- •Вопрос 2: Операция умножения матриц и ее свойства
- •16. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
- •19.Следствие из теоремы о базисном миноре: критерий линейной зависимости системы из m строк или столбцов
- •20. Понятие ранга системы столбцов(строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы
- •21 Вопрос
- •24. Однородные системы линейных алгебраических уравнений: Свойства решений, эквивалентное преобразование системы.
- •25. Понятие о базисных и свободных неизвестных, условие нетривиальной совместности однородной системы.
- •31.Векторы в пространстве, линейные операции над ними и их свойства.
- •36. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •37. Векторное произведение векторов и его свойства
- •39. Смешанное произведение векторов : Свйосвта и вычесление
- •40. Общее уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках
- •41. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •43. Уравнения прямой линии в пространстве: Общие уравнения, каноничекие и параметрические уравнения.
- •47Переход к новому базису. М атрица перехода. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
- •48. Линейные операторы в линейном пространстве. Матрица оператора и ее использование при осуществлении действия оператора.
- •51(2 Листа!!!!!!!!!). Линейная независимость собственных векторов. Теорема о матрице линейного оператора в базисе из собственных векторов. Оператор простой структуры
- •52(2 Листа). Понятие евклидова пространства.Аксиомы. Неравенство Коши-Буняковского
- •61. Тригонометрическая форма комплексного числа Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа(2 страницы)
41. Взаимное расположение двух плоскостей.
Возможны два случая взаимного расположения двух плоскостей в пространстве:
Параллельны
Пересекаться
Опр. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, в противном случаи они пересекаются.
Теорема1: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство:
Пусть и - данные плоскости, а1 и а2 - прямые в плоскости , пересекающиеся в точке А, в1 и в2 - соответственно параллельные им прямые в
плоскости . Допустим, что плоскости и не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме прямые а1 и а2, как параллельные прямым в1и в2, параллельны плоскости , и поэтому они не
пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости через точку А проходят две прямые (а1 и а2) , параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию ЧТД.
Перпендикулярные плоскости: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
Теорема2: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Доказательство:
Пусть - плоскость, в -перпендикулярная ей прямая, - плоскость, проходящая через прямую в, с - прямая, по которой пересекаются плоскости и . Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой в с плоскостью прямую а,
перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и в плоскость . Она перпендикулярна прямой с, т.к. прямая с перпендикулярна прямым а и в. Т. к. прямые а и в перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. ч.т.д.
42. Нормальное уравнение плоскости и его свойства
Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
в векторной форме:
где - единичный вектор,— расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель
(знаки ипротивоположны).
43. Уравнения прямой линии в пространстве: Общие уравнения, каноничекие и параметрические уравнения.
Канонические уравнения:
Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку и параллельную данному направляющему вектору. Заметим, что точкалежит на этой прямой тогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны. Это означает, что координаты этих векторов пропорциональны:
.
Эти уравнения называют каноническими. Заметим, что одна или две координаты направляющего вектора могут оказаться равными нулю. Но мы воспринимаем это как пропорцию: мы понимаем как равенство.
Общие уравнения:
(A1x+B1y+C1z+D1=0
(A2x+B2y+C2z+D2=0
Где коэффиценты А1-С1 не пропорциональны A2-C2,что равносильно ее заданию как линии пересечения плоскостей
Параметрические:
Откладывая от точки векторыдля различных значений, коллинеарные направляющему вектору, мы будем получать на конце отложенных векторов различные точки нашей прямой. Из равенстваследует:
или
Переменную величину называют параметром. Поскольку для любой точки прямой найдется соответствующее значение параметра и поскольку различным значениям параметра соответствуют различные точки прямой, то существует взаимно однозначное соответствие между значениями параметра и точками прямой. Когда параметрпробегает все действительные числа отдо, соответствующая точкапробегает всю прямую.
44. Понятие линейного пространства. Аксиомы. Примеры линейных пространств
Пример линейного пространства – множество всех геометрических векторов.
Линейное, иливекторноепространствонадполемP— этонепустое множествоL, на котором введеныоперации
сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемыйи
умножения на скаляр(то есть элемент поляP), то есть любому элементу и любому элементуставится в соответствие элемент из, обозначаемый.
При этом на операции накладываются следующие условия:
, для любых (коммутативность сложения);
, для любых (ассоциативность сложения);
существует такой элемент , чтодля любого(существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;
для любого существует такой элемент, что(существование противоположного элемента).
(ассоциативность умножения на скаляр);
(умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
(дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).
Элементы множества Lназываютвекторами, а элементы поляP—скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.
Простейшие свойства
Векторное пространство является абелевой группойпо сложению.
Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
для любого .
Для любого противоположный элементявляется единственным, что вытекает из групповых свойств.
для любого .
для любых и.
для любого .
Элементы линейного пространства называются векторами. Пространство называется действительным, если в нем оперция умножения векторов на число определена только для действительных числе, и комплексным, если эта оперкция определана только для комплексных чисел.
45. Базис и размерност линейного прорстранства, связь между ними.
Конечная сумма вида
называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами.
Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
Элементы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная θ. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом(базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:
Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.
Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
.
46. Координты вектора в данном базисе. Линейные операции с векторами в координатной форме
п.4. Линейные операции с векторами в координатной форме записи.
Пусть – базиспространстваи– два его произвольных вектора. Пустьи–записьэтихвектороввкоординатнойформе. Пусть, далее,– произвольное действительное число. В этих обозначениях имеет место следующая теорема.
Теорема. (О линейных операциях с векторами в координатнойформе.)
1) ;
2) .
Пусть Ln – произвольное n-мерное пространство, B = (e1,….,en) - фиксированный базис в нем. Тогда всякому вектору x пренадлежащему Ln взаимно однозначно соответствует столбец его координат в этом базисе.
X = x1e1+….xnen X = (X1
….
XN)