Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

коллок

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.03.2015

Размер:

1.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

1.5) Квантильраспределенияxp , 0 p 1.
Составляемирешаемуравнение: F (x) 1 e x p x		ln 1 p	.
Составляемирешаемуравнение: F (x) 1 e x p x	p		.
	p
						1
Содержательныйсмысл . Если X – продолжительностьжизниобъекта,				то		1	–
				то			–

					M X

среднеечисложизней, проживаемыхвединицувремени, илиинтенсивностьпроживания.

3. Нормальноераспределение(гауссовское): N a; 2 .

Опр. С.в. X имеетнормальныйзаконраспределенияспараметрами a, 2 (математическим

ожиданиемa идисперсией 2 ), еслиплотностьэтогораспределенияопределяетсявыражением:

f ( x) 1				( x a)2
f ( x) 1			e	2 2	,	x R .
X

		2
		2
Нормальноераспределениеспараметрами 0;1				называютстандартным. Егоплотность
	f (x) 1		e	x2
	f (x) 1		e	2 (x) .

Характерныеточкиграфикаплотностинормальногораспределения(модаиточкиперегиба)

определяютсясоотношениями:
	1 0,4			1	e 0,5	0,24
f (a)		(модараспределения);	f (a )			.

	2			2

Распределениеобычноиспользуетсявкачествемодели“случайнойошибкиизмерения”. Также частоявляетсяпредельнымдлясуммыслучайныхвеличин, числослагаемыхкоторойвелико(см.

далееЦПТ).

Характеристикинормальногораспределения.

1.1) M X a; 1.2)

D X

2 ,

Вычислим

(x a )2

dx a

M [ X ] x f (x)dx (x a)

2 2

f (x)dx

y x a

e 2 dy a 1 a ;

dy dx

x a

(x a )2

D[X ] (x a)2

dx x a y 2 y2

e 2 dy

													y	2

					2					2	t				; y 2	t
2				y	2	2			y	2	t				; y 2	t
2				y		2			y
	2					2	2					2
		y	e	2 dy			y	e	2 dy

						2										2			dt
2						2										2			dt
							0				2
											y	2t; dy						dt


															2		t
															2		t			2t

				2							dt											2																2						3						2		1				1
		2						t																					1/ 2					t																										2


						2t e																					t							e dt									Ã	2								2	Ã			2			.
					0							2t								0																								2								2				2
					0							2t								0
Аналогично
																																								x a
																																			y
																																			y
																						( x a)2																																					y2
		( x a)2k											1																																						2k		1
													1						e				2 2							dx x a y														y									1				e 2 dy
																							2 2

2 k
											2																																											2
											2																																											2
																																			dx dy


															y2
															y2
			2k						y	2							t									, y 2t , y2 2t ,																					2k
										2							t									, y 2t , y2 2t ,

	2						2k													2																								2									k			t		dt



						y e 2 dy																																													2t e
			2 0												dy										2								dt				dt									2 0												2t
															dy																		dt
																									2						t								2t
																									2						t								2t
													2k 2 k												1											2k 2 k									1
													2k 2 k												k							t				2k 2 k									1


																							t					2 e						dt							k							,
																0																													2
						22 4								1							4 4									3 1												4							3 4
						22 4								1							4 4									3 1												4							3 4
								2																											3 K																		3 0.
																																																				2

			4																																										2
														2									2											2
																																																		2

Примечание1. Производящаяфункция
																																					x a
																																		y
																																		y
																		( x a)					2																																	y2
											1									2																										z a y						1
z ezx																e			2					dx x											a y								e												e 2			dy
z ezx																e			2					dx x											a y								e												e 2			dy
								2																																												2
								2																																												2
																																		dx dy

		y z 2			z 2		z 2			y z 2
	1							1
eza		e		e		dy e za			e		dy
			2		2		2			2


	2							2

Примечание2. Дифференцируяпо выражение

z 2

e za 2 .

( x a)2

dx,

2 2

получим

(x a )2

(x a)

1 2(x a)

2 dx

2 2

или

3 2 .

k 2

Учитывая, что 1, последовательнонайдем

0 2

1 2 , 3 2 2

2 3 4

3!! 4 ,

3 12 3 2 3 4 15 6 5!! 6 .

x a

1.3) Функциянормальногораспределения: F (x) .

x	x	1	e	( x a)2
F (x) f (x)dx		1	e	2 2



	2

		x a
y			x a
y

				1

dx x	a y


				2
				2
dx dy

e 2 dy

x a

		x a


	( y)dy .

