коллок

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7) Медиана распределения x0,5 .

Опр. Число x0,5 называется медианой

распределения

с.в. , если оно удовлетворяет

соотношениям

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.03.2015

Размер:

1.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Пусть xn . Тогда	An ,xn ,x A и по теореме непрерывности вероятностной
меры		limF xn limP An P A F x .
		limF xn limP An P A F x .
4. Неубывающая.		n		n
4. Неубывающая.
Действительно
,x1 ,x2 F x1 P X x1 P X x2 F x2 .
5. P x1 x2 F x2 F x1 ,			P x1 x2 F x2 0 F x1 .
				1
Так как a b		a b				, то с использованием теоремы непрерывности
Так как a b		a b			n	, то с использованием теоремы непрерывности
	n 1				n

вероятностной меры

			1

P x1 x2 P	x1	x2
			n
n 1

6. P x 1 F x .

limP	x x			1	F x	0 F x	.
			2
		1		n	2	1
n

Возможный вид ф.р. определяет

Теорема Лебега. Ф.р. произвольной с.в. может быть представлена в виде смеси трех компонент:

F x w1FД x w2FН x w3FС x ,

FД x - ф.р. дискретного типа,

FН x - ф.р. абсолютно непрерывного типа,

FС x - ф.р. сингулярного типа,

где w1 0,w2 0,w3 0, w1 w2 w3 1 – весовые коэффициенты.

Примечание. Если ф.р. с.в. имеет конечное или счетное число скачков, то - ДСВ.

Опр. С.в. имеет абсолютно непрерывное распределение (ф.р. абсолютно непрерывного типа),

если существует функция f x f x , называемая плотностью распределения вероятностей,

такая что

x
F x f x dx,	x .

Опр. Если ф.р. непрерывна, а множество точек ее роста имеет нулевую меру Лебега, то имеет

сингулярное распределение.

Тема 6. Анализ распределения случайной величины дискретного типа

Основные способы описания распределения дискретной случайной величины. Таблица распределения вероятностей. Нахождение функции распределения и вероятности попадания в интервал дискретной случайной величины. Основные числовые характеристики: математическое ожидание и дисперсия, мода, начальные и центральные моменты. Содержательная интерпретация числовых характеристик, возможная сфера применения. Постановка и решение задачи нахождения распределения функции от дискретной случайной величины. Моделирование дискретной случайной величины с заданным распределением.

		2.3. Анализ распределения ДСВ
Имеется с.в.	с множеством возможных		значений	x1, , xn и	соответствующих им
	p1, , pn ,	pi P xi .		пар xi , pi	, i		– таблица
вероятностей			Множество			1, n

распределения с.в. , которую удобно представить в виде таблицы из двух строк:

		x1	x2	…	xn
	P	p1	p2	…	pn
						n
p1, , pn – ряд распределения вероятностей с.в. : pi							1.

i 1

Основные типы задач, связанные с анализом ДСВ.

Тип 1. Нахождение закона распределения ДСВ.

Пример. 1-й магазин откроется в течение месяца с вероятностью р1 = 0,4; 2-й магазин – с вероятностью р2 = 0,3. Пусть открытие магазинов – независимые события. Обозначим Х – число магазинов, открывшихся за указанный период.

Решение. Покажем, что таблица распределения имеет вид

Пусть Ai

0,42

0,46

0,12

{ i -й магазин откроется}. Тогда

P X 0 P

0,6 0,7 0, 42;

P X 2 P

0,6 0,3 0, 4 0,7 0, 46;

P X 0

P A1 A2 0, 4 0,3 0,12.

Тип 2. Вычисление вероятности попадания ДСВ в заданное множество G:

P G

p .

i: xi G

Продолжение примера. В условиях примера вычислим

0 X

X 2

0, 46 0,12 0,58;

X 1

1 P

P X 3 P 0.

Тип 3. Нахождение функции распределения ДСВ:	pi .
F x P x	pi .
	{i: xi }

Особые свойства функции распределения ДСВ.

1) Ф.р. F x является ступенчатой функцией с точками разрыва x1, , xn . Между соседними точками разрыва ф.р. сохраняет свое значение.

Действительно, пусть x1 xn ; выберем x j 1 x x j		. Тогда левее точки x находятся только
точки x1, , x j 1 . Поэтому
	j 1
F x P x pi .
	i 1
2) В точке разрыва xi ф.р. получает приращение, равное pi .
Вычислим
j 1	F x j 0	j
F x j P x j pi ;	F x j 0	P x j 0 pi .
i 1		i 1

Тип 4. Вычисление числовых характеристик распределения.

