25 Управляемость, достижимость, наблюдаемость

1) Управляемость Пусть объект описывается в пространстве состояний следующим уравнением: Y(t)= [y(t),U(t),t], z(t)=Ф[y(t),U(t),t] на управление Y нет ограничений. Если можно подобрать такое управление Y(t) ,при котором ОУ из  нач. состояния Y(t0) соответствующего  начальному моменту t0, можно за конечное время (T-t0) перевести в конечное состояние Y(t0)=0 или в иное желаемое состояние, то объект наз. Полностью управляемым по Калману. В случае линейного ОУ определ. Условие управляемости ОУ описывается уравнением: y(t)=Ay(t)+BU(t); z(t)=Cy(t)+DU(t); A,B,C,D матрицы коэффициентов. K=(B:AB:A^2B:A^n-1B) – усл. необходимое по Калману для полной управляем. K (n x nm)- прямоуг. Матрица. N и m – размерности векторов состояния.

2) Достижимость В реальных условиях при наложении ограничений на U(t) объект может оказаться неуправляемым. Состояние (y(T), T) наз. Достижимым из исходного состояния y(t0), t0 относительно Ώ(U, если найдется такое UЛ(U) , при котором объект за конечное время (T-t0) переводится из y(t0) в y(T). Если все достижимые состояния образуют T1 наз областью достижимых состояний в момент T из (y(t0),t0) по отношению Ώ (U) Задача оптимального управления имеет смысл если конечное состояние объекта  m области допустимых состояний.

3) Наблюдаемость Иногда компоненты вектора y(t0) могут не иметь физ.смысла, а находится на основании измеряемых входных U(t) и выходных z(t) координат объекта. Возможность восстановления начального состояния объекта y(t0) по наблюдаемым за выходом объекта z(t) и входом U(t) на некотором временном отрезке (t0,T) наз. наблюдаемостью. Матрица наблюд. H=() Размерность n x nl

26 Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.

Функционал- величина значение которой определяется заданием ф-ии. Пусть задан некоторый класс ф-ий u(t), если каждой ф-ии этого класса можно поставить в соответствие число I, то говорят, что I явл функционалом u(t) и обозначается I(u(t)).

Задан ф-л , гдеt0,T – известные величины. G – извесьтна, однозначна и непрерывна вместе со своими производными до 2ого порядка

, Λ – класс гладких ф-ий, т.е однозначных и непрерывных в промежутке[t0,T] и имеющих непрерывную первую производную. Если задан-е значения ф-ии u(t) в ограниченных точках t0 и T таким образом, что u(t0)…u(T), то ф-ии и проходит через заданные точкиu(t0) и u(T) наз допустимыми.

Требуется среди допустимых ф-ий найти такую, чтобы минимизировать ф-л .

При поиске решения задачи будем сравнивать допустимые ф-ии в определенном смысле близкие друг к другу.

Две ф-ии наз близкими в смысле близости 0 порядка, если мало max значение модуля разности этих ф-ий, т.е u1(t) и u2(t) на отрезке [t0,T] при том что ,.

Две ф-ии наз близкими в смысле 1 порядка, если маоы расстояния и м/у ф-ми и м/у их производными, т.е малы величины ,,.

Т.к ф-л зависит от, то при решении задачисравниваются допустимые ф-ии 1 порядка.

Если значение ф-ла на некоторой кривой меньше, чем на всех других доп-х кривых близких в смысле близости 0 порядка, то на этой кривой достигается сильный минимум.

Если кривые близки в смысле близости 1 порядка, то достигается слабый минимум.

Сильный минимум явл одновременно и слабым, но не наобарот.

В задаче ищем слабый минимум

Необходимо найти условия, кот должна удовлетворять ф-ия u(t) с тем, чтобы при переходе к любой другой ф-ии близкой в смысле близости 1 порядка значения ф-ла увеличивалось.

Предположим решение найдено . Перейдем к другой ф-ии, где-это некоторое малое число,- произвольная гладкая ф-ия.

т.е ф-и u(t) является допустимой.

Ф-ия наз вариацией ф-ии.

Подставим u(t) в выражение и рассмотрим ф-л как ф-ия параметра

.

Разложе эту ф-ию в ряд МакЛорена по степеням :.

Второе и третье слагаемое наз первой и второй вариациями ф-ла.

Покажем, что необходимым условием экстремума ф-ла явл равенство такое, что .

Приращения ф-ла обусловленное переходом ф-ии к ф-ииu(t) записывается: , т.к по определению ф-иивыполняется равенство.

Предположим, что условие не выполняется. Но если на ф-ииф-л достигает наименьшего значения, то должно выполняться непрерывно.

Т.к. слаг-е ряда содержит a²,a³,… при малых a, то /\I>0 при . Нер-во должно вып-ся при любых по знакуa, поэтому - равенство первой вариации функционала – небох усл экстремума функционала. Развернем. Проинтегрируем второе слагаемое по частям. Обозначим

; ;; ;С учетом св-в ф-ии n(t), т.к. n(t0)=n(T)=0; ; Т.к., то

По лемме Лагранжа получаем: -уравнение Эйлера. Необходимое условие минимума функционала I.