Здесь ( x) ( y)dy – функцияраспределениястандартногонормальногораспределения.

Свойства ( x) .

1.( ) 0, ( ) 1.

2.(x) - возрастающаяфункция.

3.(0) 0, поскольку0 – медианастандартногонормальногораспределения.

4.При x 0 ( x) 1 (x), посколькуплощадиподграфиком ( x), соответствующие вероятностям ( x) P X x иP X x 1 (x) совпадают.

1.4) Вычислениенормальныхвероятностей.

x a

1. ЕслиX N

тоP x1

X x2

2. ЕслиX N

тоP X a

2 1.

Неравенство

X a

определяет интервал радиуса ,

симметричный относительно

математическогоожиданияa. Приэтом

a a

P X a

P( a

a )

3. Правило 3 . P

X a

3 2 3

1 0,9973,

т.е.

практическивсезначенияс.в.

X N a; 2

находятсявинтервалеa 3 .

4. Логнормальноераспределение(логарифмическинормальное): LGN a; 2 .

Опр. С.в. X имеет распределение LGN a; 2 , если ее логарифм имеет нормальное

распределениеспараметрами a; 2 .

Плотностьэтогораспределенияопределяетсявыражением:

			1		(ln x a)2
			1			2
f					e	2	, x 0,
					e		, x 0,
	(x)
X				2
		x		2
							x 0.
		0,					x 0.

Можетиспользоватьсядляописанияраспределениядоходовнаселения.

ln x a

1.1) Функциялогнормальногораспределения: F (x) .

Действительно, приx 0

ln x a F (x) P X x P ln X ln x .

							k 2 2											2
							k 2 2									a											2			2
																											2 a
k																		2
1.2) M	X	exp ka									,	M	X e						,		D X				e				e		1 .
									2
															a y									dx
								(ln x a )2					x e					,		dy					,									y2
								(ln x a )2					x e					,		dy					,									y2
				1						2																							1
				1						2													x										1
m xk						e 2 dx																	x			ek (a y )								e 2 dy


k														ln x a																			2
	0	x 2												ln x a																			2
													y
													y


				1		y2													1					( y k )2								k 2 2
	eka				exp						k y		dy eka									exp												dy


		2								2							2										2						2
		2								2							2										2						2
			k 2 2									1		(y k )2														k 2 2
	exp			ka									exp											dy exp					ka					1.


						2													2												2
						2				2									2												2

5. РаспределениеКошиKS ; . РаспределениеКошисовпадаетсраспределениемСтьюдента

соднойстепеньюсвободы.

Опр. С.в. имеет распределение Коши KS ; , если плотность ее распределения

определяетсявыражением:	1
f (x)	1		, x R.

		2
		2
	x
1
1

Графикплотности, какунормального, нохвостыКошимедленнееприближаютсякосиабсцисс.. 5.1) Распределениенеимеетмоментов, таккакинтеграл

		dx
M [ ] x		dx
M [ ] x
			x	2
			x

	1
	1

расходящийся.

5.2) Функцияраспределения:

x	1
F (x)	1			dx
F (x)			2	dx
		x

1
1

1		x	x	1		x		1

	arctg				arctg		.

								2

5.3) Квантильраспределения:

1		x	1		1

	arctg			p xp tg p		.
	arctg			p xp tg p		.
			2		2

Тема11. Распределениевероятностейичисловыехарактеристикислучайноговектора.

Совместное, частноеи условноераспределенияслучайноговектора. Функцияраспределения случайноговектораиеесвойства. Независимыеслучайныевеличины. Нахождениевероятности попаданияслучайноговекторавзаданнуюобласть. Математическоеожиданиеслучайноговектора иегосвойства. Ковариационный(корреляционный) моментиегосвойства. Ковариационная матрицаиеесвойства. Коэффициентлинейнойкорреляциииегосвойства. Математическое ожиданиеидисперсиясреднейарифметической.

	3. Случайныевектора
3.1. Основныепонятия
	T
Опр. 1 , , k	– случайныйвектор, если 1, , k – случайныевеличины.

