или тем, что она усложнена за счет «баластных» факторов. Эти эффекты можно обнаружить по диаграмме распределения силы влияния факторов. В такой ситуации необходимо повысить барьер для включения факторов в модель.

9.ПЛАНИРОВАНИЕ ОТСЕИВАЮЩИХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

9.1.Назначение отсеивающих экспериментов

При очень большом числе факторов непосредственное привлечение их к составлению математического описания исследуемого объекта методами ПФЭ или ДФЭ может потребовать непомерного увеличения объема экспериментальной работы, что редко выполнимо в силу экономических, технологических и прочих ограничений. Таким образом, возникает необходимость в предварительном отсеивании несущественных и выделении тех факторов процесса (объекта), которые оказывают наиболее заметное влияние на целевую функцию [1,2].

9.2. Априорное ранжирование факторов (психологический эксперимент)

На стадии предварительного изучения объекта исследования при формализации априорных сведений иногда полезно проведение психологического эксперимента, заключающегося в объективной обработке данных, полученных в результате опроса специалистов или из исследований, опубликованных в литературе. Такой эксперимент позволяет более правильно спроектировать объект исследования, принять или отвергнуть некоторые предварительные гипотезы, дать сравнительную оценку влияния различных факторов на параметры оптимизации и тем самым правильно отобрать факторы для последующего активного эксперимента, обоснованно исключив некоторые из них из дальнейшего рассмотрения.

Особенность метода априорного ранжирования факторов заключается в том, что факторы ранжируются в порядке убывания вносимого им вклада. Вклад каждого фактора оценивается по величине ранга – места, которое отведено исследователем (специалистом при опросе, экспертом) данному фактору при ранжировании всех факторов с учетом их предполагаемого (количественно неизвестного) влияния на параметры оптимизации. При сборе мнений путем опроса специалистов каждому из них предлагается заполнить анкету, в которой перечислены факторы, их размерность и предполагаемые интервалы варьирования. Заполняя анкету, специалист определяет место факторов в ранжированном ряду. Одновременно он может включить дополнительные факторы или высказать мнение об изменении интервалов варьирования. Далее строят среднюю диаграмму рангов, откладывая по одной оси факторы,

38

а по другой – соответствующие суммы рангов. Чем меньше сумма рангов данного фактора, тем выше его место в диаграмме. С помощью последней оценивается значимость факторов (см. рис. 9.1).

Рис.9.1. Диаграмма значимости факторов

В случае неравномерного экспоненциального убывания распределения часть факторов можно исключить из дальнейшего рассмотрения, отнеся их влияние к шумовому полю. Если же их распределение равномерное, то в эксперимент рекомендуется включать все факторы.

Построение средней априорной диаграммы рангов по известным литературным источникам полезно с той точки зрения, что она по существу является сокращенным литературным обзором по объему исследования.

9.3. Насыщенные и сверхнасыщенные планы

Применение насыщенных регулярных дробных факторных планов (полуреплик, четвертьреплик и т.д.) оказывается возможным лишь для относительно небольшого числа факторов (n = 3, 7, 15, 31, 63 и т.д.). Использование же ненасыщенных дробных факторных планов, как правило, бывает не очень эффективным, так как число экспериментов значительно превышает число определяемых параметров. Например, при исследовании действия 16 факторов нужно применять дробный факторный план типа 216-11, который состоит из 32 экспериментов. Если число факторов очень велико, имеет смысл применять сверхнасыщенные планы (число всех изучаемых факторов превышает число экспериментов), чтобы число экспериментов оставалось в разумных пределах.

N>k – ненасыщенные планы,

N~k – насыщенные планы,

N<k – сверхнасыщенные планы.

9.4. Метод случайного баланса

39

В качестве планов для проведения отсеивающих экспериментов возможно применение ПФЭ и ДФЭ, однако существует ряд причин, по которым их применение может вызвать ряд затруднений, а именно:

в производственных условиях трудно обеспечить независимость факторов, ортогональность и симметричность плана эксперимента, а также требование гомоскедастичности, т.е. равенства дисперсий условных распределений плотности вероятности f(y/xk).

количество рассматриваемых факторов может быть достаточно большим даже для ДФЭ.

Метод случайного баланса (МСБ) является сверхнасыщенным планом, для которых возможно нарушение симметричности. Важнейшей теоретической предпосылкой МСБ служит априорное знание того, что из всей совокупности рассматриваемых факторов только небольшое их число действительно являются значимыми - остальные могут быть отнесены к «шумовому полю».

Цель любого отсеивающего эксперимента - произвести предварительное расщепление (сортировку) оценок коэффициентов математической модели, отнеся большую часть эффектов к шумовому полю. Тогда оставшиеся эффекты могут быть оценены количественно. Отсюда следует, что метод случайного баланса обладает меньшей чувствительностью, чем ПФЭ или ДФЭ (под чувствительностью метода понимается способность выделять коэффициенты регрессии, значимо отличающиеся от нуля). Зато МСБ обладает большей разрешающей способностью: в благоприятных условиях он позволяет выделить раздельно формирующиеся эффекты среди очень большого числа рассматриваемых факторов.

Суть МСБ заключается в том, что вместо дробных реплик, которые представляют собой систематические выборки из полного факторного эксперимента, предлагается брать случайные выборки. При этом совместные оценки оказываются смешанными некоторым случайным образом.

Построение плана эксперимента все факторы разбиваются на группы (обычно до 4-6 факторов в группе), и для каждой из них выбирается ПФЭ или ДФЭ возможно меньшего объема. Разбивку на группы можно связать с физикой исследуемого процесса (объекта), либо формально. При наличии априорной информация о том, какие факторы являются доминирующими, целесообразно так составить план эксперимента, чтобы эти факторы вошли в одну группу. Полностью план проведения эксперимента методом случайного баланса образуется путем случайного смешивания строк соответствующих групповых планов.

Например: пусть требуется исследовать 21 эффект (6 линейных эффектов и 15 парных взаимодействий) от 6 факторов и выделить наиболее существенные из них с помощью наибольшего числа N (например всего 8 опытов).

Разобьем факторы на две группы: 1) х1, х2, х3; 2) х4, х5, х6 и используем планы ПФЭ типа 23. С помощью таблицы равномерно распределенных случайных чисел для каждой группы факторов случайным образом выбираются строки, из которых и

40