20. Понятие ранга системы столбцов(строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы

Определение: Ранг матрицы A – максимальный порядок неравного нулю минора.

Обозначается: RangA, r(A).

Ответ: Теорема (о ранге матрицы): Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов).

Доказательство: Докажем для столбцов. Пусть RangA=r. Надо доказать, что r=k, где k – максимальное число независимых столбцов любого множеств, состоящего из больше, чем k столбцов.

Предположим, что k<r. Это невозможно, т.к. существует к линейно независимых базисных столбцов. Следовательно R≥r.

Предположим, что k>r. Докажем, что это невозможно.

Пусть столбцы C₁,…,C_k – линейно независимы. Обозначим B₁,…,B_k – базисные столбцы (может быть, некоторые из столбцов C совпадают с столбцами B). Каждый из столбцов C₁,…,C_k может быть записан в виде линейной комбинации базисных столбцов:

Составим некоторую линейную комбинацию из столбцов. Тогда достаточно будет выражения равенства:

матричное равенство. m уравнений в правой части – 0, относительно k неизвестных β₁,…,β_k, k>m

При рассмотрении метода Гаусса докажем, что ненулевое решениетакой системы. Т.е.

не все равны нулю: . Но это противоречит предположению о линейной независимости столбцов C₁,…,C_k

Вывод: k<r – невозможно, k>r – невозможно, следовательно, k=r.

21 Вопрос

Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если, то их ранги равны.

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие:

1. Перестановка строк (столбцов).

2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.

3. Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

4. Вычёркивание строки (столбца), все элементы которой равны нулю.

22. Метод Гаусса вычисления ранга матрицы

Метод Гаусса вычисления ранга матрицы заключается в том, что путем элементарных преобразований можно привести данную матрицу А к виду

b_1l b₁₂ … b_1r … b_1n

B = 0 b₂₂ … b_2r … b_2n

…………………………… ,

0 0 … b_rr … b_rn

в котором все диагональные элементы b_1l, b₂₂, …, b_rr отличны от нуля, а элементы других строк, расположенные ниже диагональных, равны нулю.

Учитывая, что ранг не меняется при элементарных преобразованиях, имеем rang A = rang B.

Короче чтобы треугольный вид, и сколько единичек, такой и ранг

К примеру если в матрице остается ( 1 0 0 )

1. 1 0

0 0 0

0 0 0

Ранг такой матрицы равен 2.

23. Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA^*.

 

            Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x₁  + x₂ + … +x_n

 

            Доказательство.

            1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА^* не изменяют ранга.

            2) Если RgA = RgA^*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

 

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

 

A =

 

~ .RgA = 2.

A* = RgA* = 3.