Можно определить совместное, частные и условные распределения вероятностей вектора. Совместноераспределениеопределяетзаконраспределениявсехкомпонентслучайноговектора. Частные(маргинальные) распределенияпредставляютзаконыраспределениячастикомпонент вектора. Условноераспределениепредставляетзакон распределения одной части компонент векторапризаданныхзначенияхостальныхкомпонент(илинекоторыхдругихкомпонент).

Пример. Распределениенаселенияпоразмерамодежды.

Исчерпывающим образом случайный вектор определяется спомощью совместной функции распределения

F x1 , ,xk		P 1 x1 , , k xk .
	P x

Наиболеепростосовместноераспределениенаходитсядлянезависимыхслучайныхвеличин. Опр. 1 , , k – независимые случайные величины, если для любых x1 , , xk

случайныесобытия x , , x независимывсовокупности.

1 1 k k

Утверждение1. Случайныевеличины 1 , , k независимытогдаитолькотогда, когда

j xj F j xj .

F x1 , , xk P 1 x1 , , k xk P

j 1

Свойствасовместнойфункциираспределения.

0 F x1 , , xk 1.

Являетсянеубывающейинепрерывнойслевапокаждомуаргументу.

x j

F x1, , xk 0.

Еслиодинизаргументов

, то

Частныераспределениясогласованыссовместнымраспределениемсоотношениямивида

F ,

x ,

, x

F ,

x ,

, x , ,

, .

Функцияраспределениявекторапозволяетнайтивероятностьпопаданиявпараллелепипед. В

F x, y , то

двумерномслучае, если X ,Y

P x1 X x2 , y1 Y y2

F x2 , y2

F x2 , y1

F x1 , y2 F x1 , y1 .

Утверждение2. Длялюбойинтегрируемойфункции h

илюбогоборелевскогомножества

B k :


		P B
E h	h x P dx ,	P B

P dx .

	3.2. Числовыехарактеристикислучайноговектора
		T
1.		.
1.	Среднее: E E 1 , , E k	.

2.	Ковариация(ковариационныймомент, корреляционныймомент):

K , cov , E E E .

3.	Ковариационнаяматрица				T
	i	j	k		T
	i	j		E E .
	K , E			E E .
			1

4.	Коэффициенткорреляции

r , K , K , . D D

5. КорреляционнаяматрицаQ r , .
i j	1

3.3. Основныесвойствачисловыххарактеристикслучайноговектора. СвойстваE .

1.	Линейноесвойство: E a b a bE .
	1.1. E const const.	1.2. E b bE .
2.	E 1 k E 1	E k .
3.	Длянезависимыхслучайныхвеличин , иинтегрируемыхфункцийh x , g y

E h g E h E g .

4.Еслисвероятностьюединица , тоE E .

5.Еслисуществуетmk , тодлялюбыхl ,l k существуетml .

6.Длявыпуклойфункцииh x справедливонеравенствоЙенсена

7. Если E h2	,	E g2

Буняковского)

E h h E .

, тосправедливонеравенствоКоши-Шварца(Коши-

	2
	2		2
E h g E h		E g		.

СвойстваK , (длядействительныхслучайныхвеличин).

1.	K , D .						2. K , K , .
2. Линейнойсвойство:								K a b , c d bd K , .
3.	K , E E E .
		n		m			n	m
4.	K
4.	K		,						K , .
			i		j					i j
		i 1		j 1		i 1		j 1

5.Еслислучайныевеличины , независимы, тоонинекоррелированы, т.е. K , 0.

6.Ковариацииограничены: K , D D .

СвойстваD .

1.D 0, причем D 0 тогдаитолькотогда, когдасвероятностьюединица const.

2.D a b b 2D .

2.1. D const 0.

2.2. D b b2D .

2.3. D a D .

	n	n n			n			n	j
3. D	i		i		j i		i
				K ,		D 2		K , .
			i 1 j 1		i 1			i j
	i 1

3.1. Длянезависимыхилипопарнонекоррелированныхслучайныхвеличин , , :

1 n

	n	n
D	i i
D	i 1		D .
	i 1	i 1

3.2. Длянезависимыхилинекоррелированныхслучайныхвеличин , : D D D .

Примечание. КакнайтиD длянезависимыхслучайныхвеличин , ?

Свойстваr , .

1.1 r , 1.

2.r , 1 тогдаитолькотогда, когдаслучайныевеличины , связаны линейной

зависимостью a b . Приэтомr , 1 b 0, r , 1 b 0.

