коллок

n

*

h x

P dx

lim h zi n F zi ,

x x1, , xk ,

k

n i 1

в прямоугольный параллелепипед, содержащий точку

где n F zi

– вероятность попадания

k

разбивается на параллепипеды.

zi . Пространство

Пространство с мерой.

Пусть ,A

– измеримое пространство.

Опр. Задано

пространство с мерой ,A , ,

если на

A задана неотрицательная счетно-

аддитивная функция ,

т.е. функция, обладающая свойствами:

j

j

Примечание 1. Значение A – мера множества A .

Примечание 2. Если , то – конечная мера.

Примечание 3. Если существует разбиение на счетное число подмножеств Aj

таких. что

Aj , то – -конечная мера.

Примечание 4. Меры, удовлетворяющие лишь 1), 3) – обобщенные меры.

Пример. Пространство n ,B n , , где B n – -алгебра борелевских множеств,

– мера

Лебега в n – пространство с -конечной мерой.

Мера Лебега L S

в n задается по схеме.

1) Мера n -мерного параллелепипеда

n

a,b x1, , xn : ai xi bi ,i 1, n определяется

n

n

формулой L

a,b

bi ai .

1

S ограниченного множества

2) Определяем внешнюю меру

S A как нижнюю границу

L

чисел L B , B B n

таких, что S B . Внутреннюю меру L S

A \

S .

L

7) Квантиль распределения xp xp .

с ф.р. F x , если оно

Опр. Число xp называется квантилью уровня p распределения с.в.

является решением уравнения F xp p,

0 p 1.

x

3

1

1

F x p

p xp 2p 1

.

3

2

Вычислим вероятность:

P 0,5 1,5 F 1,5 F 0,5 1

0,53

1

0,375;

2

1,5

1

3x

2

x

3

1

3

P 0,5 1,5

f x dx

dx

1 0,5

0,375.

2

0,5

0,5

2

0,5

2

2.7. Нахождение распределения функцииот непрерывной случайной величины

Постановка задачи.

Пусть f x ,F x .

Задано

преобразование случайной величины:

A y решение

F y P y P h y

неравенства h y

P A y f x dx.

A y

Если множество решений A y

представимо в виде

A y

m

x

y ;x

y ,

x y x

y ,

2m

2i 1

2i

1

Примечание. В точке x2i 1 y функция h x

является убывающей, в точке x2i y

функция

h x

является возрастающей.

2. Замена аргумента в функции плотности.

Из (*) следует, что

m

2m

(**)

f xj y

.

f y f x2i y x2i y f

x2i 1 y x2i 1

y

xj y

i 1

j 1

Следствие. Если уравнение y h x имеет единственное решение при значении y, то

(***)

f y f x y

y

,

x

где x y – решение уравнения

y

h x .

f y f y f y ,

y 0.

Пример

2. Пусть

E 1 , т.е. показательное

с параметром интенсивности 1. Найти

распределение с.в.

1.

Решение. Следуя универсальномуподходу

F y P

1

y P y 1 y 1 F y 1 F y 1 ,

y 0.

Учитывая, что

0,

x 0,

F x 1 e x,

x 0,

получим

0,

y 0,

y 1

1 y

1 y

y 1

F y

1 e

e

e

, 0 y 1,

F y 1 F y 1 1 e

0 1 e y 1 ,

F y 1 F y 1 1 e y 1

y 1.

1)

y

P

max

y

y 1 F

,1

P y,1 y 0.

2)

y 1 F y P max ,1 y P y,1 y P y F y ,

0,

y 1,

F y

F

y ,

y 1.

Пример 4. Пусть f x 3x2,0 x 1.

Найти распределение с.в. 3

1.

Решение. Решая уравнение y x3

1 для значений с.в. и , последовательно найдем

1/3

1

2/3

1

x y y 1

,

x y

y

1

.

3

3 y 1 2/3

Учитывая,

что

y x3

1 –

возрастающая

функция на носителе

0;1 распределения с.в.

,

найдем носитель распределения с.в. :

y 0 1,y 1 0 1;0 .

Воспользовавшись (***) завершим решение примера:

3

y 1 1/3 2

1

1,

y 1;0 ,

3

y 1

2/3

f y

y 1;0 .

0,

Пример 5. Пусть f x 3x2,0 x 1.

Найти распределение с.в. ln 1.

Решение. Решая уравнение y lnx 1 для значений с.в., последовательно найдем

1 y

,

1 y

.

x y e

x y

e

0;1 распределения с.в.

Учитывая,

что

y lnx 1 – убывающая функция на носителе

,

найдем носитель распределения с.в. :

y 0 ,y 1 1 1; .

Воспользовавшись (***) завершим решение

f x .

Пример

6 (линейное

преобразование).

Пусть

Найти

распределение

с.в.

x y

y a

,

1

.

b

x y

b

Воспользовавшись (***) завершим решение f

y

f

y a

1

.

b

b

1 y 2

1 y

3 1 y

e

e

3e

,

,

3

y 1;

f y

y 1; .

0,

Пример. Если F x 1 e x , то решая уравнение

1 e X

, получим формулу,

позволяющую моделировать показательное распределение

X

ln 1

.