Числовая характеристика распределения с.в. – это число, несущее в себе некоторую обобщенную информацию о распределении с.в.

Основные числовые характеристики с.в.

1) Математическое ожидание M M E (expectation, mean value, expected value).

Опр. Если – с.в., задаваемая таблицей распределения xi , pi , i 1, n , то математическое

ожидание (м.о.) – число, определяемое выражением

M xi pi .

i 1

Характеризует среднее значение с.в., определяющее центр распределения. В экономических приложениях м.о. используется в качестве меры эффективности совершаемой экономической операции.

Примечание.	Для произвольной функции h x математическое ожидание определяется по
	M h	n	h(x ) p ..
формуле:
			i i

i 1

Пример («лукавые цифры – средняя зарплата»).

2) Начальный момент k-го порядка – mk , k 0,1, .

Опр. m	M	k	.

k

Формула для вычислений: mk xik pi ..

i 1

3)Центральный момент k-го порядка k , k 0,1, . ; при этом M – центрированная с.в.

Опр. k M M k .

Формула для вычислений: k xi M k pi .

i 1

Примечание (связь центральных и начальных моментов). Воспользуемся биномом Ньютона:

a b n Cnj a jbn j . Последовательно получим

j 0

		k	k	j	M	k j		k	k j
k M	M		M Ck		M		Ck mj M			.
			j 0					j 0

Примечание. При выводе использован ряд линейных свойств м.о.: м.о. суммы равно сумме м.о., постоянный множитель выносится за знак м.о., м.о. константы равно константе.

4) Дисперсия (рассеяние) D D V (variance).

Опр. D 2 M M 2 .

Характеризует изменчивость с.в., рассеяние ее значений. В экономических приложениях дисперсия используется в качестве меры риска совершаемой экономической операции. Считается, что риск операции обусловлен неопределенностью ее результата.

Формулы для вычислений:

D xi M 2 pi ,

i 1

D m2 m12 xi2 pi M 2 .

i 1

5) Среднеквадратичное стандартное отклонение D[ ] .

Имеет то же назначение, что и дисперсия. Преимущество по сравнению с дисперсией – имеет ту же размерность, что и с.в.

6) Мода распределения d Mo .

Опр. Мода с.в. – ее наиболее вероятное значение. Если мода одна, то распределение называется

унимодальным.

Примечание. Определяет середину распределения. Является альтернативой математическому ожиданию.

Тип 5. Нахождение распределения функции от ДСВ.

Постановка задачи. Пусть xi , pi , i 1, n ( имеет таблицу распределения) и задано ее преобразование h . Требуется найти закон распределения с.в. .

Решение. Поскольку с.в. может принимать только одно из значений h xi , i 1, , n, то она является ДСВ. Ее закон распределения находится по схеме.

1) Определяем множество значений : y1, , ym , выбирая их из множества h xi , i 1, , n.


2) Вычисляем P y j P h y j P
	i: h xi y j

xi .

Универсальный метод моделирования ДСВ.

Теорема. Пусть R 0;1 – базовая		с.в., xi	, pi , x0 x1 , – заданная таблица
			0
m 1		m		имеет распределение xi , pi
распределения. Если X xm при pi	pi , то с.в. X
распределения. Если X xm при pi	pi , то с.в. X				0 .
i 0		i 0

Алгоритм моделирования ДСВ.

1.Получаем R 0;1 .

2.Находим m, для которого выполняется неравенство

m 1

pi pi ,

i 0

3. Полагаем X xm .

Тема7. Наиболееизвестныедискретныераспределенияиихчисловыехарактеристики

Производящая функция моментов дискретной случайной величины. Биномиальное и отрицательное биномиальное распределения. Гипергеометрическое и пуассоновское распределения.

2.4. Наиболееизвестныедискретныераспределениявероятностей ииххарактеристики

Опр. Производящая функция начальныхмоментовс.в. xi , pi , i 1, n определяется

	n		i
		zxi
	z		p , действительное значение z принадлежит некоторой
формулой z M e e

i 1

окрестностинуля.

Вычислениеначальныхмоментовс.в. можноосуществлятьспомощью следующегосвойства

1. БиномиальноераспределениеB n, p .

Пустьпроводитсяn независимыхиспытанийспротивоположнымиисходами(успех, неудача), p

– вероятностьуспешногоисходаотдельногоиспытания. Тогда – числоуспешныхсреди n

испытаний имеет биномиальное распределение B n, p . Биномиальное распределение определяетсяформулойБернулли:

P m Pn

m Cnm pm qn m ,

m 0,1, , n.

Егоосновныечисловыехарактеристики: M np, D npq.