Примечание. Коэффициенткорреляциинеизмеряетсилунелинейнойзависимости. Например, если имеетсимметричноераспределение, тосоднойстороны

r , 2 K , 2 E 3 E E 2 0.

Сдругойстороны и 2 функциональнозависимы.

3.Еслислучайныевеличины , независимы, тоr , 0.

4.Еслиr , 0 ислучайныевеличины , имеютсовместноенормальноераспределение,

тослучайныевеличины , независимы.

3.5. Применениечисловыххарактеристикслучайноговектора.

1. Оценкаэффективностиирискаинвестиционногопортфеля.

Портфельинвестицийвключает k активовсослучайнымидоходностями d1 , , dk ивесами w1 , ,wk . Тогдадоходность, эффективностьирискпортфеляопределяютсявыражениями:

w d

E d w

D d w w

K d , d

E d

j 1

j j

j 1

i 1

j 1

i j

2. Числовыехарактеристикивыборочногосреднего.

Пустьслучайныевеличины X 1, , X n независимыиимеюттожераспределение, чтои . Тогда

j		имеетследующиечисловыехарактеристики:
ихсреднееX	X	имеетследующиечисловыехарактеристики:
	j 1
								D
								D

			E X		E ,	D X .
								n
3. Числовыехарактеристикистандартизованныхслучайныхвеличин.
E		E		– стандартизованныеслучайныевеличины , .
Опр.	,			– стандартизованныеслучайныевеличины , .
s		s

Утверждение3.	E E 0,				D D 1,			K , r , .
	s		s		s		s		s s

4. Вычислениечисловыххарактеристикслучайнойвеличиныметодоминдикаторов.

Пример. Вычислениехарактеристикгипергеометрическогораспределения. Имеетсяпартияиз

N изделий, средикоторых D изделий1-готипа. Положим j 1, если j -м попорядку извлеченоизделие1-готипаи j 0 – впротивномслучае. Тогдаввыборкебезвозвращения

объемаn будетX j изделий1-готипа, котороеимеетгипергеометрическоераспределение

j 1

H N ,D,n .

Изсоображенийсимметриилюбаяизслучайныхвеличин 1 , , n имееттожераспределение,

чтоислучайнаявеличина 1 ; любаяпараизмножестваслучайныхвеличин 1, , n имееттоже распределение, чтоипараслучайныхвеличин 1 , 2 .

Случайнаявеличина 1 имеетбиномиальноераспределениеB 1, . Поэтому

		D
			;
E E			;
j	1	N
		N

		D	D

D j	D 1 1 , j 1, , n.

		N	N

Совместноераспределениепары 1 , 2 определяетсятаблицейследующеговида:


2	0	1
	0	1
1
0	*	*

						D	D 1
		1		*
		1		*		N
						N	N 1
1	2		1				2			1					D D 1
1	2		1				2			1				N N 1
таккакP 1,	1 P 1							P 1\| 1 .
Поэтому									D D 1						D	D 1
1		2							D D 1						D	D 1
1		2
E 0 0 0 1 1																		,
									N	N 1					N	N 1
					D D 1			2			D N D						D				D	1
					D D 1			D									D				D	1
K ,																				1			.
K ,													2							1			.
1		2			N N 1								2						N		N	N 1

								N				N N 1

Наконец, определимхарактеристикигипергеометрическогораспределения:

E X

j 1

D D

2 D D 1

D X

D 2

K , n

1 2C

i 1

i j

N N

N N N 1

D N 1 n 1

D N n

N 1

N N

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.03.2015283.65 Кб15КоБС РСФСР.doc
#
24.08.2019372.74 Кб4Кодекс медиаторов Бланк_НОМ.doc
#
30.03.20153.86 Mб176Козбаненко В.А. - Правоведение.pdf
#
13.03.20161.15 Mб627Колесниченко А.В. - Практическая журналистика - 2008.doc
#
30.03.20151.85 Mб55Коллоидная химия.doc
#
30.03.20151.26 Mб10коллок.pdf
#
30.03.201568.01 Кб18колчак.docx
#
25.08.2019306.69 Кб8Кольцов Подборка текстов.doc
#
30.03.20152.59 Mб7комментарий к ук.rtf
#
13.03.20162.82 Mб170Комментарий к Федеральному закону от 6 октября 2003 г_ N 13.rtf
#
30.03.2015145.37 Кб9Комментарий ТСЖ.docx