Мода m0

Mo (наивероятнейшее число успехов)

является решением неравенства:

np q m0 np p. Получаетсяпутемпоследовательногорешениязадач:

1) вычисляемотношениедвухпоследовательныхбиномиальныхвероятностей

Pn m

Cnm pmqn m

n m 1 p

– невозрастающаяфункцияотm;

n m 1

m 1

P m 1

2) решаемсистему

m 1

n m 1 p mq

m 1

m p

m 1 q

Производящаяфункцияначальныхмоментовбиномиальногораспределенияимеетвид

m qn m pez q n .

z M ez ezm P m ezm Cm pm qn m Cm pez

B n, p

m 0

Отсюдапоследовательнонайдем

B n, p

n 1

z n pe

np;

M n pe

n 2

z 2

B n, p

z n n

1 pe

M n n 1

np;

n 1

npq.

D M M

Примечание. Прямоевычислениематематическогоожиданияпроводитсяпосхемеспомощью комбинаторныхпреобразований:

M mCm pmqn m

pmqn m

m! n m !

m 0

m 1

k m 1,

pm qn m

m 1

1 ! n

m !

m k 1

n 1

n 1 !

pk 1qn k 1 np

pk qn 1 k np,

k 0

k! n k 1 !

k! n

k 1 !

сучетомусловиянормировкибиномиальногораспределенияB N , p :

N !

C m pmq N m

pmq N m 1.

m! N m !

m 0

2. Пуассоновскоераспределение .

С.в. имеетраспределениеПуассона спараметром интенсивности , еслиееряд

распределениязадаетсяформулой:

P m m e , m 0,1, . m!

Обычноэтораспределениеимеетчислоредкихсобытий, происходящихзавремяT . Приэтом – среднеечислоредкихсобытий, происходящихзаэтовремя.

Егоосновныечисловыехарактеристики:

M ,

D ; мода Mo является решением некоторого неравенства(какого?),

определяемогопотойжесхеме, чтоивслучаебиномиальногораспределения.

Производящаяфункцияначальныхмоментов:

ez m

z M e

P m

m 0

Отсюдапоследовательнонайдем

z e ez

1 ez M e e0 1 e0 ;

;

z e

z M

D M 2 M 2 2 2 .

Примечание. Вычислениеначальных моментоввозможносиспользованием факториальных моментов

				m
k					k
k		k			k

M M 1 k 1 m			m!		e .
	m 0		m!

3. ОтрицательноебиномиальноераспределениеNB k, q .

Независимые испытания с противоположными исходами (успех, неудача) и вероятностью успешногоисходаотдельногоиспытания, равнойp , проводятсядоk -гоуспеха. Тогда – число неудачных испытаний до k -го успеха имеет отрицательное биномиальное распределение NB k, q . Отрицательноебиномиальноераспределениеопределяетсяформулой:

P m Pm k 1 m p Cmm k 1 p mq k ,

m 0,1, .

Егоосновныечисловыехарактеристики: M

, D

;

Производящаяфункцияначальныхмоментов:

m k 1

z M e

e C

p q

NB k ,q

m 0

1 pe

m k

m 0

1 pe

Отсюдапоследовательнонайдем

k 1

qpez

k q

pez

M kp ;

NB k, q

1 pe

2 z

2 q

NB k, q

1 pe

;

kp kp

D M M

Примечание. Вычисление характеристик с.в. возможно путем дифференцирования условия нормировкиеераспределения. Дляданногораспределениявычислениясостоятвследующем

M X

C m

pmqk 1 C m

pmqk

m k 1

m 0

k k

q p

mC m

pmqk

mC m

pmqk

m k 1

m 0

X 2

M X 2 p

kp k

M X

q q

k , q

4. ГипергеометрическоераспределениеH N , D; n, d .

Имеетсясовокупностьиз N элементов, среди которых D элементов1-готипаи N D элементов2-готипа. Изнееизвлекаетсяслучайнаявыборкаобъемаn. Тогда – числоэлементов

1-го типа в выборке имеет гипергеометрическое						распределение H N , D; n, d .
Гипергеометрическоераспределениеопределяетсяформулой:
P m	Cm Cn m			m 0,1, , min n, D .
	D N D	,
	Cn	,
	N
			nD			nD		D	N n 1
										.

Егоосновныечисловыехарактеристики: M				N	, D		1		N 1
				N		N		N	N 1

Тема 8. Общее понятие математического ожидания случайной величины. Интеграл Лебега по вероятностной мере и математическое ожидание случайной величины. Определение математического ожидания с помощью интеграла Римана-Стильтьеса. Простейшие свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины. Неравенство для начальных моментов, неравенства Коши-Буняковского и Йенсена. Общее понятие характеристической функции случайной величины.

	Общее понятие математического ожидания
Опр. Математическим	ожиданием с.в. , заданной на вероятностном пространстве
,A , P , называется	число E P d – интеграл Лебега по мере	P от
функции .
функции .

Опр. Функция называется простой, если она измерима, а множество ее значений счетно.

Любую простую функцию можно записать в виде
n		Ak : xk .
xk I Ak ,	xk – значения ,	Ak : xk .
k 1
Конструкция интеграла Лебега.
1) Сначала вводится на множестве простых функций вида		n
		n
xk I Ak :	E P d xk P Ak .
k 1		k 1

2) Распространяется на множество измеримых функций. Для этого определяется последовательность простых функций n , сходящихся равномерно к :

	E lim	n P d .
	n
Примечание 1.	Если с.в. задана		на	числовой прямой , то		она	индуцирует
вероятностное	пространство ,B , P		с	вероятностной мерой		P	такой, что
P B P B , B B . При этом
	P x, y F y F x ,		,		d x, x dx

и интеграл Лебега совпадает с интегралом Римана-Стилтьеса:

		xf x dx,	f x ,


E P d x dF x			xk ; pk .
		xk pk ,
		xk pk ,
	k 1

Если

g x

– борелевская функция

на

то и

– с.в. (если

B B , то

x : g

B ).

действительная функция действительной переменной на интервале a,b

Опр.

g x

–

называется функцией ограниченной вариации,

если существует такое положительное число M ,

что

для

всех

разбиений a x0 x1

xn b

интервала

выполняется

неравенство

F x .

a,b

f xi f xi 1 M . Это возможно лишь в том случае, когда она может быть представлена

i 1	f x f1 x f2 x ,		f1 x , f2 x ограничены и не убывают на a,b .
в виде	f x f1 x f2 x ,	где	f1 x , f2 x ограничены и не убывают на a,b .
Примечание 2. Если g x –		непрерывная функция или функция ограниченной вариации,				а
F x	– непрерывная функция		распределения, то		интеграл Лебега-Стилтьеса совпадает	с
интегралом Римана-Стилтьеса
	g P d g x P dx g x dF x ,

при этом
	b			ba	b
	g x dF x g x F x			ba	F x dg x .
	a				a

Примечание 3. Если существует E , то существует также и интеграл

E ; A P d E I A .

Примечание 4 (понятие математического ожидания в многомерном случае).

Далее 1, , k

Интеграл Лебега по мере сохраняет свой смысл:

E g , ,		k				g	, ,	k	P d .
	1	k				1		k

Если k ,B k , P – вероятностное пространство для 1, , k , то этот интеграл можно записать в виде

g x P dx ,

x x1, , xk .

Вспомогательные сведения.
Понятие интеграла Римана-Стилтьеса (Р.-С.).	h x
Опр. Пусть на a,b определены некоторая функция	h x	(ограничения на нее будутзаданы
позже) и неубывающая слева функция F x	с	ограниченной вариацией, т.е.

F b 0 F a 0 ; a z0 z1 zn b, zi* zi 1, zi . Тогда

h x dF x

lim	n	h	z*	F z		F z		.
							i 1
			i		i
n i 1

Можно доказать, что любая ограниченная на функция h x , имеющая конечное или счетное число точек разрыва, интегрируема при любой интегрируемой функции ограниченной вариации

Основное свойство интеграла Р.-С.

b	h x dF x		h x F x 0		F x		h x	p ,
	h x dF x		h x F x 0		F x		h x	p ,
			i	i	i		i	i
a		i				i
				pi

если F x изменяется только в точках x1, x2 , .

Примечание (интеграл Римана-Стилтьеса в многомерном случае).

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.03.2015283.65 Кб15КоБС РСФСР.doc
#
24.08.2019372.74 Кб4Кодекс медиаторов Бланк_НОМ.doc
#
30.03.20153.86 Mб176Козбаненко В.А. - Правоведение.pdf
#
13.03.20161.15 Mб627Колесниченко А.В. - Практическая журналистика - 2008.doc
#
30.03.20151.85 Mб55Коллоидная химия.doc
#
30.03.20151.26 Mб10коллок.pdf
#
30.03.201568.01 Кб18колчак.docx
#
25.08.2019306.69 Кб8Кольцов Подборка текстов.doc
#
30.03.20152.59 Mб7комментарий к ук.rtf
#
13.03.20162.82 Mб170Комментарий к Федеральному закону от 6 октября 2003 г_ N 13.rtf
#
30.03.2015145.37 Кб9Комментарий ТСЖ.docx